Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 4. Види паралелограмів

97.

а) Прямокутник і квадрат;

б) ромб і квадрат;

в) прямокутник і квадрат;

г) ромб і квадрат.

98. я) АО; б) ВО; в) СО.

99. Нехай ABCD — прямокутник, АВ = 8 см, ВС = 5 см.

а) Відстань від точки до прямої — це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. За властивостями прямокутника ABCD CDAD і АВ = CD. Тому CD = 8 см;

б) відстань між двома паралельними прямими — це довжина спільного перпендикуляра. За властивостями прямокутника ABCD AB||CD, ВСАВ. BCCD. Тому відстань між прямими АВ і CD — це відрізок ВС = 5 см.

Відповідь, а) 8 см; б) 5 см.

100. Нехай ABCD— квадрат. Тоді АОВ = ВОС = COD = AOD, які є прямокутними рівнобедреними, бо діагоналі квадрата перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл (AOB = BOC = COD = AOD = 90°, АО = ОС = ВО = OD). Рівними є й трикутники АВС = ADC = BAD = BCD, які є теж прямокутними рівнобедреними, бо (ABC = BCD = CDA = DAB = 90°) як кути квадрата, АВ = ВС = CD = AD як сторони квадрата.

101. Діагональ прямокутника не може дорівнювати стороні, бо, наприклад, у прямокутному трикутнику BAD гіпотенуза BD не може дорівнювати ні стороні А В, ні стороні AD. У ромбі менша діагональ може дорівнювати стороні лише за умови, що гострий кут ромба дорівнює 60°.

102. Прямокутник може бути ромбом лише тоді, коли він є квадратом.

103.

а) А = D = 90°, але чотирикутник ABCD не є прямокутником;

б) у чотирикутнику ABCD АС = BD, але він не є ромбом;

в) у чотирикутнику ABCD АС = BD, але він не є прямокутником;

г) у чотирикутнику ABCD АС = BD і ACBD, але він не є квадратом.

104.

а) АВ = 15 мм, ВС =15мм, СD = 15мм, AD = 15мм. Отже, чотирикутник ABCD — ромб за означенням;

б) А = 28°. Сума сусідніх кутів дорівнює 180°, тому А + D = 180°; D = 1180° -А; D = 180° - 28°= 152°. Протилежні кути ромба рівні, тому С = А = 28°, В - D = 152°;

в) ADB = CDB - 76°. Рівними є кути: ВАО = OAD = ВСО = OCD = 14°, АБО = ОВС = ADO - ODC = 76°.

105.

а) AB = CD = 133 мм, ВС = AD = 23 мм. Чотирикутник ABCD — прямокутник;

б) АС = BD = 26 мм;

в) АВ = ВС₁ = C₁D₁ = AD₁ = 13 мм.

106. Нехай ABCD— прямокутник, АС = 15 см, Р_АВСD = 36 см. Р_ABCD = АВ + ВС + АС; АВ + ВС = Р_АВС - АС, AВ + BС = 36 - 15 = 21 (см). P_ABCD = AB + ВС + CD + AD. Оскільки в прямокутнику AB = CD і ВС = AD, то P_ABCD = 2(AB + ВС); P_ABCD = 2 • 21 = 42 (см).

Відповідь. 42 см.

107. Нехай ABCD— прямокутник, P_ABCD = 36 см, ВС = 2АВ. P_ABCD = AB + BC + CD + AD. Оскільки в прямокутнику АВ = CD і ВС = AD, то P_ABCD = 2(АВ + ВС). Нехай АВ = х см, тоді ВС = 2х (см). 36 = 2(х + 2х); 6x = 36; х = 6. Отже, АВ = 6 см, тоді ВС = 2 • 6 = 12 (см).

Відповідь. 6 см, 12 см.

108. Нехай ABCD— прямокутник, BAC = 65°. За властивістю діагоналей прямокутника вони рівні і точкою перетину поділяються навпіл. Тому АО = ВО, звідки випливає, що трикутник АОВ— рівнобедрений з основою АВ. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника BAO = AВО = 65°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAO + ABO + BOA = 180°; BOA = 180°- (BAO + ABO); BOA =180°- (65° + 65°) = 50°.

Відповідь. 50°.

