Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 2. Паралелограм і його властивості

32.

а) За означенням паралелограма BC||AD;

б) за властивістю сторін паралелограма АВ = CD,

в) за властивістю кутів паралелограма C = A.

33.

а) Так, не кути, прилеглі до однієї його сторони;

б) ні, всі кути паралелограма можуть бути прямими.

34. Нехай ABCD — паралелограм. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C і B = D. Тому якщо B < C, то D < A.

35. Нехай ABCD— паралелограм. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = CD і AD = ВС. Тому якщо AB + CD> AD + ВС, то 2CD > 2ВС; CD > ВС.

36.

а) Медіаною трикутника ACD за властивістю діагоналей паралелограма є відрізок DO;

б) відрізок АО за властивістю діагоналей паралелограма є медіаною трикутника ABD.

37.

а) Оскільки AD||BC, AB||DC, то чотирикутник ABCD— паралелограм (за означенням паралелограма);

б) A = 68°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A = 68°. Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, тому A + B= 180°; B = 180°- A; B= 180° - 68° =112°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B = 112°. Вимірюванням встановлюю, що обчислення виконані правильно;

в) точка О належить відрізку BD.

38.

а) Оскільки AD||BC, AB||DC, то чотирикутник ABCD — паралелограм (за означенням паралелограма);

б) ВМ і BN— висоти. Вони не рівні між собою;

в) AD = 21 мм, AВ = 11 мм. Тоді P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 2(AB + AD); P_ABCD = 2(11 + 21) = 64 мм = 6 см 4 мм. Для обчислення периметра паралелограма скористався властивістю, що протилежні сторони паралелограма рівні.

39. Нехай ABC — трикутник, тоді АВМС, ABCN і DBCA — паралелограми. Будь-які два утворені паралелограми мають по дві спільних вершини.

40. Утворилося три паралелограми: ACDB, CMND і AMNB.

41. Нехай ABCD — паралелограм, AD = 12 см, Тоді маємо: P_ABCD = 2(AD + AB); P_ABCD = 2(12 + 18) = 60 (см).

Відповідь. 60 см.

42.

а) Нехай ABCD— паралелограм, P_ABCD = 24 см. Нехай АВ =.x cм, тоді AD = (х + 2) см. P_ABCD = 2(AD + АВ). Рівняння: 2(x + (х + 2)) = 24; 2(2х + 2) = 24; 4х + 4 = 24; 4х = 20; х = 5. Отже, АВ = 2 см, тоді AD = 2 + 2 = 4 (см). За властивістю сторін паралелограма АВ = CD = 5 см, AD = ВС = 7 см.

Відповідь. 5 см; 7 см; 5 см; 7 см;

б) нехай ABCD — паралелограм, P_ABCD -= 24 см. Нехай АВ = х см, тоді AD = 3х см. P_ABCD = 2 (AD + АВ). Рівняння: 2(х + 3х) = 24; 8х = 24; х = 3. Отже, АВ = 3 см, тоді AD = 3 • 3 = 9 (см). За властивістю сторін паралелограма АВ = CD = 3 см, AD = ВС = 9 см.

Відповідь. З см; 9 см; 3 см; 9 см;

в) нехай ABCD — паралелограм, P_ABCD = 24 см, АВ + ВС + CD = 17 см. P_ABCD = AВ + ВС + CD + AD; AD = P_ABCD - (АВ + ВС + CD); AD = 24 - 17 = 7 (см). За властивістю сторін паралелограма AB = CD; AD = BC = 7 cм, звідки АВ + 7 + CD = 17; 2АВ = 10; АВ = 5 (см); АВ = CD = 5 см.

Відповідь. 5 см; 7 см; 5 см; 7 см.

43.

а) Нехай ABCD— паралелограм, B = 110°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B = 110°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; A = 180° - B; A = 180° - 110° = 70°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A - 70°;

Відповідь. 70°; 110°; 70°; 110°;

б) нехай ABCD — паралелограм. Нехай B = х, тоді A = х - 70°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; х + х - 70°= 180°; 2х = 250°; д: = 125°. Отже, B = 125°, тоді A = 125° - 70° = 55°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C = 55°, B = D = 125°.

Відповідь. 55°; 125°; 55°; 125°;

в) нехай ABCD — паралелограм. Якщо сума двох кутів дорівнює 90°, то це гострі кути паралелограма. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C; 2A = 90°; A = 45°; C = A = 45°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; B = 180° - A; B = 180° - 45° = 135°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B= 135°.

