Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 3. Ознаки паралелограма

69. Нехай DEFK — чотирикутник, DF і ЕK — діагоналі, DO = OF, EO = OK. Чотирикутник DEFK є паралелограмом за ознакою про діагоналі. Тоді DK||EF, DE||KF як протилежні сторони паралелограма.

70. Нехай KLMN — чотирикутник, KL||MN, KL = MN. Чотирикутник KLMN є паралелограмом за ознакою про дві протилежні сторони. Тоді K = M і L = N як протилежні кути паралелограма.

71. Нехай PRSQ— чотирикутник, PR = SQ, PQ = RS. Чотирикутник PRSQ є паралелограмом за ознакою про протилежні сторони. Оскільки кути R і S с сусідніми кутами паралелограма, то R + S = 180°.

Відповідь. 180°.

72. Нехай ABCD — чотирикутник, AB||CD. Щоб чотирикутник ABCD був паралелограмом, можна додати такі умови: 1) BC||AD, тоді він буде паралелограмом за означенням; 2) AB = CD, тоді він буде паралелограмом за ознакою про дві протилежні сторони.

73. Нехай ABCD — чотирикутник, А = 30°, С = 50°. Чотирикутник ABCD не може бути паралелограмом, бо у паралелограма за властивістю протилежні кути рівні.

74.

а) Для того щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл.

б) Для того щоб два кути були суміжними, необхідно, щоб їхня сума дорівнювала 180°.

в) Для того щоб прямі AB і CD були паралельними, достатньо, щоб чотирикутник ABCD був паралелограмом.

75.

а) У чотирикутнику ABCD AD = ВС і AD||BC, тому він є паралелограмом за ознакою про дві протилежні сторони;

б) точка М має лежати на прямій, паралельній до діагоналі АС, і на продовженні сторони DC. Точки М,С і D лежать на одній прямій.

76.

а) У трикутнику АВС ВО — медіана, тому АО = ОС. Крім того, BO = OD за побудовою, тому чотирикутник ABCD є паралелограмом за ознакою про діагоналі;

б) точка M має лежати на прямій, паралельній до діагоналі BD, і на продовженні сторони CD. Точки М, С і D лежать на одній прямій.

77. Нехай ABCD— чотирикутник, АС і BD— діагоналі, АО = 4 см, ОС = 40 мм, BD = 1,2 дм, OD = 6 см. 4 см = 40 мм, тому АО = ОС; 1,2 дм = 12 см; BO = BD : 2; ВО = 12 : 2 = 6 (см); BO = OD. Отже, чотирикутник ABCD— паралелограм за ознакою про діагоналі.

78.

а) Нехай ABCD— чотирикутник, АС— діагональ, BAC = DCA, ВСА = DAС. Розглянемо трикутники ABC і CD А. У них: 1) BAC = DCA за умовою; 2) BCA = DAC за умовою; 3) АС— спільна сторона. Огже, АВС = CDA за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тоді АВ = CD і BC = AD як відповідні елементи рівних трикутників. Тому чотирикутник ABCD— паралелограм за ознакою про протилежні сторони;

б) нехай ABCD — чотирикутник, BD — діагональ, ADB = CBD, AD = ВС. Розглянемо трикутники ABD і CDB. У них: 1) ADB = CBD за умовою; 2) AD = ВС за умовою; 3) BD — спільна сторона. Отже, ABD = CDB за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тоді АВ = CD і ВС = AD як відповідні елементи рівних трикутників. Тому чотирикутник ABCD — паралелограм за ознакою про протилежні сторони.

79.

а) Нехай ABCD — чотирикутник, АОВ = COD. Тоді АО = СО і BO = DO як відповідні елементи рівних трикутників. Тому чотирикутник ABCD— паралелограм за ознакою про діагоналі;

б) нехай ABCD — чотирикутник, АС і BD — діагоналі, ABD = CDB, BCA = DAC. Кути ABD і CDB є внутрішніми різносторонніми при прямих AB і CD та січній BD. З їх рівності випливає, що AB||CD. Кути ВСА і DAC є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і ВС та січній АС. З їх рівності випливає, що AD||BC. Тому чотирикутник ABCD — паралелограм за означенням.

