Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 4. Многокутники. Площі многокутників
§ 22. Многокутник і його елементи. Сума кутів опуклого многокутника. Многокутник, вписаний в коло, і многокутник, описаний навколо кола

810.

1) А, В, С, D, Е — вершини многокутника, АВ, ВС, CD, DE, АЕ— сторони многокутника, A, В, C, D, Е — кути многокутника;

2) АВ і ВС — сусідні сторони, AB і CD — несусідні сторони;

3) А і В — сусідні вершини, А і С — несусідні вершини;

4) так.

811. А, В, С, D, E, F — вершини многокутника, АВ, ВС, CD, DE, EF, AF— сторони многокутника, A, В, С, D, Е, F— кути многокутника.

812. А₁, А₂, А₃, А₄, А₅,А₆,А₇ — вершини семикутнику, A₅A₃, А₅A₂, А₅A₁, А₅4₇ — діагоналі семикутника, що виходять з точки А₅.

813. ABCDEFG — неопуклий семикутник, С і F—тупі кути.

814. ABCDE — неопуклий п’ятикутник.

815. Мал. 224 — вписаний многокутник; мал. 223,225 — описані многокутники.

816. ABCDE — вписаний п’ятикутник.

817. ABCDEF — вписаний многокутник.

818. ABCDE — описаний многокутник.

819. ABCDEF—описаний шестикутника.

820.

1) S = 180°(n - 2) = 180°( 12 - 2) = 180° • 10= 1800°;

2) S = 180°(n - 2) = 180°(18 - 2)= 180° • 16 = 2880°.

Відповідь. 1) 1800°; 2) 2880°.

821.

1) S = 180°(n - 2) = 180°(7 - 2) = 180° • 5 = 900°;

2) S = 180°(n - 2) = 180°(22 - 2) = 180° • 20 = 3600°.

Відповідь. 1) 900°; 2) 3600°.

822. Сума внутрішніх кутів дев’ятикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(9 - 2) = 180° • 7 = 1260°. Оскільки в дев’ятикутнику всі кути рівні, то кожний з них рівний 1260° : 9= 140°.

Відповідь. 140°.

823. Сума внутрішніх кутів шестикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(6 - 2) = 180° • 4 = 720°. Оскільки в шестикутнику всі кути рівні, то кожний з них рівний 720° : 6 = 120°.

Відповідь. 120°.

824. Сума внутрішніх кутів п’ятикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Якщо в п’ятикутнику всі кути рівні, то кожний з них буде дорівнювати 540° : 5 = 108°.

Відповідь. Так.

825. Сума внутрішніх кутів п’ятикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = І80°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Якщо в п’ятикутниках чотири кути рівні, то і п’яті кути теж будуть рівними.

Відповідь. Так.

826. Сума внутрішніх кутів опуклого п’ятикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Якщо в п’ятикутнику найменший кут рівний 110°, то кожний з чотирьох інших буде більшим за 110°, а сума всіх кутів — більшою за 110° • 5 = 550°. Що неможливо, бо сума внутрішніх кутів опуклого п’ятикутника дорівнює 540°.

Відповідь. Ні.

827. Сума внутрішніх кутів опуклого шестикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(6 - 2) = 180° • 4 = 720°. Якщо в шестикутнику найбільший кут рівний 115°, то кожний з п’яти інших буде менший за 115°, а сума всіх кутів — меншою за 115° • 6 = 690°. Що неможливо, бо сума внутрішніх кутів опуклого шестикутника дорівнює 720°.

Відповідь. Ні.

828. Нехай ABCDEF — опуклий шестикутник, A : В : С : D : Е : F = 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7. Нехай А = 3x, В = 4х, С = 5х, D = 5х, Е = 6х, F = 7х. Сума внутрішніх кутів опуклого шестикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(6 - 2) = 180° • 4 = 720°. Звідси 3х + 4х + 5х + 5х + 6х + 7х = 720°, 30x = 720°, x = 24°. Тоді А =3 • 24 = 72°, В = 4 •24 = 96°, C = 5 • 24 = 120°, D= 5 • 24 = 120°, Е = 6 • 24 = 144°, F = 7 • 24= 168°.