109. Нехай ABCD — прямокутник, BOA = 80°. За властивістю діагоналей прямокутника вони рівні і точкою перетину поділяються навпіл. Тому АО = ВО, звідки випливає, що трикутник АОВ— рівнобедрений з основою АВ. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника BAO = ABO. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAO + ABO + BOA = 180°; 2BAO + BOA = 180°; 2BAO = 180° - BOA; BAO = (180° - BOA) : 2; BAO = (180° - 80°) : 2 = 50°. Оскільки ABCD — прямокутник, то A = 90°. Тому за аксіомою вимірювання кутів BAO + OAD = 90°; OAD = 90° - BAO; OAD = 90° - 50° = 40°.

Відповідь. 50°, 40°.

110. Нехай ABCD — прямокутник, COD = 60°, CD = 8 см. За властивістю діагоналей прямокутника вони рівні і точкою перетину поділяються навпіл. Тому СО = DO, звідки випливає, що трикутник COD — рівнобедрений з основою CD. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника CDO = DCO. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: CDO + DCO + COD = 180°; 2CDO + COD = 180°; 2CDO =180° - COD; CDO = (180° - COD) : 2; CDO = (180° - 60°) : 2 = 60°. Отже, трикутник COD— рівносторонній, СО = DO = CD = 8 см. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків АС = АО + ОС = 2ЩС; АС = 2 • 8 = 16 (см).

Відповідь. 16 см.

111. Нехай ABCD — ромб. Тоді АВ = ВС = CD = AD.

а) Оскільки протилежні кути ромба рівні, то в умові задачі йдеться про сусідні кути. Нехай A = x, тоді D = x + 120°. За властивістю сусідніх кутів ромба A + D =180°; х + х + 120°= 180°; 2х = 60°; х = 30°. Отже, A= 30°, тоді D = 30° + 120° = 150°. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то A = C = 30°, B = D = 150°;

б) нехай BD = АВ = AD. Тоді трикутник ABD— рівносторонній, звідки маємо, що A = ABD = ADB = 60°. За властивістю сусідніх кутів ромба A + D = 180°; D = 180° - A; D= 180°- 60°= 120°. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то A = C = 60°, B = D = 120°.

Відповідь, а) 30°, 150°, 30°, 150°; б) 60°, 120°, 60°, 120°.

112. Нехай ABCD — ромб. Тоді АВ = ВС = CD = AD.

а) Оскільки сума двох кутів відмінна від 180°, то в умові задачі йдеться про протилежні кути, до того ж тупі. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то A = C, B = D. Тоді B + D = 220°; B = D = 220° : 2 = 110°. За властивістю сусідніх кутів ромба A + D = 180°; A = 180° - ZD; ZA = 180° - 110° = 70°. Тоді C = A =70°;

б) нехай BAO = 25°. Оскільки діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то BAO = OAD - 25°. За аксіомою вимірювання кутів A = BAO + OAD; A = 25° + 25° = 50°. За властивістю сусідніх кутів ромба A + D = 180°; D = 180° - A; D = 180° - 50° = 130°. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то A = C = 50°, B = D = 130°.

Відповідь, а) 70°, 110°, 70°, 110°; б) 50°, 130°, 50°, 130°.

113. Нехай ABCD — квадрат, P_ABCD = 40 CM. Тоді P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD. З означення квадрата АВ = ВС = CD = AD, тому АВ = ВС = CD = AD = 40 : 4 = 10 (см). Розглянемо трикутник AOD. У ньому AO = DO і AOD = 90° за властивостями діагоналей квадрата. Тому трикутник AOD— прямокутний рівнобедрений. Тоді висота ОМ, проведена до основи, є також його медіаною. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:

Відповідь. 5 см.

114. Нехай ABCD — квадрат, MN = 5 см. Оскільки BC||AD як сторони квадрата, то відстань між двома паралельними прямими є довжиною спільного перпендикуляра, тому MN = АВ = CD = 5 см. Тоді P_ABCD = 4AВ; P_ABCD = 4 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

115. Нехай ABCD — паралелограм, A = 90°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма A + D = 180°; D = 180° - A; D = 180° - 90° = 90°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C = 90°, B = D = 90°. Отже, паралелограм ABCD є прямокутником.

116. Нехай ABCD— паралелограм, AB = AD. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = CD, ВС = AD, тому AB = BC = CD = AD, звідки за означенням випливає, що ABCD — ромб.

