Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Раціональні вирази
§ 10. Властивості степеня із цілим показником

295. Тотожностями є рівності 2), 4), 6), 7).

296. 

1) а⁵а ² = а^{5 +(-2)} = а³;

2) а^-7 а⁶ = а^{-7 + 6} = а^-1;

3) а⁹a^-9 = а^9+(-9) = а⁰ = 1;

4) a^-4a^-3 = a-^{4+ -3} > а^-7.

297. 

1) b⁷b^-3 = b^{7 + (-3)} = b⁴  

2) b^-6b³ = b^{-6 + 3} = b^-3

3) b^-5b^-7 = b^{5 + (-7)} = b^-12;  

4) b^-8b⁸ = b^{-8 + 8} = 6⁰ = 1.

298. 

1) m³ : m^-2 = m^{3 - (-2)} = m⁵;  

2) m⁵ : m⁶ = m^{5 - 6} = m^-1;

3) m³ : m^-3 = m^{-3 - (-3)} = m⁰ = 1;

4) m^-1 : m^-8 = m^{-1 - (-8)} = m⁷.

299. 

1) с⁵ : с^-1 = с^{5 — (-1)} = с⁶;  

2) с² : с⁸ = с^{2 - 8} = с^-6;

3) с^-2 : с^-3= с^{-2 - (-3)} = с¹ = с;  

4) c^-4 : с^-4= с^{-4 - (-4)} = с⁰ = 1.

300. 

1) (x^-4)^-2 = х^{-4 • (-2)} = х⁸;  

2) (х^-1)¹⁷ = х^{-1 • 17} = х^-17;

3) (х⁰)^-5 = х^{0 • (-5)} = х⁰ = 1;  

4) (х⁷)^-4 = х^{7 •(-4)} = х^-28.

301.

1) (n^-2)^-7 = n^{-2 • (-7)} = n¹⁴  

2) (n¹⁵)^-1= n^{15 • (-1)} = n^-5;

3) (n-⁸)⁰ = n^{-8 • 0} = n⁰ = 1;

4) (n⁵)^-3 = n^{5 • (-3)} = n^-15.

302.

1) а^-10 = а^-3 • а^-7

2) а^-10 = а^-7 • а^-17

3) а^-10 = а^-1 • а^-9

4) а^-10 = а¹² • а²²

303.

1) m⁸ = m⁴ • m⁴;

2) m^-2 = m^-1 • m^-1;

3) m^-17 = m^-7 • m^-10; 

4) m⁰ = m^-3 • m³.

304.

1)2⁷ — 2^-6 = 2¹ = 2;

2)

3)

4)

5)

6) 7^-15: 7^-16 = 7¹ = 7;

7) 9 : 9^-1 = 9² = 81;

8)

9)

10)

11) (0,1^-1)⁴ = 10⁴ = 10 000;

12)

305.

1) 3⁹ • 3^-8 = 3¹ = 3;

2)

3)

4)

5) 10⁴ : 10⁵= 10^-1 = 0,1;

6) 8^-12 : 8^-13 = 8¹ = 8;

7)

8)

9)

10)

11)

306.

1) a⁷ : a³ • a^-12 = a^{7 — 3 + (-12)} = a^-8

2) (a⁵)^-3 • a¹² = a^{5 • (-3) + 12} = a^-3

3) (a^-8)³: a⁴ = a^{-8 • 3 - 4} = a^-28;  

4) a⁰ • (a^-3)⁴ • a⁵ = a^{0 - 3 • 4 + 5} = a^-7;

5) a^-3 • a⁰ : a⁵ : a = a^{-3 + 0 — 5 - 1} = a^-9; 

6) (a³)^-2 • (а^-1)^-6 = a^{3 • -2 + (-1) • (-6)} = a⁰ = 1.

307.

1)b³ : b⁷ • b² = b^{3 — 7 + 2} = b-²;

2) (b^-2)⁴ • b¹⁰ = b^{-2 • 4+10} = b²;

3) (b³)^-2 • b³ = b^{3 • (-2)-3} = a^-9;  

4) b⁷ • (b^-2)³ • b⁰ = b^{7 + (-2) • 3 + 0} = b;

5) b° • b^-4 : b³ : b = b^{0 + (-4) — 3 — 1} = b^-3;

6) (b^-4)^-1 • (b²)^-2 = b^{-4 • (-1) + 2 • (-2)} = b⁰ = 1.