Відповідь. 45°; 135°; 45°; 135°;

г) нехай ABCD — паралелограм, DAO = 45°, OAB = 30°. За аксіомою вимірювання кутів DAB = DAO + OAB; DAB = 45° + 30° = 75°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C = 75°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; B = 180° - A; B = 180° - 75° = 105°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B = 105°.

Відповідь. 75°; 105°; 75°; 105°.

44.

а) Нехай ABCD — паралелограм, A = 90°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A = 90°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; B = 180° - A; B = 180° - 90° = 90°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B = 90°;

Відповідь. 90°: 90°; 90°; 90°;

б) нехай ABCD — паралелограм. Оскільки градусні міри двох кутів відносяться як 2 : 7, то пі кути сусідні, тому A : B = 2 : 7. Нехай A = 2х, тоді B = 2х. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; 2х + 7х = 180°; 9х = 180°; х = 20°. Отже, A = 2 • 20° = 40°, тоді B = 7 • 20° = 140°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A= 40°, D = B = 140°.

Відповідь. 40°; 140°; 40°; 140°;

в) нехай ABCD— паралелограм. Оскільки різниця двох кутів дорівнює 40°, то ці кути сусідні. Нехай B = x, тоді A = х - 40°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; х + х - 40° = 180°; 2х = 220°; х = 110°. Отже, B = 110°, тоді A = 110° - 40° = 70°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C = 70°, B = D = 110°.

Відповідь. 70°; 110°; 70°; 110°;

г) нехай ABCD — паралелограм, A + B + C = 330°. Оскільки A + B + C + D = 360°, то D = 360° - (A + B + C); D = 360° - 330° = 30°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + D = 180°; A = 180° - D; A - 180°- 30°= 150°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C - A = 150°, B = D - 30°.

Відповідь. 150°; 30°; 150°; 30°.

45. Нехай ABCD — паралелограм, АО = 8 cм, OD = 5 см. За властивістю діагоналей паралелограма вони точкою перетину діляться навпіл, тому АС = 2АО; А = 2 • 8 = 16 (cм); BD = 20D; BD = 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь. 16 см; 10 см.

46. Нехай ABCD — чотирикутник, AB||CD, ADB = CBD. Кути ADB і CBD є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і ВС та січній BD тому АО||ВС. Тому чотирикутник ABCD є паралелограмом за означенням.

47. Нехай VXYZ— чотирикутник, VX||YZ, V + X = 180°. Тоді VZ||XY, бо V i X є внутрішніми односторонніми при прямих VZ і XY та січній VX. Тому чотирикутник VXYZ є паралелограмом за означенням.

48. Дано: А, В і С — точки. Побудувати: паралелограм.

Проводжу через точки А та С пряму т, а через точки А та й — пряму n. Будую коло довільного радіуса з центром у точці С. Воно перетне пряму т у точках М і N. Будую кола довільного радіуса, більшого за половину відрізка MN, з центрами у точках М і N. Кола перетнуться у точках S і Т. Проводжу через точки S і Т пряму k, km. Аналогічно будую пряму ВK, яка проходить через точку В і яка перпендикулярна до прямої k. Аналогічно через точку С проводжу пряму, паралельну до прямої n. Останні дві прямі у перетині дадуть точку D. Чотирикутник ABDC — шуканий.

Аналогічно до описаного вище способу можна побудувати ще два паралелограми ADBC і ABCD, сполучаючи три задані точки в різних послідовностях.

49. З двох рівних різносторонніх трикутників можна одержати три різні паралелограми, прикладаючи один до іншого рівними сторонами.

50. Нехай ABCD— паралелограм, P_ABCD = 14 дм, Р_АBC = 10 дм. Тоді P_ABCD = AB + ВС + CD + AD = 2(АВ + ВC); звідки АВ + ВС = 14 : 2 = 7 (дм). Р_ABC = АВ + BC + AC; AC = P_ABC - (AB + BC); AC = 10 - 7 = 3(дм).

Відповідь. 3 дм.

51. Нехай ABCD — паралелограм, АВ + ВС + CD = 15 м, AD + AB + BC = 18 м. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = CD, AD = ВС, тому 2АВ + ВС = 15; 2AD + АВ = 18. Додавши почастинно останні дві рівності, маємо: 3АВ + 3AD = 33; AB + AD = 11. Тоді P_ABCD = 2(AB + AD); P_ABCD = 2 • 11 = 22 (M).