117. Нехай ABCD— прямокутник, ON = 3см, ОМ = 4 см. Чотирикутник AMON — прямокутник, тому AM = ON, MO = AN. Розглянемо трикутник ABO. За властивостями діагоналей прямокутника АО = ВО, тобто трикутник АВО — рівнобедрений. У ньому ОМ — висота, а отже, й медіана, звідки AM = MB. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AM + MB = 2AM, тому AB = 2ON; AB = 2 • 3 = 6 (см). Аналогічно з трикутника AOD можна одержати, що AD = 2MO; AD = 2 • 4 = 8 (CM). P_ABCD = AB + ВС + CD + AD = 2(AB + AD); P_ABCD = 2(6 + 8) = 28 (см).

Відповідь. 28 см.

118. Нехай ABCD — прямокутник, AM— бісектриса, ВС = 12 см, ВМ = МС. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; ВС = 2ВМ; ВМ = ВС : 2; ВМ = 12 : 2 = 6 (см). Оскільки AM— бісектриса кута А, то BAM = MAD. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD та січну AM. BMA = MAD як внутрішні різносторонні. Тому BAM = BMA, звідки випливає, що трикутник АВМ— рівнобедрений з основою AM, тому АВ = ВМ = 6 CM. P_ABCD ⁼ АВ + ВС + CD + AD = 2(AB + ВС); P_ABCD = 2(6 + 12) = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

119. Нехай (О; R) — коло, АС і ВС— хорди, АСВС, ODAC, OD = 3 CM, OKBC, ОК = 5 см. Чотирикутник ODCK — прямокутник, OK = CD, DO = СK. Розглянемо трикутник АОС. Він рівнобедрений (ОА = ОС = R) з основою АС, тому OD — його висота, проведена до основи, яка є й медіаною. Тоді AD = DC = 5 см. За аксіомою вимірювання відрізків AC = AD + DC; АС = 5 + 5 = 10 (см). Розглянемо трикутник ВОС. Він рівнобедрений (ОВ = ОС = R) з основою ВС, тому ОK — його висота, проведена до основи, яка є й медіаною. Тоді ВK = KС = 3 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KС; ВС = 3 + 3 = 6 (см).

Відповідь. 6 см, 10 см.

120.

а) Нехай ABCD — ромб, OAD : ODA = 1 : 4. Нехай OAD = х, тоді ODA = 4х. Оскільки діагоналі ромба перетинають під прямим кутом, то AOD = 90°. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: OAD + ODA = 90°; х + 4х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, OAD = 18°, тоді ODA= 4 • 18° = 72°. Так як діагоналі ромба є його бісектрисами, то A = 2OAD; A = 2 • 18° = 36°, D = 2ODA; D = 2 • 72° = 144°. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то A = C = 36°, B = D = 144°.

б) нехай ABCD — ромб, ВМ— висота, АВ = 2ВМ. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ (AMB = 90°). Якщо АВ = 2ВМ, то якщо катет удвічі менший від гіпотенузи, то A = 30°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма A + D = 180°; D= 180° - A; D= 180° - 30° = 150°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C - 30°, B = D = 150°.

Відповідь, а) 36°, 144°, 36°, 144°; б) 30°, 150°, 30°, 150°.

121.

а) Нехай ABCD— ромб, ВМ— висота, АМВ — рівнобедрений. Оскільки BMAD, то AMB = 90°. За властивістю про суму гострих кутів прямокутного трикутника BAM + ABM = 90°. Оскільки трикутник АМВ рівнобедрений з основою АВ, то BAM = ABM. Тому 2BAM = 90°; BAM = 45°. Отже, A = 45°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма A + D = 180°; D = 180° - A; D= 180°- 45°= 135°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C = 45°, B = D= 135°.

б) нехай ABCD — ромб, ВМ — висота, AM = MD. Оскільки АМ = MD і AB = AD як сторони ромба, то AM = АВ. Якщо катет удвічі менший від гіпотенузи, то ABM = 30°. За властивістю про суму гострих кутів прямокутного трикутника BAM + ABM = 90°. BAM = 90° - ABM; BAM = 90°- 30° = 60°. Отже, A = 60°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма A + D = 180°; D= 180° - A; D = 180° - 60°= 120°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A = C = 60°, B = D = 120°.

Відповідь, а) 45°, 135°, 45°, 135°; б) 60°, 120°, 60°, 120°.

