Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 4. Многокутники. Площі многокутників
§ 25. Площа трикутника

908. Площу трикутника шукаємо за формулоюде а — сторона трикутника, h — висота, проведена до даної сторони.

1) Нехай а = 10 см, h = 5 см. Тоді

2) Нехай а = 3 дм, h = 5 дм. Тоді

Відповідь. 1) 25 см²; 2) 7,5 дм².

909. Площу трикутника шукаємо за формулоюде а — сторона трикутника, h — висота, проведена до даної сторони.

1) Нехай а = 6 дм, h = 4 дм. Тоді

2) Нехай а = 7 см, h = 1 см. Тоді

Відповідь. 1) 12 дм²; 2) 3,5 см².

910. Площу прямокутного трикутника шукаємо за формулоюде а і b катети трикутника.

1) Нехай а = 4 см, А = 3 см. Тоді

2) Нехай а = 9 дм, А = 5 дм. Тоді

Відповідь. 1) 6 см²; 2) 22,5 дм².

911. Площу прямокутного трикутника шукаємо за формулоюде а і b катети трикутника.

1) Нехай а = 6 см, b = 5 см. Тоді

2) Нехай а = 7 дм, h = 3 дм. Тоді

Відповідь. 1)15 см²; 2) 10,5 дм².

912. Площу трикутника знаходимо за формулоюде а — сторона трикутника, h — висота проведена до даної сторони. Якщо площа трикутника дорівнює 36 дм², а одна з висот — 8 дм, то сторона до якої проведено висоту дорівнює: а = 36 : 4 = 9 (дм).

Відповідь. 9 дм.

913. Площу трикутника знаходимо за формулойде а — сторона трикутника, h — висота проведена до даної сторони. Якщо площа трикутника дорівнює 20 см², а одна сторона — 8 см, то висота проведена до даної сторони дорівнює: h = 20 : 4 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

914.

І спосіб. На мал. 240 ABC — трикутник з основою 6 клітинок, а висота становить 4 клітинки. ТомуНа мал. 241 KML— трикутник з основою 4 клітинки, а висота становить 5 клітинок. Тому

Відповідь. 6 см², 5 см².

II спосіб (палеточний). На мал. 240 трикутник містить 8 повних клітинок і 8 неповних, тому S = 8 • 0,5 + 8 • 0,25 =4 + 2 = 6 (см²). На мал. 241 трикутник містить 4 повних клітинок і 9 неповних, тому S = 4 • 0,5 + 9 • 0,25 = 2 + 2,25 = 4,25 (см²).

З допомогою палеточного методу ми одержуємо наближений результат.

915. На мал. 242 DEF— трикутник з основою 6 клітинок, а висота становить 8 клітинок. ТомуНа мал. 243 ABC — трикутник з основою 6 клітинок, а висота становить 4 клітинки. Тому

Відповідь. 12 см², 6 см².

II спосіб (палеточний). На мал. 242 трикутник містить 12 повних клітинок і 14 неповних, тому S = 12 • 0,5 + 14 • 0,25 = 6 + 3,5 = 9,5 (см²). На мал. 243 трикутник містить 4 повних клітинок і 13 неповних, тому S = 4 • 0,5 + 13 • 0,25 = 2 + 3,25 = 5,25 (см²).

З допомогою палеточного методу ми одержуємо наближений результат.

916. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), ВМ— висота, ВС = 5 см, ВМ = 3 см. Із прямокутного трикутника ВМС (.ВМС = 90°), за теоремою Піфагора ВС² = ВМ² + МС², МС² = ВС² - ВМ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, МС = 4(см). Оскільки трикутник рівнобедрений, то АС = 2МС = 2 • 4 = 8 (см). Тоді

Відповідь. 12 см².

917. Нехай ABC — прямокутний трикутник (АС = ВС), ВС = 7 см, АВ = 25 см. За теоремою Піфагора АВ²=ВС² + АС², АС² = АВ² - ВС² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, АС = 24 (см). Тоді

Відповідь. 84 см².

918. Нехай ABC— рівнобедрений прямокутний трикутник (АС = ВС, C = 90°), АВ = 8 см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², АB² = 2ВС², 8² = 2ВС², 64 = 2ВС², ВС²= 32,Отже,.Тоді

Відповідь. 16 см².

919. Нехай ABC— рівнобедрений прямокутний трикутник (АС = ВС, C = 90°), СМ— висота, СМ = 6 см. Оскільки трикутник рівнобедрений, то СМ — медіана. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Звідси АВ = 2СМ = 2 • 6=12 (см). За теоремою Піфагора АВ² = ВС²+АС², AB²= 2 ДС², 12² = 2BC². 144 = 2 ВС², ВС²= 72,Отже, Тоді

Відповідь. 36 см².