80. Нехай ABCD— чотирикутник, AB||CD, АВ = CD = 9 см, AD = 4 см. Оскільки AB||CD і АВ = CD, то чотирикутник ABCD— паралелограм за ознакою про дві протилежні сторони. Тоді ВС = AD = 4 см за властивістю про протилежні сторони паралелограма. P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 2(АВ + ВС); Р_АBCD = 2(9 + 4) = 26 (см).

Відповідь. 26 см.

81. Нехай ABCD — чотирикутник, АВ = CD, AD = ВС. Тоді чотирикутник ABCD — паралелограм за ознакою про протилежні сторони. Тоді A = C, B = D як протилежні кути паралелограма. Нехай B = D = x, тоді A = C = 3х Оскільки сума кутів при одній стороні дорівнює 180°, то A + B = 180°; х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°. Отже, B = D - 45°, тоді A= C = 3 • 45° = 135°.

Відповідь. 135°; 45°; 135°; 45°.

82. Нехай ABCD— паралелограм, АС і BD— діагоналі, ACBD = О, ВВ₁ = В₁О, OD₁ = DD₁. За властивістю діагоналей паралелограма АО = ОС і BO = OD. Тому BB₁ = B₁O = OD₁ = DD₁ як полонини рівних відрізків. Тоді у чотирикутнику AB₁CD₁ відрізки B₁D₁ і АС є діагоналями, які точкою перетину діляться навпіл, звідки випливає, що AB₁CD₁ — паралелограм за властивістю про діагоналі.

83. Нехай ABCD — паралелограм, ВМ = MС, AN -= ND. Розглянемо чотирикутник ABMN. У ньому BM||AN, бо BC||AD за означенням паралелограма ABCD, ВМ = AN як половини рівних сторін за властивостями паралелограма ABCD. Тому ABMN — паралелограм за ознакою про дві протилежні сторони. Те, що NMCD — паралелограм, доводиться аналогічно.

84. Необхідно позначити дві вершини, наприклад А та D, на певній відстані між ними, потім перемістити горизонтальну лінійку на деяку відстань вгору і позначити ще дві вершини В та С на тій самій відстані між ними, що й точки А та D, після чого послідовно сполучити вершини А, В, С та D. Тоді чотирикутник ABCD буде паралелограмом за ознакою двох протилежних сторін.

85. Чотирикутник ABCD — паралелограм, тому AB||CD. Змінюючи положення лампи, ми змінюватимемо лише кути паралелограма, але його протилежні сторони завжди залишатимуться паралельними.

86.

а) Нехай ABCD — чотирикутник, АО = ОС, ADB = CBD. Кути ADB і CBD є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і ВС та січній BD. З їх рівності випливає, що AD||BC. Розглянемо трикутники AOD і СОВ. Оскільки AOD = COB як вертикальні, ADO = CBO за умовою, тоді за теоремою про суму кутів трикутника OAD = OCB. У трикутниках AOD і СОВ: 1) OAD= OCB за доведеним вище; 2) AOD = COB як вертикальні; 3) АО = ОС за умовою. Отже, AOD = СОВ за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому AD = ВС як відповідні елементи рівних трикутників. Оскільки AD||BC і AD = BC, то чотирикутник ABCD — паралелограм за ознакою про дві протилежні сторони;

б) нехай AECF — паралелограм, BE = FD. Проведемо діагональ АС паралелограма AECF. Тоді за властивісгю діагоналей паралелограма вони перетинаються і точкою перетину діляться навпіл: АО = ОС, ЕО = OF. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: BO = BE + EO; OD = OF + FD. Оскільки BE = FD i EO = OF, то ВО = OD. Тоді в чотирикутнику ABCD діагоналі АС і BD перетинаються в точці О і поділяються нею навпіл, тому ABCD — паралелограм за ознакою про діагоналі.

87.