122. Нехай ABCD — ромб, B = 120°, BD = 6 см. За властивістю сусідніх кутів паралелограма A + B = 180°; A = 180° - B; D = 180° - 120° = 60°. Діагональ ромба с бісектрисою його кутів, тому ABD = DBC = ADB - BDC = 120° : 2 = 60°. Отже, трикутник ABD — рівносторонній, тому AB = AD = BD = 6 см. Р_BMCO = 4AB; P_ABCD = 4 • 6 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

123. Нехай ABCD — квадрат, АС і BD — діагоналі, АС = 18 см. За властивістю діагоналей квадрата ACBD і AO = OC = BO = OD. Тоді ОС = АС : 2; ОС = 18 : 2 = 9 (см). Р_BMCO = 4ОС; Р_BMCO= 4 • 9 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

124. Нехай ABC— прямокутний рівнобедрений трикутник (ABC = 90°, АВ = ВС), MNPK— квадрат, МК = MN = РК = 2 см. Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то за властивістю кутів при основі A = C. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + C = 90°; A = C - 90° : 2 = 45°. Розглянемо трикутник AMN. У ньому NAM = 45°, AMN = 90°, тоді за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ANM = 45°. Отже, трикутник AMN — рівнобедрений, звідки AM = MN = 2см. Аналогічно з трикутника РKС маємо: LС = РК = 2 см. За аксіомою вимірювання відрізків АС = AM + МK + KС; АС = 2 + 2 + 2 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

125. Нехай ABC — прямокутний рівнобедрений трикутник (ABC = 90°, АВ = ВС = 4 CM), BMNP — квадрат. Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то за властивістю кутів при основі A = C. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника А + C = 90°; A = С = 90° : 2 = 45°. Розглянемо трикутник AMN. У ньому NAM = 45°, AMN = 90°, тоді за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ANM = 45°. Отже, трикутник AMN— рівнобедрений, звідки АМ = MN. Аналогічно з трикутника NPC маємо: NP = PC. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AM + MB = MN + MB; BC = BP + PC = BP + NP. P_BMNP = BM + MN + NP + BP = AB + ВС; P_BMNP = 4 + 4 = 8 (CM). .

Відповідь. 8 см.

126. Нехай ABCD — паралелограм, AC i BD — діагоналі, ACBD. Розглянемо прямокутні трикутники AOB i AOD. У них: 1) ВО = OD за властивістю діагоналей паралелограма; 2) АО— спільна сторона. Отже, АОВ = AOD за двома катетами (за II ознакою рівності прямокутних трикутників). Тому AB= AD як відповідні елементи рівних трикутників. За властивістю паралелограма АВ = CD і ВС = AD. Тому АВ = ВС = CD = AD, тобто паралелограм ABCD — ромб за означенням.

127. Нехай ABCD— паралелограм, АС і BD — діагоналі й бісектриси. Оскільки BD — бісектриса кута В, то ABD = DBC. DBC = ADB як внутрішні різносторонні при парапельних прямих ВС і AD і січній BD. Тому ABD = ADB. Розглянемо трикутник ABD. Так як кути при стороні BD рівні, то він с рівнобедреним, звідки AB = AD. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = CD і ВС = AD, тому АВ = ВС = CD = AD, тобто паралелограм ABCD — ромб за означенням.

128. Нехай (О; R) — коло, АС і BD — діаметри. Оскільки АС і BD — діаметри кола й діагоналі чотирикутника, то AC = BD, АО = ОС = BO = OD як радіуси, тому ABCD— паралелограм за ознакою. Так як в паралелограма рівні діагоналі, то за ознакою він є прямокутником.

129. Нехай ABCD — прямокутник, BD — діагональ, MNBD, ВМ : МС = 2 : 1. Розглянемо трикутник BMD. Відрізок МО — висота і медіана цього трикутника, тому він є рівнобедреним з основою BD. Тоді BM = MD і MBD = MDB як кути при основі рівнобедреного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник MCD (MCD = 90°). У ньому MD : МС = 2 : 1, тобто гіпотенуза удвічі більша за катет, звідки випливає, що MDC = 30°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: MDC + DMC = 90°; DMC = 90° - MDC; DMC = 90° - 30° = 60°. Кути BMD і DMC є суміжними, тому BMD + DMC = 180°; BMD = 180°- DMC; BMD = 180° - 60° = 120°. За теоремою про суму кутів трикутника BMD + MBD + MDB = 180°; MBD = MDB = (180° - BMD) : 2; MBD - MDB = (180° - 120°) : 2 = 30°. За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABD + DBC = 90°; ABD = 90° - DBC, ABD = 90° - 30° = 60°.