920.

1) Нехай ABCD— ромб, AC,BD— діагоналі, BD = 8 см, АС = 10 см.

2) Нехай BD = d₁ АС = d₂ Тоді

Відповідь. 1) 40 см²; 2)

921.

1) Нехай ABCD — ромб, АС, BD — діагоналі, BD = 6 см, АС = 12 см.

Відповідь. 36 см².

922. Нехай ABCD— прямокутник, BD = 10см, ВМ = 3 см, ВМАС. За властивістю діагоналей прямокутника АС = BD = 10 см. Тоді=Прямокутні трикутники ABC і ACD рівні за двома катетами (АВ = CD, ВС = AD). Тому S_ABC = S_ACD = 15 (см²). Тоді S_ABCD= 2S_ABC = 2 • 15 = 30 (см²).

Відповідь. 15 см², 30 см².

923. Нехай ABC — заданий трикутник, АС = 2ВМ, S_ABC = 16 см². Нехай ВМ = х см, тоді АС = 2х см. Маємо:х² = 16, х = 4. Звідси АС = 2 • 4 = 8 (см).

Відповідь. 8 см.

924. Нехай ABC — заданий трикутник, ВМ = 4АС, S_ABC = 18 см². Нехай АС = х см, тоді ВМ = 4х см. Маємо:2x² = 18, х² = 9, х = 3. Звідси ВМ = 4 • 3 = 12 (см).

Відповідь. 12 см.

925. Нехай ABC — заданий трикутник, AD : DC =1 : 2, = 12 см². Оскільки у трикутниках ABD і DBC однакова висота ВМ, то їх площі відносяться як відповідні основи S_ABD: S_DBC= 1 : 2. Звідси S_DBC = 2S_ABD. За умовою S_ABC= 12 см². Тоді S_ABC = S_DBC+ S_ABD = 2S_ABD+ S_ABD = 3S_ABD. Звідси 3S_ABD=12, S_ABD = 4 (см²), S_DBC = 2S_ABD = 2 • 4 = 8 (см²).

Відповідь. 4 см², 8 см².

926. Нехай ABC —- заданий трикутник, AK : KB = 1 : 3, S_ABC = 20 см². Оскільки у трикутниках ABK і KBC однакова висота CM, то їх площі відносяться як відповідні основи S_ABK: S_KBC = 1 : 3. Звідси S_KBC = 3S_ABK. За умовою S_ABC = 20 см². Тоді S_ABC = S_KBC + S_ABK = 3S_ABK + S_ABK = 4S_ABK. Звідси 4S_ABD = 20, S_ABD = 5 (см²), S_SBC = 3S_ABD = 3 • 5 = 15 (см²).

Відповідь. 5 см², 15 см².

927. Нехай ABCD—трапеція (ВС||AD). Проведемо висоти ВМ і СР. Тоді Оскільки ВМ = СР, то S_ACD = S_ABD.

928. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АС = АВ), СМ — висота, АМ = 4см, MB = 1 см. АС = AB = AM + MC = 4 + 1 = 5 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АМС (AMC = 90°). За теоремою Піфагора АС²= CM² + AM². CM² = АС²- AM², CM² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9, CM = 3 (см). Звідси

Відповідь. 7,5 см².

929. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АС = АВ ), СМ — висота, AM = 6 см, MB = 4 см. АС = АВ = AM + MC = 6 + 4 = 10 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АМС (/.АМС = 90°). За теоремою Піфагора АС² = СМ² + АМ², СМ² = АС² - АМ², CM² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64, СМ = 8 (см). Звідси

Відповідь. 40 см².

930. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — висота. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АВ² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, АВ = 10 (см). Тоді3 іншого боку,

Відповідь. 4,8 см.

931. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 7 см, ВС = 24 см, CM — висота. За теоремою Піфагора А В² =АС² + ВС². АВ² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, АВ = 25 (см). Тоді3 іншого боку, CM = 6,72 (см).

Відповідь. 6,72 см.

932. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), M, Р, Т — точки дотику кола, AM = 6 см, MB = 9 см. Проведемо радіуси в точки дотику. Тоді РОТС — квадрат. Нехай PC = СТ = х см. За властивістю відрізків дотичних проведених з точки поза колом маємо: AM = АР = 6 см, МВ = ТВ = 9 см. Тоді АВ = АМ + МВ = 6 + 9=15 (см), АС = АР + PC = (6 + х) см, ВС = ТВ + СТ = (9 + х) см. За теоремою Піфагора AB² = АС² + ВС², 15² = (6 + х)² + (9 + х)², 225 = 36 + 12х + х² + 81 + 18х + x, 2х² + 30х - 108 = 0, х² + 15x - 54 = 0, х = 18 (сторонній корінь), х = 3. Отже, АС = 6 + 3 = 9 (см), ВС = 9 + 3 = 12 (см). Тоді

Відповідь. 54 см².

933. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), М, Р,Т—точки дотику кола, СТ = 3 см, ТВ = 5 см. Проведемо радіуси в точки дотику. Тоді РОТС— квадрат. Звідси PC = СТ = 3 см. За властивістю відрізків дотичних проведених з точки поза колом маємо: ТВ = MB = 5 см, АР = AM. Нехай АР = AM = х см. Тоді АВ = АМ + MB = (х + 5) см, АС = АР + PC = (х + 3) см, ВС = ТВ+ СТ = 3 + 5 = 8 (см). За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², (х + 5)² = (x + 3)² + 8², х² + 10х + 25 = х² + 6х + 9 + 64, 10x — 6x = 73 - 25, 4x = 48, х = 12. Отже, АС = 12 + 3 = 15 (см), ВС = 8 (см). Звідси

Відповідь. 60 см².

934.

І. Нехай ABC— прямокутний трикутник. А) Якщо катети трикутника дорівнюють АС = 4 см, ВС = 6 см, то площа трикутника дорівнюєБ) Якщо катет трикутника дорівнюють ВС = 4 см, а гіпотенуза АВ = 6 см, то другий катет за теоремою Піфагора дорівнюватиме АС = 3 см. Тоді плота трикутника становить

Відповідь. А) 1) ні; 2) так; 3) ні. Б) 1) ні; 2) ні; 3) ні.

II. Нехай ABC — довільний трикутник. В) Якщо АС = 6 см, ВС = 4 см, то висота трикутника ВМ менша за сторону, яка виходить із тієї ж вершини В. Тобто ВМ < 4 см. Тоді площа трикутника дорівнює

Відповідь. В) 1) так; 2) так; 3) ні.

935. Нехай AB, CD— задані відрізки, АО = ВО, СО = 3 см, DO = 6 см. Розглянемо трикутники АОС і BOD. Проведемо висоти АР і ВМ. Тоді Розглянемо прямокутні трикутники АОР і ВМО. У них АОР = BOM — як вертикальні, АО = ВО за умовою. Отже, АОР ~ ВМО за гіпотенузою і гострим кутом. Звідси АР = ВМ. Складемо відношенняЗвідси,

Відповідь. S_AOC: S_BOD = 1 : 2.

936. Нехай ABC — заданий трикутник, MN— середня лінія, М∈AB, N∈АС. За властивістю середньої лінії MN = BC : 2. Проведемо висоту АР. Тоді АО — висота трикутника AMN. За означенням площі трикутникаТоді оскільки MN— середня лінія трикутника і О∈MN. Складемо відношення

Відповідь. S_AMN : S_ABC = 1 : 4.

937. Нехай ABCD — квадрат, О — центр вписаного кола, ОМ— радіус вписаного кола, ОМ = 3 см. Точки М, N— точки дотику кола, М∈AB і N∈CD. MN = 2 • ОМ, MN = 2 • 3 = 6 (см). Оскільки ABCD— квадрат, то AD = MN = 6 (см). Тоді P_ABCD = 4АВ, Р_ABCD = 4 • 6 = 24 (см). S_ABCD = АВ • ВС, S_ABCD = 6 • 6 = 36 (см²).

Відповідь. P_ABCD= 6 см, S_ABCD = 36 см².

938. Нехай ABCD — прямокутник, P_ABCD = 48 см, ВО — бісектриса, АО : ОС = 1 : 2. У прямокутному трикутнику ABC (ABC = 90°) за властивістю бісектриси трикутника,. Нехай АВ = х, ВС = 2х. Тоді P_ABCD = 2(АВ + ВС), 48 = 2(2х + х), 24 = 3х, х = 8 см. Звідси AB = 8(см), ВС= 2 • 8 = 16 (см). Звідси S_ABCD= АВ • AD, S_ABCD = 8 • 16 = 128 (см²).

Відповідь. 128 см².

939. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), ВС = 3 см, AD = 5 см, ВМ = 4 см.

940. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), АВ = 3,5 м, ВС = 5 м, HP = 1,75 м (HP — висота людини, H∈ АС і Р∈ВС), СО = 10 м, (СО — відстань від краю тіні до людини), l = 0,5 м (l— довжина кроку). Трикутники ABC і НРС подібні за гострим кутом (АС — спільний). Складаємо відношення РО = PC + СО, РО = 2,5 + 10 = 12,5 (м). Кількість кроків

Відповідь. 25.