Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників
Вправи для повторення розділу № 3

До §18

776. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АС і ВС — катети, АВ — гіпотенуза.

1) АС= 11 см, ВС = 60 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АВ² = 11² + 60² =121 + 3600 = 3721, AB = 61 (см);

2) АВ = 13см, ВС = 12см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АС² = АВ² -ВС², АВ² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25, AС = 5 (см);

3) АС = 24 см, АВ = 25 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², ВС² = АВ² - АС², ВС² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49, ВС = 7 (см).

Відповідь. 1) 61 см; 2) 5 см; 3) 7 см.

777. Нехай ABCD — квадрат, АВ = ВС = CD = DA = 5 см, АС — діагональ. З прямокутного трикутника ACD (D = 90°) за теоремою Піфагора АС² = AD² + CD² = 2AD², АС² = 2 • 5² = 2 • 25 = 50 (см). Тоді АС =

Відповідь.

778. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, АВ = АС = 37 см, ВС = 24 см, АK — висота. Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то АK — медіана і висота, тому ВK = KС. Звідси за аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KС = 2 • ВK, ВK = ВС : 2, ВK = 24 : 2 = 12 (см). З прямокутного трикутника АВK за теоремою Піфагора АВ² = ВK² + АK², АK² = АВ² - ВK², АK² =37² - 12² = 1369 — 144 = 1225, АK = 35 (см).

Відповідь. 35 см.

779.

1) Нехай ABC— заданий трикутник, АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 5. Нехай АВ = 3х, ВС = 4х і АС = 5х. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора АС² = ВС² + AB², (5х)² = (4x)² + (3x)², 25x² = 16x²+ 9x², 25x² = 25x²;

2) нехай АВС— заданий трикутник, АВ : ВС : АС = 6 : 7 : 10. Нехай АВ = 6x, BC = 7x i AС = 10x. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, АС² = ВС² + АВ², (10x)² = (6x)² + (7x)², 100x² = 36x² + 49x², 100x² ≠ 85x².

Відповідь. 1) Так, 2) ні.

780. Нехай ABCD— прямокутник, S_ABCD = 12 см², АВ = 3 см, AC — діагональ. S_ABCD = АВ • ВС, ВС = S_ABCD• АВ, ВС = 12 : 3 = 4 (см). З прямокутного трикутника ABC (B = 90°) за теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС². Отримаємо: АС² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, АС = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

781. Нехай ОАВ— прямокутний трикутник (A = 90°, оскільки О АА В, бо АВ — дотична до кола у точці А), ОС = 3 см, СВ = 2 см. ОС = ОА як радіуси кола. За аксіомою вимірювання відрізка ОВ = ОС + СВ, ОВ = 3 + 2 = 5 (см). З прямокутного трикутника ОАВ (A = 90°) за теоремою Піфагора ОВ² = О А² + АВ², АВ² = ОВ² - ОА², АВ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, АВ = 4 (см).

Відповідь. 4 см.

782. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (A = B = 90°). СО — висота трапеції, COAD. З прямокутника АВСО маємо, що АО = ВС = 8 см і АВ = СО як протилежні сторони. З прямокутного трикутника COD (O = 90°) за теоремою Піфагора CD² = CO² + OD², СО² = CD² - OD². За аксіомою вимірювання відрізків AD = АО + OD, OD = AD -AO, OD = 17 - 8 = 9(см). Отримаємо: СО²= 15² - 9² = 225 - 81 = 144, СО = 12 (см). Звідси P_ABCD = AB + BC + CD + OAD, P_ABCD = 8 + 17 + 12 + 15 = 52 (см).

Відповідь. 52 см.

783. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AB = CD), ВО і CP — висоти трапеції, BD — діагональ, BD = 20 см, ВО = 12 см, AD = 26 см. З прямокутника ВСРО маємо, що ВС = ОР як протилежні сторони. З прямокутного трикутника BOD (O = 90°, бо BOAD) за теоремою Піфагора BD² = BO² + OD², OD² = BD² - BO², OD² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256, OD= 16 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AO + OD, AO = AD - OD, AO = 26 - 16 = 10 (см). Оскільки трапеція рівнобічна то AO = PD, тоді за аксіомою вимірювання відрізка AD = AO + OP + PD = 2АО + ВС, ВС = AD - 2АО, ВС = 26 - 2 • 10 = 26 - 20 = 6 (см). 3 прямокутного трикутника АОВ (O = 90°) за теоремою Піфагора АВ² = ВО² + АО², АВ² = 12² + 10² = 144 + 100 = 244,