Відповідь. 22 м.

52.

а) Нехай ABCD— паралелограм, AM— бісектриса, BMA = 35°. Оскільки AM— бісектриса, то BAM = MAD. MAD = BMA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній AM. Тоді BAM = BMA, звідки випливає, що трикутник АВМ— рівнобедрений з основою AM. Розглянемо трикутник АВМ. За теоремою про суму кутів трикутника BAM+ B + ВМА = 180°; B = 180° - (BAM + BMA); B= 180° - (35° + 35°) = 110°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; A = 180° - B; A = 180° - 110° = 70°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A = 10°, B = D = 110°.

Відповідь. 70°; 110°; 70°; 110°;

б) нехай ABCD— паралелограм, ВМ — висота, ABM = 42°. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ (AMB = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: A + ABM = 90°; A =90° - ABM; A = 90°- 42° = 48°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; B = 180° - A; B = 180° - 48° = 132°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A = 48°, B = D = 132°.

Відповідь. 48°; 132°; 48°; 132°.

53.

а) Нехай ABCD — паралелограм, АС— діагональ, АВ = ВС = CD = AD, CAD = 25°. Розглянемо трикутники ADC і ABC. У них: 1 ) AD = AB за умовою; 2) DC = ВС за умовою; 3) АС — спільна сторона Отже, ADC = ABC за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників). Тому CAD = CAB - 25° і ACD = ACB як відповідні елементи рівних трикутників. Оскільки AD = DC і АВ = ВС, то трикутники A DC і ABC рівнобедрені з основою АС, тому CAD = CAB = ACD = ACB = 25°. За аксіомою про вимірювання кутів BAD = BAC + CAD; BAD = 25° + 25° = 50°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B = 180°; B = 180° - A; B = 180° - 50° = 130°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C = A = 50°, B = D = 130°.

Відповідь. 50°; 130°; 50°; 130°;

б) нехай ABCD— паралелограм, ВМ— висота, ABM : MBC = 1 : 3. Нехай ABM = х, тоді MBC = 3x. Оскільки MBC = 90°, то 3х = 90°; х = 30°. Отже, ABM = 30°. За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABM + MBC; ABC = 30° + 90° = 120°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + B= 180°; A = 180° - B; A = 180° - 120° = 60°. За властивістю протилежних кутів паралелограма C - A = 60°, B = D = 120°.

Відповідь. 60°; 120°; 60°; 120°.

54. Нехай ABCD — паралелограм, DM — бісектриса, ВМ : МС = 1 : 4, ВС = 15 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВС = ВМ + МС. Нехай ВМ = х см, тоді MС = 4x см. Рівняння: x + 4x = 15; 5x =15; x = 3. Отже, ВМ = 3см, тоді С = 4 • 3 = 12 (см). Тоді ВС = 3 + 12 = 15 (см). Оскільки DM— бісектриса, то ADM = MDC. ADM = CMD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній DM. Тоді MDC = CMD, звідки випливає, шо трикутник MCD — рівнобедрений з основою DM. Тому МС = CD = 12 см. Р_АBCD = АВ + BC + CD + AD = 2(BC + CD); P_ABCD = 2(15 + 12) = 54 (см). Якщо DМ буде бісектрисою гострого кута, то сторони паралелограма дорівнюватимуть 15 см і 3 см, a P_ABCD = 2(15 + 3) = 36 (см).

Відповідь. 54 см або 36 см.

55. Нехай ABCD — паралелограм, DM — бісектриса, ВМ = 5 см, МС = 6 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВС = ВМ + MС; ВС = 5 + 6 = 11 (см). Оскільки DM — бісектриса, то ADM = MDC. ADM = CMD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній DM. Тоді MDC = CMD, звідки випливає, що трикутник MCD — рівнобедрений з основою DM. Тому MС = СD = 6см. P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 2(BC + CD); P_ABCD = 2(11 + 6) = 34 (см). Якщо DM буде бісектрисою гострого кута, то сторони паралелограма дорівнюватимуть 11 см і 5 см, a P_ABCD = 2(11 + 5) = 32 (см).

Відповідь. 34 см або 32 см.

56. Нехай ABCD — паралелограм. АС і BD — діагоналі, ACBD = О, M∈BC, N∈AD. Розглянемо трикутники AON і СОМ. У них: 1) АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма; 2) AON = COM як вертикальні; 3) OAN = OCM як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Отже, AON = СОМ за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому NO = МО як відповідні елементи рівних трикутників, тобто точка О — середина відрізка MN.

