Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 4. Многокутники. Площі многокутників
§ 26. Площа трапеції

941. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), ВС = а і AD = b — основи, ВМ — висота, ВМ = h. За означенням площі трапеції

1) а = 5 см, b = 7 см, h = 4 см. Отримаємо

2) а = 9 дм, b = 1 дм, h = 5 дм. Отримаємо

Відповідь. 1) 24 см²; 2) 25 дм².

942. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), ВС = а і AD = b — основи, ВМ — висота, ВМ = h. За означенням площі трапеції

1) а = 9 см, b = 3 см, h = 2 см. Отримаємо

2) а = 3 дм, b = 7 дм, h = 6 дм. Отримаємо

Відповідь. 1)12 см²; 2) 30 дм².

943. Нехай ABCD— трапеція (ВС||AD), MN— середня лінія трапеція, MN = 4см, ВР — висота, ВР = 5 см. За означенням площі трапеціїЗа властивістю середньої лінії трапеціїОтримаємо S = MN • ВР, тоді S = 4 • 5 = 20 (см²).

Відповідь. 20 см².

944. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), MN— середня лінія трапеція, MV = 6 см, ВР — висота, ВР = 3 см. За означенням площі трапеції За властивістю середньої лінії трапеції. Отримаємо S = MN • ВР, тоді S = 6 • 3 = 18 (см²).

Відповідь. 18 см².

945. Нехай ABCD— трапеція, (ВС||AD), ВС = 7 см, AD = 13 см, ВР— висота, S_ABCD = 40 см². За означенням площі трапеції звідси

Відповідь. 4 см.

946. Нехай ABCD— трапеція, (BC||AD), ВС = 8 см, AD = 10см. ВР — висота, S_ABCD = 36 см². За означенням площі трапеції звідси

Відповідь. 4 см.

947. Нехай ABCD — трапеція, (ВС||AD), ВР — висота, ВР - 6 см, S_ABCD= 24 см². За означенням площі трапеції звідси

Відповідь. 8 см.

948. Нехай ABCD — трапеція, (ВС||AD), MN— середня лінія трапеції, ВР — висота, ВР = 8 см, S_ABCD = 40 см². За означенням площі трапеціїЗа властивістю середньої лінії трапеціяОтримаємо S = MN • ВР . Звідси

Відповідь. 5 см.

949. Нехай ABCD — трапеція, (ВС||AD), ВС = 5 см, ВР —висота, ВР = 1 см, S_ABCD= 63 см². За означенням площі трапеціїзвідси

Відповідь. 13 см.

950. Нехай ABCD— трапеція, (BC||AD), AD = 17 см, BP—висота, BP = 3 см, S_ABCD= 33 см². За означенням площі трапеції, звідси

Відповідь. 5 см.

951. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, (ВС||AD, АВ = CD), ВС = 5 см, ВK = 4 см, АK = 3 см. Оскільки ВK і СО — висоти і ВС||AD, то ВСОK — прямокутник. Тоді ВС = KО. За умовою ABCD — рівнобічна трапеція, тоді АK = OD. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KО + OD = 2АK + CO, AD = 2 • 3 + 5 = 11 (см). За означенням площі трапеції

Відповідь. 32 см².

952. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (CD||AB, B = C= 90°), CD = 7 см, DK = 3 см, АK = 4 см. Оскільки СВ і DK — висоти і ВС||AD, то СОKВ — прямокутник. Тоді CD = ВK. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АK + KВ, АВ = 4 + 7 = 11 (см). За означенням площі трапеції,

Відповідь. 27 см².

953. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (CD||АВ, B = C = 90°), S_ABCD = 30 см², P_ABCD= 28 см, ВС = 3 см. Маємо:(2 • 30): DK = (CD + АВ), CD + АВ = (2 • 30) : 3, CD + АВ = 20 (см). Тоді P_ABCD ⁼ АВ + ВС + CD + AD, АВ + CD + 3 + AD = 28, AD = 28 - 3 - (АВ + CD) = 25 - 20 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

954. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||ВС, АВ = CD), S_ABCD= 44 см², P_ABCD = 32 см, АВ = CD = 5 см. Маємо: P_ABCD = AB + BC + CD + AD, P_ABCD= ВС + AD + 2CD, ВС + AD = P_ABCD- 2CD = 32 - 2 • 5 = 22 (см). Тоді

Відповідь. 4 см.

-

955. Нехай ABCD — трапеція (DC||AB), AB = 6 см, AM = 8 см, S_ADC = 40 см². Маємо:

Відповідь. 64 см².

956. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС), AD = 10 см, ВС = 8 см, S_ABD = 25 см². Маємо: Тоді

Відповідь. 45 см².

957. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС), ВС : AD = 1 : 3, BM = 6 см, S_ABCD= 36 см². Нехай ВС = х см, тоді AD = 3x см. Маємо:, 2S_ABCD= BM • (ВС + AD), 6 • (х + 3х) = 2 • 36, 4х = 12, x = 3. Звідси ВС = 3 (см), AD = 3 • 3 = 9 (см).

Відповідь. 3 см, 9 см.

958. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), BC : AD= 1 : 4, BM = 4 см, S_ABCD = 50 см². Нехай BC = x см, тоді AD = 4x см. Маємо: 2S_ABCD= BM • (BC + AD), 4 • (x + 4x) = 2 • 50, 5x = 25, x = 5. Звідси BC = 5 (см), AD = 4 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 5 см, 20 см.

959. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), AD = b см, BC = a см, CD = c см, B = CD = 150°. Проведемо висоту CM. Оскільки CMВС, то MCB = 90°. За аксіомою вимірювання кутів MCD = BCD - MCB = 150° - 90° = 60°. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника MDC - 90° - MCD = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:Тоді

Відповідь.

960. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||ВС, A = B = 90°), BCA = 45°, BCD = 150°, BC = 6 см, BC = 6 см. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника BAC = 90° - BCA = 90° - 45° = 45°. Тому АВ = СМ = ВС = 6 (см). Звідси ВС = АМ = 6(см). За аксіомою вимірювання кутів ACD = BCD - BAC = 135° - 45° = 90°. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику ACD, CM² = AM • MD, 6² = 6 • MD, 36 = 6MD, MD = 6 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD = 6 + 6 = 12 (см). Маємо:

Відповідь. 54 см².

961. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, A = B = 90°), BAC = 45°, ADC = 45°, АВ = 4 см. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника BCA = 90° - BАС = 90° - 45° = 45°. Тому АВ = ВС = СМ = AM = 4 (см). Аналогічно у прямокутному трикутнику CMD, MCD = CMD - MDC = 90° - 45° = 45°. Звідси CM = MD = 4 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD = 4 + 4 = 8 (см). Маємо:

Відповідь. 24 см².

962. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, A = B = 90°), BD = 13 см, AD = 12 см, ВС = 4 см. Із прямокутного трикутника BAD за теоремою Піфагора маємо: BD²= AB² + AD², AB²= BD² - AD², АВ² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25, АВ = 5 (см). Маємо:

Відповідь. 40 см².

963. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (AD||BC, A = B = 90°), АВ = 8 см, AD = 17 см, ВС = 5 см. Із прямокутного трикутника BAD за теоремою Піфагора маємо: BD² = AB² + AD², AD² = BD² — AB²; AD² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225, AD = 15 (см). Маємо:

Відповідь. 80 см².

964. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), ВС = 38 см, AD = 52 см, AB = CD = 25 см. Проведемо висоти BP, СМ. Тоді ВРСМ— прямокутник, ВС = РМ = 38 см. Тоді АР = MD = (AD - РМ) : 2 = (52 - 38) : 2 = 7 (см). Із прямокутного трикутника CMD за теоремою Піфагора маємо: CD² = CM² + MD², CM² = CD² - MD², .CM² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, CM = 24 (cm). Маємо:

Відповідь. 1080 см².

965. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||ВС, AB = CD), CM = 12 см, AD = 18 см, AB = CD = 13 см. Проведемо висоти BP, CM. Тоді BPCM — прямокутник, ВС = PM. Із прямокутного трикутника CMD за теоремою Піфагора маємо: CD² = CM² + MD², MD² = CD² - CM², MD² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25, MD = 5 (см). Тоді ВС = PM = AD - 2MD = 18 - 2 • 5 = 8 (см). Маємо:

Відповідь. 156 см².

966. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||ВС, AB = CD), CM = 3 см, ВС = 6 см, AB - CD = 5 см. Проведемо висоти BP, СМ. Тоді ВРСМ— прямокутник, ВС = РМ = 6 см. Із прямокутного трикутника CMD за теоремою Піфагора маємо; CD² = CM² + MD², MD² = CD² - CM², MD² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, MD = 4 (см). Тоді AD = 2MD + BC = 2- 4+ 6 = 14 (см). Маємо:

Відповідь. 30 см².

967. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (BC||AD, AB = CD), РОBC, РОAD, PO = 2 см, ОМ = 3 см, BC = 10 смm, PM— висота. За означенням площі трапеції . За аксіомою вимірювання відрізків РМ = РО + ОМ, РМ = 2 + 3 = 5 см. Трикутники ВОС і AOD подібні за трьома кутами (POC = MOA— вертикальні, BCO = OAD, CBO = ODA— внутрішні різносторонні). У подібних трикутниках відповідні відрізки пропорційні. Маємо: Тоді

Відповідь. 62,5см².

968. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), РО ВС, РОAD, РO = 5 см, ОМ= 6 см, AD = 18 см, РМ — висота. За означенням площі трапеції . За аксіомою вимірювання відрізків РМ = РО + ОМ, РМ = 5 + 6 = 11 см. Трикутники В ОС і AOD подібні за трьома кутами (POC = MOA — вертикальні, BCO = OAD, CBO = ODA — внутрішні різносторонні). У подібних трикутниках відповідні відрізки пропорційні. Маємо: Тоді

Відповідь. 181,5 см².

969. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), BDAC, СО — висота, CO = h. У рівнобічній трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями, маємо:За означенням площі трапеції S_ABCD= СО • СО = СО², тоді S_ABCD= h • h = h² (см²).

Відповідь, h² см².

970. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, AB = CD), BDAC, CO — висота, BC = 4 см, AD = 10 см. У рівнобічній трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями, маємо:За означенням площі трапеції »

Відповідь. 49 см².

971. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (ВС||AD, A = B = 90°), CM = 1 см, MD = 4 см. Проведемо радіуси в точки дотику: ОМ, ОР, ОТ, ОХ. Проведемо відрізки DO і СО. Трикутник COD — прямокутний, оскільки DO і СО — бісектриси кутів D і С за властивістю дотичних проведених з однієї точки до кола. Оскільки D + C = 180°, тоді OCD + ODC = 180° : 2 = 90°. За теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника маємо: COD = 180°- (OCD + ODC) = 180° - 90° = 90°. За теоремою про метричні співвідношення у прямокутному трикутнику маємо: ОМ² = CM • MD, ОМ² = 1 • 4 = 4, ОМ = 2 (см). Тоді АВ = 2OМ, АВ = 2 • 2 = 4 (см). АР = ВТ = ХО = 2 (см). За властивістю дотичних проведених з однієї точки до кола ТС = CM = 1 (см), PD = MD = 4 (см). За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВТ + ТС = 2 + 1 = 3 (см), AD = AP + PD = 2 + 4 = 6 (см). За означенням

Відповідь. 18 см².

972. Сума внутрішніх кутів опуклого 17-кутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(17 - 2) = 180° • 15 = 2700°.

Відповідь. 2700°.

973. Площа прямокутника дорівнює S = а • b, де а = 4,6 м, b = 3,4 м — сторони прямокутника (підлоги прямокутної форми). Тоді S = 4,6 • 3,4= 15,64(м²). Площа квадрата дорівнює S = с², с = 0,2 м (20 см)— сторона квадрата (плитки). Тоді S = 0,2² = 0,04 (м²). Отже, потрібно 15,64 : 0,04 = 391 плитка квадратної форми.

Відповідь. 79.

974. Нехай ABCD — ромб, АВ = 6 см. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Тоді A + B = 180°. Нехай A = x, тоді B = 120° + х. Отримаємо х + 120° + х = 180°, 2х + 120° = 180°, х = 30°. Отже, A = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ (AMB = 90°). За властивістю катета який лежить проти кута 30° маємо: ВМ = АВ : 2 = 6 : 2 = 3 (см). Тоді S_ABCD = ВМ • AD = 3 • 6 = 18 (см²).

Відповідь. 18 см².

975. Припустимо, що три квадрати рівні між собою. Тоді площа кожного становить 150 : 3 = 50 (см²). Але не існує квадрата, щоб сторона його була цілим числом і квадрат якого дорівнює числу 50. Тому всі три квадрати не рівні між собою. Подамо число 150 у такому вигляді: 150 = 5² + 5² + 10² = 25 + 25 + 100 = 150. Прямокутник складатиметься з двох рівних квадратів зі сторонами по 5 см і одного квадрата зі стороною 10 см. Тоді сторони утвореного прямокутника дорівнюють 10 см і (5 + 10) = 15 (см). Звідси Р = 2(10 + 15) = 50 (см).

Відповідь. 50 см.