Відповідь. 6 см,

784. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), ВО — медіана, ВО = 15 см, AB : ВС = 3 : 4. З властивості прямокутного трикутника АС = 2 • ВО, АС = 2 • 15 = 30 (см). Нехай АВ = 3xсм, тоді ВС = 4х см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС², 30² = (3x)² + (4х)², 900 = 9х² + 16х², 25х² = 900, х² = 36, х = 6. Тоді АВ = 3 • 6 = 18 (см) і ВС = 4 • 6 = 24 (см). Звідси: Р_АВС = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 18 + 24 + 30 = 72 (см).

Відповідь. 72 см.

785. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = АС), АО — висота, АО = 15 см, АС : ВС = 5 : 6. АО — бісектриса і медіана, бо ABC — рівнобедрений. Тоді ВО = ОС. Звідси АС : ОС = 5 : 3. Нехай АС = 5х см, тоді ОС = 3х см. З прямокутного трикутника АОС (O = 90°) за теоремою Піфагора маемо: АС² = АО²+ ОС², (5х)² = 8² + (3х)², 25x² = 64 + 9x², 16х² = 64, х² = 4, х = 2. Тоді АС = 5 • 2 = 10 (см), ОС = 3 • 2 = 6 (см). За властивістю вимірювання відрізків ВС = АО + ОС = 2 • ОС, ВС = 2 • 6 = 12(см). Звідси Р_АВС = АВ + ВС + АС = 2АС + ВС, Р_АВС = 2 • 10 + 12 = 20 + 12 = 32 (см).

Відповідь. 32 см.

786. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = АС), АО — висота, ВМ— бісектриса, AM = 50 см, МС = 80 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АВ = АС = AM + МС = 50 + 80 = 130 (см). За властивістю бісектриси трикутника ЗвідсиОскільки трикутник рівнобедрений, то АО —висота і медіана, тому ВО = ВС : 2. ТодіЗ прямокутного трикутника АОВ (O = 90°) за теоремою Піфагора АВ² = АO² + ВO², АO² = AВ² - ВO² = 130² - 104² = 16900 - 10816 = 6084, АО = 78 (см).

Відповідь. 78 см.

787. Нехай ABC — заданий трикутникВС = 2 см, АK = ВK = 1 см. Проведемо у рівнобедреному трикутнику АKВ (АK = ВK) висоту KМ, яка буде також медіаною. Звідси3 прямокутного трикутника ВМK за означенням MBK = 45°. Тоді A = MBK = 45°. За теоремою про суму кугів трикутника АKВ = CKB = 180° - (BAK + MBK) = 180° - (45° + 45°) = 90°. З прямокутного трикутника СКВ за означенням маємо: CKB = 60°. За аксіомою вимірювання кутів одержимо: ABC = ABK + KBC = 45° + 60° = 105°.

Відповідь. 105°.

788. Нехай ABCD — трапеція (BC||AD), АВ = 9 см, ВС = 15 см, CD = 12 см, AD = 30 см. Оскільки BC||AD і ВС= AD, то ВС— середня лінія трикутника AMD. Звідси АВ = ВМ, CD = MD. Тоді AM = 2 • АВ = 2 • 9 = 18 (см), MD = 2 • CD = 2 • 12 = 24 (см). Маємо: AM² + MD²= 18² + 24² = 324 + 576 = 900, AD² = 30² = 900. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо: AM² + MD² = AD², тому AMD = 90°.

Відповідь. 90°.

789. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), ВО — медіана, ВО = 25 см, АО = ОС. ВР — висота, BPАС, ВР = 24 см. З властивості медіани прямокутного трикутника АС = 2ВО. АС = 2 • 25 = 50 (см). З прямокутного трикутника ВРО (P = 90°) за теоремою Піфагора ВО² = ВР² + РО², РО² = ВО²- ВР², РО² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49, РО = 1 (см). З прямокутного трикутника APB (P = 90°) за теоремою Піфагора АВ² = ВР² + АР². За аксіомою вимірювання відрізків АО = АР + РО, АР = АО - РО, АР = 25 — 7 = 18(см). Отримаємо АВ² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900, АВ = 30 (см). З прямокутного трикутника ABC за теоремою Піфагора АС² = А В² + ВС², ВC² = АС² - АВ², ВС² = 50² - 30² = 2500 - 900 = 1600, ВС = 40 (см). Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 30 + 40 + 50 = 120 (см).