57. Нехай ABCD— паралелограм, ВА₁ і DC₁ — висоти. Оскільки BC||AD як протилежні сторони паралелограма, то BC₁||A₁D. Якщо DC₁||BC, то DC₁||AD; BA₁||AD, тому DC₁||BA₁ за властивістю двох прямих, перпендикулярній третій. Тоді чотирикутник А₁BC₁D — паралелограм за означення.

58. Нехай ABCD— чотирикутник, MKD = BMK. CNP = NPA. Оскільки MKD = BMK, то за ознакою паралельних прямих AB||CD, бо ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих AB і CD та січній МK. Оскільки CNP = NPA, то за ознакою паралельних прямих AD||BC, бо ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і ВС та січній NP. Отже, якщо AB||CD і AD||BC, то ABCD — паралелограм за означенням.

59. Нехай ABC— рівносторонній трикутник (АВ = ВС = АС), MD||AC, DN||AB, Р_ABC = 18 cм. Оскільки трикутник ABC— рівносторонній, то A = B = C = 60°. Р_АВС = АВ + ВС + АС; АВ = ВС = АС = 18 : 3 = 6 (см). Так як МD||АС, то BMD = A = 60° як відповідні при паралельних прямих MD і АС та січній АВ. Оскільки DN||AB, то DNC = A = 60° як відповідні при паралельних прямих DN і АВ та січній АС. Тому трикутники MBD і NDC— рівносторонні (MD = MB = BD, NC + ND = DC). Тоді MD + DN = BD + DC = 6 (cм). P_AMDN = 2(MD + DN); P_AMDN = 2 • 6 = 12 (cм).

Відповідь. 12 см.

60.

1) Нехай ABCD— паралелограм, AN і DM— бісектриси, ВМ = 5 см, MN = 3 см, NС = 5см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + MN + NC; ВС = 5 + 3 + 5 = 13 (см); BN = ВМ + MN; BN =5 + 3 = 8 (см). Оскільки AN— бісектриса, то BAN = NAD. NAD = BNA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній AN. Тоді BAN = BNA, звідки випливає, що трикутник ABN— рівнобедрений з основою AN, звідки AB = BN= 8 см. Р_ABCD = 2(АВ + ВС); P_ABCD = 2(8 + 13) = 2 • 21 = 42 (см).

2) Нехай ABCD —- паралелограм, AM і DN — бісектриси, ВМ = 5 см, MN = 3 см, NC = 5 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + MN + NC; ВС = 5 + 3 + 5 = 13 (см). Оскільки AM— бісектриса, то BAM = MAD. MAD = BMA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній AM. Тоді BAM = BMA, звідки випливає, що трикутник АВМ— рівнобедрений з основою AM, звідки А В = ВМ = 5 см. P_ABCD = 2 (АВ + ВС); P_ABCD = 2(5 + 13) = 2 • 18 = 36 (см).

Відповідь. 42 см або 36 см.

61. Нехай ABCD—паралелограм, АС—діагональ, ACAD,Розглянемо прямокутний трикутник CAD (CAD = 90°). Оскільки катет дорівнює половині гіпотенузи, то D = 30°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, A + D = 180°; A = 180° - D; A = 180° - 30° = 150°. За властивістю протилежних кутів паралелограма B = D = 30°; C = A = 150°. Відповідь. 150°; 30°; 150°; 30°.

62.

1) Нехай ABCD — паралелограм, АС — діагональ, ААСВ і CAD — рівнобедрені прямокутні (ВС = АС, ACB- 90°; AD = AC, CAD = 90°). Розглянемо прямокутний трикутник ACB. За властивістю гострих кутів прямокутного рівнобедреного трикутника B = BAC = 90° : 2 = 45°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, B + C = 180°; C = 180° - B; C= 180° - 45° = 135°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B - 45°; A = C - 135°.

Відповідь. 135°; 45°; 135°; 45°;

2) нехай ABCD — паралелограм, АС — діагональ, АС В і CAD — рівнобедрені прямокутні (ВС = АС, ACB = 90°; AD = AC, CAD = 90°). Оскільки B = 90°, то за властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони парапелоірама, B + C = 180°; C = 180° - B; C - 180° - 90° = 90°. За властивістю протилежних кутів паралелограма D = B - 90°; A = C = 90°.