а) Нехай ABCD— чотирикутник, ABC = ADC, BCA = DAC. Розглянемо трикутники ABC і CDА. Оскільки ABC = ADC і BCA = DAC за умовою, то за теоремою про суму кутів трикутника BAC = DCA. У трикутниках ABC і CDA: 1) BAC = DCA за доведеним вище; 2) BCA = DAC за умовою; 3) АС — спільна сторона. Отже, ABC = CDA за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому AB = CD і AD = BC як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм за ознакою про протилежні сторони;

б) нехай AECF — паралелограм, BE = FD. Тоді AF||EC, AE||FC, AF= ЕС, AE = FC як протилежні сторони паралелограма, E = F як протилежні кути паралелограма. Розглянемо трикутники АBE і CDF. У них; 1) AE = FC за доведеним вище; 2) BE = FD за умовою; 3) E = F за доведеним вище. Отже, АВЕ = CDF за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому АВ = CD і BE = DF як відповідні елементи рівних трикутників. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ЕС = ВЕ + ВС; ВС = ЕС - ВЕ; AF = AD + DF; А- D = AF - DF. Оскільки BE = DF і AF = EC, то BC = AD. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм за ознакою про протилежні сторони.

88. Нехай ABCD— паралелограм, BE і DF— бісектриси відповідно кутів В і D. Оскільки ABCD — паралелограм, то B = D як протилежні кути паралелограма, AB = CD і BC = AD як протилежні сторони паралелограма. Так як BE і DF — бісектриси, то за означенням бісектрис ABE = EBC = ADF = FDC. BAC = DCA і BCA = DAC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Розглянемо трикутники АВЕ і CDE. У них: 1) АВ = CD за доведеним вище; 2) BAE = DCF за доведеним вище; 3) ABE = CDF за доведеним вище. Отже, АВЕ = CDE за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому BE = DF і АЕ = CF як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо трикутники ADE і CBF. У них: 1) DAE = BCF за доведеним вище; 2) ВС = AD за доведеним вище; 3) АЕ = CF за доведеним вище. Отже, ADE - CBF за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників). Тому DE = BF як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, оскільки BE = DF і DE -= BF, то чотирикутник BEDF— паралелограм за ознакою про протилежні сторони.

89. Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD — діагоналі, АСВО = О, AM = МО, BN = NO, CP = PO, DK = KО. За властивістю діагоналей паралелограма АО = ОС і ВО = OD. Тому АМ = МО = СР = РО і BN = NO = DK = KО як половини рівних відрізків. Тоді у чотирикутнику MNPK відрізки МР і NK є діагоналями, які точкою перетину діляться навпіл, звідки випливає, що MNPK— паралелограм за властивістю про діагоналі.

90. а) Нехай KLMN— паралелограм, EL = NS, KR = FM. Оскільки KLMN — паралелограм, то KN = LM, KL = NM, KN||lМ, KL||NM. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: KN = KR + RN; LM = LF + FM, звідки RN = LF. Отже, в чотирикутнику RLFN RN = LF і RN||LF, тому він є паралелограмом за ознакою про дві сторони, звідки LR||FN, а тому AB||CD. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: KL = KЕ + EL; NM = NS + SM, звідки KE = SM. Отже, в чотирикутнику KEMS КЕ = SM і KE||SM, тому він є паралелограмом за ознакою про дві сторони, звідки KS||EM, а тому AD||BC. Отже, у чотирикутнику ABCD AB||CD і AD||BC, тому він є паралелограмом за означенням;

б) нехай KLMN— паралелограм, LF = RN, LME = NKS. Оскільки KLMN — паралелограм, то LKN = NML. За аксіомою вимірювання кутів LKN = LKS + SKN; LMN = LME + EMN, звідки LKS = EMN. Так як KLMN— паралелограм, то KN||LM i KL||NM. Тоді LKS = KSN як внутрішні різносторонні при паралельних прямих KL і NM та січній KS, звідки KSN = EMN. Але кути KSN і EMN є відповідними при прямих KS і ЕМ та січній NM, тому KS||EM за ознакою паралельності прямих, звідки AD||BC. Розглянемо чотирикутник RLFN. У ньому LF = RN за умовою і LF||RN, тому RLFN — паралелограм за ознакою про дві протилежні сторони. Тоді LR||FN, звідки AB||CD. Отже, у чотирикутнику ABCD AD||BC і AB||CD, тому він є паралелограмом за означенням.

91.