Відповідь. 120 см.

До §19

790. Нехай mт — задана пряма, Сm, СА — похила, ВА — проекція похилої, СА = 5см, ВА = 4 см. Опустимо перпендикуляр з точки С на пряму m, CBBA і B = 90°. Звідси трикутник ABC — прямокутний (B = 90°). За теоремою Піфагора СА² = BС² + АВ², ВС² = СА² - АВ², ВС² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9, ВС = 3 (см).

Відповідь. 3 см.

791. Нехай m — пряма, Am, B = C, ВС = 8 см. Тоді ABC — рівнобедрений трикутник, оскільки кути при основі рівні. АK — висота, медіана і бісектриса Тоді ВK = KС = ВС : 2 = 8 : 2 = 4 (см). Проекція похилої АВ на пряму m є ВК, а похилої АС є KС.

Відповідь. 4 см, 4 см.

792. Нехай m — пряма, Аm, АС — похила, АВ — перпендикуляр, C = 60°, АС = 12 см, ABВС. Отримаємо ABC — прямокутний трикутник (B = 90°). За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°, A + 90° + 60° = 180°, A = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, ВС = АС : 2. ВС = 12 : 2 = 6 (см). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС², АВ² = АС² - ВС², АВ²= 12² - 6² = 144 — 36 = 108,

Відповідь. 6 см,

793. Нехай m — пряма, АС і АВ— похилі, АK — перпендикуляр, АKВС, АK = 4 см.

1) Нехай B = 45°, АС = 5 см. Оскільки АKВ— прямокутний трикутник (K = 90°), то за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника BAK = 90° - B = 90° - 45° = 45°. Тоді АKВ — прямокутний рівнобедрений трикутник і ВK = АK = 4 см. Оскільки АKС — прямокутний трикутник (K = 90°), то за теоремою Піфагора АС² = АK² + KС², KС²= АС² - АK², С² = 5² -4² = 25 - 16 = 9, KС = 3см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KС, ВС = 4 + 3 = 7 (см);

2) аналогічно ВK = АK = 4 см, KС = 3 см. Тоді ВС = ВK - KС = 4 - 3 = 1 см.

Відповідь. 7 см або 1 см.

794. Нехай m — пряма,АС і АВ— похилі, АK— перпендикуляр, АKВС, АВ : АС = 13 : 15, ВK = 10 см, KС = 18 см. Нехай АВ = 13xсм, тоді АС = 15x см. З прямокутних трикутників АKВ і АKС (K = 90°) за теоремою Піфагора АВ² = ВK² + АK², АС² = KС² + АK². Звідси АK² = АВ² - ВK², АK² = АС² — KС². АK — спільна сторона. Отже, АВ² - ВK² = АС² - KС², (13х)² - 10² = (15x)² - 18², 169x²- 100 = 225х² - 324, 56x = 224, х² = 4, х = 2. Тоді АВ = 13 • 2 = 26 (см), АС = 15 • 2 = 30 (см). З трикутника АKВ (K = 90°) АK² = АВ²- ВK², АK² = 26² - 10² = 676 - 100 = 516, АK = 24 (см).

Відповідь. 26 см, 30 см, 24 см.

795. Нехай ABC — трикутник, АВ = 4 см, АС = 13 см, ВС = 15 см. Висота, опущена на найбільшу сторону, буде найменшою. АK — висота, АKВС. З прямокутних трикутників АKB і АKС (K= 90°) за теоремою Піфагора АВ² = ВK² + АK², АС² = KC² + АK². Звідси АK² = АВ² - ВK², АK² = АС² - KС². АK — спільна сторона. Отже, АВ² - ВK² = АС² - KС². Нехай ВK = х см, тоді KС = (15 - х) см. Отримаємо: 4² - х² = 13²- (15 - х)², 16 — x² = 169 - 225 + 30x - x², 30х = 72, х = 2,4. Звідси ВK = 2,4 см. З рівності АK² = АВ² - ВK², АK² = 4² - 2,4² = 16 - 5,76 = 10,24;

Відповідь. 3,2 см.

До § 20

796.

1) Так;

2) так;

3) ні;

4) так;

5) ні;

6) так.