Відповідь. 30°, 60°.

130. Нехай ABCD— прямокутник, BD — діагональ, MNBD, BMO = BOA = COD = а. Розглянемо прямокутний трикутник BOM. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: OBM + BMO = 90°; OBM = 90° - а. Розглянемо трикутник АОВ. Він рівнобедрений, бо за властивістю діагоналей прямокутника АО = ВО. Тому ABO = BAO. За теоремою про суму кутів трикутника ABO + BAO + BOA = 180°; ABO = BAO = (180° - BOA) : 2; За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABO + OBC = 90° : a = 60°.

Відповідь. 60°.

131. Нехай ABCD— ромб, ВМ, BN, DP і DK— висоти, BMAD, BNCD, DPBC, DKAB. Розглянемо прямокутні трикутники АМВ і BNC. У них: 1) АВ = ВС як сторони ромба; 2) A = C як протилежні кути ромба. Отже, AMB = BNC за гіпотенузою і гострим кутом. Тому BM = BN як відповідні елементи рівних трикутників. Аналогічно, розглянувши прямокутні трикутники CPD і AKD, можна показати, що DP = DK. Розглянемо трикутники AKD і BNC. У них: 1) AD = ВС як сторони ромба; 2) ZA - ZC як протилежні кути ромба. Отже, ДAKD - ABNC за гіпотенузою і гострим кутом. Тому DK = BN як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, ВМ = BN = DP = DK.

Обернене твердження. Якщо всі висоти чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — ромб.

Нехай ABCD — чотирикутник, ВМ = BN = DP = DK. Розглянемо прямокутні трикутники CPD і BNC. У них: 1) BCN — спільний; 2) DP = BN за умовою. Отже, CPD = BNC за гіпотенузою і гострим кутом. Тому CD = ВС як відповідні елементи рівних трикутників. Тоді трикутник BCD — рівнобедрений з основою BD, звідки CBD = CDB. Аналогічно, розглянувши прямокутні трикутники АМВ і AKD, можна показати, що AB = AD. Тоді трикутник BAD— рівнобедрений з основою BD, звідки ABD = ADB. Оскільки ВМ = DP і вони є висотами, то AD||BC, оскільки BN = DK і вони є висотами, то AB||CD. Тоді чотирикутник ABCD— паралелограм. A = C як протилежні кути паралелограма і CBD = CDB та ABD = ADB, тому ABD = CBD i ADB = CDB. Розглянемо трикутники BAD і BCD. У них: 1) BD— спільна сторона; 2) ABD = CBD за доведеним вище; 3) ADB = CDB за доведеним вище. Отже, BAD = BCD за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому АВ = ВС і AD = CD як відповідні елементи рівних трикутників, звідки АВ = ВС = CD = AD, а тому чотирикутник ABCD — ромб.

132. Нехай ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, ACBD = О, ОМАВ, ONBC, OPCD, OKAD. Розглянемо прямокутні трикутники ОМА і ОРС. У них: 1 ) АО = ОС за властивістю діагоналей ромба; 2) AOM = COP як вертикальні. Отже, ОМА = ОРС за гіпотенузою і гострим кутом. Тому ОМ = ОР як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямокутні трикутники ONB і OKD. У них: 1) BO = OD за властивістю діагоналей ромба; 2) BON = DOK як вертикальні. Отже, ONB = OKD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому ON = OK як відповідні елементи рівних трикутників. Тоді в чотирикутнику MNPK ОМ = ОР і ON = OK, тому він є паралелограмом за ознакою діагоналей. KN = МР як висот и ромба (див. № 131). Паралелограм MNPK з рівними діагоналями є прямокутником за ознакою.