а) Нехай AECF— паралелограм, ЕK = FM, AN = LC. Оскільки AECF— паралелограм, то АЕ = FC, AF||EC і AE||FC, то AN||LC і АK||МС. Так як AN = LC і AN||LC, то чотирикутник ALCN — паралелограм за ознакою про дві протилежні сторони, звідки AL||C, тому AB||DC. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АЕ = АK + KЕ; FC = FM + MC, звідки АK = МС. Тоді в чотирикутнику АKСМ АK = МС і АK||МС, тому він є паралелограмом за ознакою про дві сторони, звідки АМ||KС, а тому AD||BC. Отже, в чотирикутнику ABCD AB||DC і AD||BC, тому він є паралелограмом за означенням;

б) нехай KLMN — паралелограм, KLF = MNE, LSK = NRM. Оскільки KLMN— паралелограм, то KLM = MNK, KN = LM, KL = MN. За аксіомою вимірювання кутів KLM = KLF + FLM; KNM = KNE + ENM, звідки FLM = KNE. Так як KLMN — паралелограм, то KN||LM і KL||NM. Тоді KFL = FLM як внутрішні різносторонні при паралельних прямих KN і LM та січній LF, звідки LFK = ENK. Але кути LFK і ENK є відповідними при прямих LF і EN та січній KN, тому LF||EN за ознакою паралельності прямих, звідки AB||CD. Розглянемо трикутники KLS і MNR. У них: 1) LSK = NRM за умовою; 2) LKS = NMR за теоремою про суму кутів трикутника; 3) KL = MN за доведеним вище. Отже, KLS = MNR за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому LS = NR як відповідні елементи рівних трикутників. За аксіомою вимірювання відрізків KN = KR + RN; LM = LS + SM, звідки KR = SM. Розглянемо чотирикутник KSMR. У ньому KR = SM і KR||SM за доведеним вище, тому KSMR — паралелограм за ознакою про дві протилежні сторони. Тоді KS||RM, звідки BC||AD. Отже, у чотирикутнику ABCD ВС||АЕ і AB||CD, тому він є парателоірамом за означенням.

92. Нехай ABCD— чотирикутник, A = C, B = D. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; 2 (A + B) = 360°; A + B = 180°. Але кути А та В є внутрішніми односторонніми при прямих AD і ВС та січній АВ, тому за ознакою паралельності прямих AD||BC. Аналогічно B + C = 180°. Але кути B та С є внутрішніми односторонніми при прямих АВ і CD та січній ВС, тому за ознакою паралельності прямих AB||CD. Отже, в чотирикутнику ABCD AD||BC і AB||CD, тому він є паралелограмом за означенням.

93. Нехай задано ABC, всередині якого міститься точка О. Через вершину кута точку В й точку О проводжу промінь, на якому відкладаю OD = ВО. Через точку D проводжу MD||BC і DK||BA. З точки М проводжу промінь через точку О й одержую, що MO = ОK, бо BMDC — паралелограм, BD і МK — діагоналі, які точкою перетину діляться навпіл.

94. Нехай задано ABC, всередині якого міститься точка М. Через точку М проводжу прямі, паралельні сторонам кута, які перетнуть сторони кута в точках А і В. Сполучаю відрізком точки А і В. Будую середину відрізка АВ — точку О. Промінь МО — шуканий.

95. Нехай ABC — трикутник, AN і ВМ — висоти, ANBM = O, АO = ВО. Розглянемо прямокутні трикутники AMO і BNO (AMO = BNO = 90°). У них: 1)АО = ВО за умовою; 2) AOM = BON як вертикальні. Отже, АМО = BNO за гіпотенузою і гострим кутом. Тому MAO = NBO як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо трикутник АОВ. Якщо АО-ВО за умовою, то він рівнобедрений, звідки OAB = OBA як кути при основі рівнобедреного трикутника. За аксіомою вимірювання кутів MAB = MAN + NAB; NBA = NBM + MBA, звідки MAB = NBA, а вони є кутами при стороні трикутника ABC, тому трикутник ABC — рівнобедрений з основою АВ.

96. Нехай ABC і DC В — прямокутні трикутники (ABC = DCB = 90°), АС||ВО. Розглянемо прямокутні трикутники ABC і DCB. У них: 1) ВС— спільний катет; 2) ACB = DBC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих АС і BD та січній ВС. Отже, ABC = DC В за катетом і гострим кутом.