797. Нехай MPN— прямокутний трикутник (P = 90°), МР = 24 см, MN = 25 см. За означенням. За теоремою Піфагора MN² = MP² + PN², PN² = MN² - МР², PN² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49, PN = 7. Отримаємо:

Відповідь, cos М = 0,96; sin М = 0,28; tg М = 0,29167.

798. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), АВ = 8 см, ВС = 15 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС², АС² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, АС = 17 (см).

1) C — кут лежить проти меншого катета. За означенням

2) C— кут, який прилеглий до більшого катета. За означенням,;

3) за означеннямі Отримаємо:і

Відповідь. 1) sin С = 0,4706; 2) cos С = 0,8824; 3) tgA = 1,875 і tg С = 0,5333.

799. Нехай ABCD — прямокутник, R — радіус описаного кола, A = . Розглянемо прямокутний трикутник ABC (B = 90°), навколо якого описано коло. У ньому АС — діаметр кола, AC=2R. За означеннямАВ = АС • cos А, А² За означенням, ВС = АС • sin C, Тоді

Відповідь.

800. Нехай ABCD — ромб, АВ = ВС = CD = DA, АС — діагональ, B = 80°. Периметр ромба P_ABCD = АВ + ВС+ CD + DA = 4АВ. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC (АВ = ВС за умовою). За властивістю діагоналей ромба АСBD. Тоді ВО — висота, медіана і бісектриса. Звідси ABO - CBO = ABC : 2 = 80° : 2=40°, АО = ОС. За аксіомою вимірювання відрізків АС = АО + ОС = 2АО, АО = АС : 2 = 10 : 2 = 5(см). За означенням

Відповідь. 31,11 см.

801. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°),AC = b, СK — висота. З прямокутного трикутника АKС (K = 90°, за умовою СKАВ) за означенням СK = АС • sin A, CK = b • sin . З трикутника ABC (C = 90°) за означеннямЗа аксіомою вимірювання відрізків АВ = АK + KВ, KВ = АВ - АK,

Відповідь.

802. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = АС), ВС = 28 см, sin В = 0,96. Проведемо висоту АО, тоді АО— бісектриса і медіана, тому ВО = ОС. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВО + ОС = 2ВО, ВО = ВС : 2 = 28 : 2 = 14 (см). З трикутника АОВ (O = 90°) за означеннямЗвідси Нехай АО = 24х см, тоді АВ = 25x см. За теоремою Піфагора маємо: AB² = АО²+ ВO², (25x)² = (24x)² + 14², 625х² = 576х² + 196, 49x² = 196, х² = 4, х = 2. Отже, АВ = 25 • 2 = 50 (см).

Відповідь. 50 см.

803. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°),(О, r)— вписане в трикутник коло радіуса r. Проведемо радіуси ОМ і ОK в точки дотику. Звідси ОМАС, OKВС. Отже, СМОK — прямокутник, у якого сусідні сторони рівні, тому СМОK — квадрат. Звідси OK = СK = г. ВО — бісектриса за властивістю дотичних, проведених з однієї точки поза колом. Тоді3 прямокутного трикутника ОKВ за означенням. Звідси:=За аксіомою вимірювання відрізківІ

Відповідь.

804. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), ВС = 10 см, AD = 14 см, А = 60°, D = 30°. Проведемо ВР і СО — висоти трапеції, ВР = СО. Нехай ВР = х см. За аксіомою вимірювання відрізків AD= АР + РО + OD. З прямокутника ВСОР отримаємо: ВС = РО. З прямокутних трикутників ВРА (P = 90°) і COD (O = 90°) за означенняміОтримаємо:і Тоді

BD і СА — діагоналі. З прямокутного трикутника АОС (O = 90°) за теоремою Піфагора маємо: АС² = АО²+ СO². За аксіомою вимірювання відрізків АО = АР + РО, AO = 1 + 10 = 11 (см), тоді АС² = 11² + 3² = 121 + 3 = 124, З прямокутного трикутника BPD (P = 90°) за теоремою Піфагора BD² = ВР² + PD². За аксіомою вимірювання відрізків маємо: PD = РО + OD, PD =10 + 3 = 13 (см), тоді

Відповідь.

805. Нехай m — пряма,АС і АВ — похилі, АK — перпендикуляр, АKВС, B = 30°, C = 60°, ВС = а см.