133. Нехай ABCD — чотирикутник, АС і BD — діагоналі та бісектриси відповідних кутів. Якщо АС— бісектриса кута А, то за означенням BAC = CAD; якщо АС — бісектриса кута С, то за означенням BCA = ACD. Розглянемо трикутники ABC і ADC. У них: 1) АС — спільна сторона; 2) BAC = CAD за доведеним вище; 3) BCA = ACD за доведеним пише. Отже, АВС = ADC за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому AB = AD, ВС = CD як відповідні елементи рівних трикутників. Якщо BD — бісектриса кута В, то за означенням ABD = DBC: якщо BD— бісектриса кута D, то за означенням ADB = BDC. Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них: 1) BD — спільна сторона; 2) ABD = DBC за доведеним вище; 3) ADB = BDC за доведеним вище. Отже, ABD = CBD за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому АВ = ВС, AD = CD як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, в чотирикутнику ABCD AB = AD, ВС = CD, АВ = ВС, AD-CD; тому АВ = ВС = CD = AD, а це означає, що даний чотирикутник — паралелограм за означенням.

134. Нехай ABCD — паралелограм, BO, DT, АЕ і CF— бісектриси кутів паралелограма. За означенням бісектриси кута маємо: Але оскільки A = C і B = D як протилежні кути паралелограма, то BAE = EAD = BCF = FCD; ABO = OBC = CDT= TDA. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD (як сторони паралелограма) та січну АВ. Маємо: BAD + ABC - 180° як внутрішні односторонні, звідки 2BAE + 2ABO = 180°; BAE + ABO= 90°. Розглянемо трикутник АВК. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAK + ABK + AKB = 180°; AKB = 180° - (BAK + ABK); AKB = 180° - 90° = 90°. Тоді MKP = AKB = 90° як вертикальні. Аналогічно можна довести, що MNP = 90°. Розглянемо трикутник AMD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: AMD+ MDA + MAD = 180°; AMD = 180°- (MDA + MAD); AMD = 180° - 90° = 90°, тому KMN = 90°. Аналогічно можна довести, що KPN = 90°. Отже, в чотирикутнику KMNP всі кути прямі, тому цей чотирикутник — прямокутник.

135. Нехай ABCD— прямокутник, AN, СK, ВK і DN— бісектриси його кутів. Тоді BAM = MAD = ADP = PDC = DCP = PCB = CBM = MBA = 90° : 2 = 45° як половини прямих кутів. Розглянемо трикутник АМВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAM+ MAD + AMB = 180°; AMB = 180° - (BAM + MAB); AMB = 180° - (45° + 45°) = 90°. KMN= AMB = 90° як вертикальні. Аналогічно можна показати, що NPK = 90°. Розглянемо трикутник AND. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: NAD + NDA + AND = 180°; AND = 180° - (NAD + NDA); AND = 180° - (45° + 45°) = 90°. Аналогічно можна показати, що BKC = 90°. Отже, в чотирикутнику MNPK всі кути прямі, тобто він є прямокутником. Розглянемо прямокутні трикутники ВМА і CPD. У них: 1 ) AB = CD як сторони прямокутника; 2) BAM = CDP за доведеним вище. Отже, ВМА = CPD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому АМ = DP як відповідні елементи рівних трикутників. У рівнобедреному трикутнику AND AN = DN, тому маємо, що AN = АМ + MN; MN = AN - AM; DN = DP + PN; PN = DN - DP, звідки MN = NP як різниці рівних відрізків. Якщо в прямокутнику сусідні сторони рівні, то цей прямокутник є квадратом.

136.

а) Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), DE||AC. Оскільки ABC — рівнобедрений трикутник, то A = C як кути при основі. Тоді A = BDE як відповідні. Аналогічно C = BED. Тому BDE = BED, звідки випливає, що трикугник DBE— рівнобедрений, звідки DB = BE. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AD + DB; ВС = BE + ЕС, звідки AD = CE. Розглянемо трикутники АЕС і CDA. У них: 1 ) АС— спільна сторона; 2) AD = CE за доведеним вище; 3) A = C за доведеним вище. Отже, АЕС = CDA за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому АЕ = CD як відповідні елементи рівних трикутників;

б) оскільки ABC— рівнобедрений трикутник, то A = C = (180° - B) : 2; A = C - (180° - 80°) : 2 = 50°. Розглянемо паралельні прямі АС і DE та січну АВ. Тоді кути А та ADE є внутрішніми односторонніми, звідки A + ADE = 180°; ADE = 180° - A; ADE = 180° - 50° = 130°. Аналогічно CED = 130°.

Відповідь, б) 50°, 130°, 50°, 130°.

137. Не обов’язково, див., наприклад, рисунок.