308.

1) 4а^-8b⁷ • 5a¹⁰b^-3 = 20a²b⁴;

2) 10m^-6n⁴ • 0,4m⁶n^-9 = 4m⁰n^-5 = 4n^-5;

3)

4)

309.

1) 10m³n^-2 • 2m^-5n² = 20m^-2n²;

2) 0,02a^-8b³ • 100a⁸b^-7 = 2a⁰b^-4 = 2b^-4;

3)

4)

310.

1) (ху)² = x^-2y^-2; 

2) (ab^-2)-³= a^-3b⁶;

3) (x^-4y³)^-1 = x⁴y³; 

4) (m⁰с^-3)^-2 = m⁰c⁶ = с⁶;

5) (0,1a^-2)^-1 = 0,1^-1а² = 10a²;

6)

7)

8)

311.

1) (p^-2n)^-5 = p¹⁰n^-5;

2) (a^-2b³)^-4 = a⁸b^-12;

3)

4)

5)

6)

312.

1)

2) 0,01p^-8= (0,1^-4)²;

3) 0,0025c^-8p¹² = (0,05с^-4p⁶)²;

4)

313.

1) ((5^-2)^-6 • (5^-8)²)^-1 = (5¹² • 5^-16)^-1 = (5^-4)^-1 = 5⁴ = 625;

2)

3)

4)

314.

1) ((4^-4)^-2 • (4^-5)²)^-1 = (4⁸ • 4^-10)^-1 = (4^-2)^-1 = 16;

2)

315.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

316.

1) 128 • 2^-5 = 2⁷ • 2^-5 = 2² = 4;

2)

3)

4)

5)

6)

317.

1) 3,5a³b⁷ : (0,5c^-2b⁹) = 7a⁵b^-2;

2)

318.

1)

2)

319.

1) 4,9m³n^-4 : (0,7mn^-2) = 7m²n^-2;

2)

320.

1)

2)

3)

4)

321.

1)

2)

3)

4)

322.

1)

2)

3)

323.

1)

2)

3)

324.

1)

2)

3)

325.

1)

2)

3)

326.

1)

2)

327. Нехай 1 кг огірків спочатку коштував х грн, а 1 кг помідорів — у грн. Рівняння: 3х + 2у = 34. Після зміни ціни 1 кг огірків став коштувати 0,8x грн, а 1 кг помідорів— 1,1у грн. Рівняння: 2 • 0,8х + 3 • 1,1у = 36; 1,6x + 3,3у = 36. Маємо систему: Отже, 1 кг огірків коштував 6 грн, а 1 кг помідорів — 8 грн.

Відповідь. 6 грн, 8 грн.

328. Запишемо непарне натуральне число у вигляді 2х + 1, тоді наступне непарне число — 2х + 3. Маємо: (2х + 1)² - (2х + 3)² = 4х² + 4х + 1 - 4x² - 12х - 9 = -8х - 8 = -8(х + 1). Оскільки один з множників ділиться на 8, то й увесь вираз ділиться на 8.

329.

1) 2,7 • 10³ = 2,7 • 1000 = 2700;

2) 1,32 • 10⁵= 1,32 • 100 000 = 132 000;

3) 4,7 • 10^-3 = 4,7 • 0,001 = 0,0047;

4) 3,42 • 10^-4 = 3,42 • 0,0001 = 0,000342.

330. З рівняння 2^х + 1 =у² бачимо, що у², а значить і у, є непарними числами, бо 2^х, де х — натуральне число, завжди є парним числом, тоді 2^х + 1 — непарне. Маємо: 2^х = у² -1; 2^х = (у - 1)(у +1). Числа у - 1 і у + 1 є двома послідовними парними числами. Тоді 2 • 2 • 2 • ... • 2 = (у - 1)(у + 1), звідки маємо, що два сусідні натуральні числа повинні мати серед своїх дільників лише 2. Це можливо лише у випадку, коли у = 3 : (3 - 1)(3 + 1) = 2 • 4 = 8 = 2³. Отже,x = 3, у = 3.

Відповідь. х = 2, у = 3.