1) Нехай ВK = х см, тоді KС = (а - х) см. З поямокутних трикутників AKВ і АKС (AKB = AKC = 90°) за означенняміЗвідсиУ даних рівностях ліві частини рівні, тому й праві частини також будуть рівні. Маємо: х = 3а - 3х, 4х = 3а, х = 0,15а. Тоді

2) нехай KС = х см, тоді СВ = (а + х) см. З прямокутних трикутників АKВ і АKС (AKB = AKC = 90°) за означеннямі. Звідси Звідси а + х = 3х, 2х = а, х = а : 2. Тоді

Відповідь.або

806. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°). З трикутника ABC маємо: BC-ABsinA;AC = ABcosA. З трикутника ABC за теоремою Піфагора одержимо: АВ² = ВС² + АС²; AB²= (ABsinA)²+ (ABcosA)²; AB²= AB²sin²A + AB²cos²A; AB² = AB²(sin²A + cos²A), звідки sin²A + cos²A = 1.

До § 21

807. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°).

1) ВА = 7 см, A = 19°. За теоремою про суму кутів трикутника одержимо: A + B + C = 180°, B = 180° - (A + C) = 180° - (19° + 90°) = 71 За означеннямСА = ВА • cos А, СА ≈ 7• cos 19°, СА ≈ 7 • 0,9455 ≈ 6,62 (см). За означеннямСВ = ВА • sin А, СВ ≈ 7 • sin 19°, СВ = 7 • 0,3256 ≈ 2,28 (см);

2) ВА = 20 дм, B = 48°. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°, A = 180° - (B + C) = 180° - (48° + 90°) = 42°. За означенням , ВС ≈ В А • cos В, СА ≈ 20 cos48°, СА ≈ 20 • 0,6691 ≈ 13,38 (дм). За означенням, СА ≈ ВА • sin В, СВ ≈ 20 • sin 48°, СВ ≈ 20 • 0,7431 ≈ 14,86 (дм);

3) ВС = 5 см, B = 57°. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°, B = 180° - (B + C) = 180° - (57° + 90°) = 33°. За означенням маємо: За означенням СА ≈ ВС • tg В, СА ≈ 5 • tg 57° ≈ 5 • 1,5349 ≈ 7,67 (см);

4) АС = 18 дм, B = 32°. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°, B = 180° - (B + C) = 180° - (32° + 90°) = 58°. За означенням За означенням

Відповідь. 1) 71°, 6,62, 2,28; 2) 42°, 13,38 дм, 14.86 дм; 3) 33°, 9,18 см, 7,67 см; 4) 58°, 21,23 дм, 28,8 дм.

808. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°).

1) АС = 9 см, ВС = 12 см. За теоремою Піфагора ВА² = ВС² + АС², ВА² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, BA = 15 (см). За означеннямТоді А = 53° 8'. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°, В = 180° - (А + С) = 180° - (53° 8' + 90°) = 36° 52';

2) АС = 7 дм, ВС = 5 дм. За теоремою Піфагора ВА² = ВС² + АС², ВА² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74,За означеннямТоді А = 35° 32'. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°, В = 180° - (А + С) = 180° - (53° 8' + 90°) = 36° 52';

3) AB = 34см, ВС = 30 см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², АС² = АВ² - ВС², АС² = 34² - 30² = 1156 - 900 = 256, АС= 16(см). За означенням Тоді АВ = 28° 4'. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°, A = 180° - (B + C) = 180° - (28° 4'+ 90°) = 61° 56';

4) АВ = 8 дм, АС = 7 дм. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², ВС² = АВ² - АС², і ВС² = 8² - 7² = 64 - 49 = 15,За означенням маємо: Тоді А = 29° 4'. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°, В = 180° - (А + С) = 180°- (29° 4' + 90°) = 60° 56';

Відповідь. 1) 15 см, 53° 8', 36° 52'; 2) 35° 32', 36° 52'; 3) 16 см, 28° 4', 61° 56'; 4)29° 4', 60° 56'.

809. Нехай ABC— трикутник, АВ = а м, СО — висота трикутника АСВ, тоді COАВ. Нехай АО = х м, тоді за аксіомою вимірювання відрізків АВ = АО + ОB, ОВ = АВ - АО = (а - х) м. З прямокутних трикутників СОА (СОА = 90°) і СОВ (СОВ = 90°) за означеннямСО = АО • tg А (1), іСО = О В • tg В (2). З рівностей (1) і (2) отримаємо: АО • tg А = ОВ • tg В,. Отже,, тоді

Відповідь.