Відповідь. 90°; 90°; 90°; 90°.

63.

1) Нехай ABCD — паралелограм, AM і ВМ— бісектриси відповідно кутів А і В. Оскільки AM— бісектриса A, то за означенням бісектриси BAM = MAD = BAD. Аналогічно ВМ— бісектриса ZB, то за означенням бісектриси A + B = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма. Розглянемо трикутник АВМ. За теоремою про суму кутів трикутника ABM + BAM + BMA = 180°; BMA = 180° - ABM - BAM; BMA = 180°-

2) нехай ABCD — паралелограм, AM і CN— бісектриси відповідно кутів А і С. A = C як протилежні кути паралелограма. Оскільки AM— бісектриса A, то за означенням бісектриси BAM- MAD. MAD = BMA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній AM. Тоді BAM = BMA, звідки BMA = BCN. Але BMA і BCN є відповідними при прямих AM і CN та січній ВС. Оскільки BMA = BCN, то за ознакою паралельності прямих M||CN. Бісектриси AM і CN збігатимуться лише у випадку, коли діагональ АС є бісектрисою кутів А і С.

64.

1) Нехай ABCD — паралелограм, BN і ВМ— висоти. Нехай A = C = x. Розглянемо прямокутний трикутник ANB (N = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ABN + BAN = 90°, звідки 90° - BAN; ABN = 90° - x. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (M = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: CBM + BCM= 90°, звідки CBM = 90° - BCM; CBM = 90°-х. Далі маємо: ABC = ABN + NBM + MBC; ABC = 90° - x + NBM + 90° - x; ABC = 180° - 2x + NBM. A + ABC = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки х + 180° - 2х + NBM = 180°; NBM = x. Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює його гострому куту;

2) нехай ABCD — паралелограм, AN і AM— висоти. Нехай ABC = ADC = x як протилежні кути паралелограма. Тоді NBA + ABC = 180° як суміжні, звідки NBA = 180° - ABC; NBA = 180° - х. Розглянемо прямокутний трикутник ANВ (N = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: NBA + BAN = 90°, звідки BAN = 90° - NBA; NBA = 90° - (180° - x) = x - 90°. ADC+ ADM= 180° як суміжні, звідки ADM = 180° - ADC; A — DM = 180° - x. Розглянемо прямокутний трикутник AMD (M = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: MAD + ADM = 90°, звідки MAD = 90° - ADM; MAD = 90°- (180°- х) = х - 90°. BAD + ABC = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки BAD = 180° - х. NAM - NAB + BAD + DAM; NAM = x - 90°+ 180°- х + х - 90°; NAM = x. Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює його тупому куту.

65. Ні, твердження не правильне. Наприклад, на рисунку діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутники, але він не є паралелограмом, бо його протилежні сторони не паралельні.

66.

1) Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD — діагоналі, ACBD. Розглянемо прямокутні трикутники АОВ, ВОС, COD і AOD (AOB = BOC = COD = AOD = 90°). За властивістю діагоналей паралелограма АО = ОС і BO = OD. Отже, AОВ = ВОС = COD за двома катетами (за II ознакою рівності прямокутних трикутників). Тому АВ = ВС = CD = AD як відповідні елементи рівних трикутників.

2) Обернене твердження. Якщо всі сторони паралелограма рівні, то його діагоналі перпендикулярні. Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD — діагоналі, АВ = ВС = CD = AD. Розглянемо трикутник ABD. Оскільки AB = AD, то він рівнобедрений. За властивістю діагоналей паралелограма BO = OD і АО — медіана трикутника BAD. Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його висотою, тому тому й

67. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AM = MB, BN = NC. Тоді А = С як кути при основі рівнобедреного трикутника ABC. Оскільки АВ = ВС, то AM = MB = BN = NC як половини рівних відрізків. Тоді трикутник MBN— рівнобедрений з основою MN, звідки BMN = BNM як кути при основі. У трикутнику ABC за теоремою про суму кутів трикутника A + В + С = 180°, звідки А = (180° - В) : 2. Аналогічно з трикутника MBN BMN = (180° - В) : 2. Тому А = BMN. Але ці кути є відповідними при прямих АС і MN, звідки з їх рівності випливає, що МN||АС.

68.

1) Якщо у чотирикутнику ABCD АВ = CD і ВС = AD, то цей чотирикутник — паралелограм. 2) Якщо у чотирикутнику ABCD АВ = CD і AB||CD, то цей чотирикутник — паралелограм.