Відповідь. 72°, 96°, 120°, 120°, 144°, 168°.

829. Нехай ABCDE— опуклий п’ятикутник, В = А + 10°, С = В+ 10°, D = C + 10°, E = D+ 10°. Нехай А = х, тоді В = х + 10°, С = х + 20°, D = x + 30°, E = x + 40°. Сума внутрішніх кутів опуклого п’ятикутника дорівнює S = 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Звідси х + х + 10° + x + 20° + х + 30° + x + 40° = 540°, 5х = 440°, x = 88°. A = 88°, B = 88° + 10° = 98°, C = 98° + 10° = 108°, D = 108° + 10° = 118°, E = 118° + 10° = 128°.

Відповідь. 88°, 98°, 108°, 118°, 128°.

830. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника дорівнює S = 180°(n - 2). В опуклому многокутнику кількість діагоналей дорівнює n (

n - 3) : 2.

1) 180°(n - 2) = 1080°, 180°n - 360° = 1080°, 180°n = 1440°, n = 8. Тоді кількість діагоналей становить n (n - 3) : 2 = 8 (8 - 3) : 2 = 20;

2) 180°(n - 2) = 2100°, 180°n - 360° = 2100°, 180°n = 1740°, n = 9,7. Що неможливо.

Відповідь. 1) Існує, 8 сторін, 20 діагоналей; 2) не існує.

831. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника дорівнює S = 180°(n - 2). В опуклому многокутнику кількість діагоналей дорівнює n (n - 3) : 2.

1) 180°(n - 2) = 2500°, 180°n - 360° = 2500°, 180°n = 2860°, n = 15,8. Що неможливо.

2) 180°(n - 2) = 1260°, 180°n- 360° = 1260°, 180°n = 1620°, n = 9. Толі кількість діагоналей становить n (n - 3) : 2 = 9 (9 - 3) : 2 = 27.

Відповідь. 1) Не існує; 2) існує, 9 вершин, 27 діагоналей.

832. Якщо кожний із зовнішніх кутів опуклого многокутника дорівнює 30°, то кожен внутрішній кут становитиме 180° - 30° = 150°. Внутрішній кут опуклого многокутника знаходимо за формулоюЗвідси 180°(n - 2) = 150°n, 180°n - 360° = 150°n, 30°n = 360°, n = 12.

Відповідь. 12 сторін.

833. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника дорівнює 360°. Звідси 360° : 90° = 4. Отже, заданий многокутник — прямокутник. Якщо кожний із зовнішніх кутів опуклого многокутника дорівнює 90°, то кожен внутрішній кут становитиме 180° - 90° = 90°. Многокутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником.

Відповідь. Прямокутник.

834. Припустимо, що існує многокутник у якого кількість діагоналей дорівнює кількості сторін. Тобтоn (nл - 3) = 2n, n² — 3n = 2n, n² — 5n = 0, n(n - 5) = 0, n = 0 (стороннє значення) або n - 5 = 0, n = 5. Даним многокутником є п’ятикутник.

Відповідь. П’ятикутник.

835. Сума зовнішніх кутів многокутника становить 360°, а сума внутрішніх кутів знаходимо за формулою S = 180°(n - 2). За умовою 180°(n - 2) = 5 • 360°. Маємо: 180°n - 360° = 1800°, 180°n = 2160°, n = 12.

Відповідь. 12 вершин.

836. Сума зовнішніх кутів многокутника становить 360°, а сума внутрішніх кутів знаходимо за формулою S = 180°(n - 2). За умовою 180°(n - 2) = 360° + 1980°. Маємо; 180°n - 360° = 2340°, 180°n = 2700°, n = 15.

Відповідь. 15 сторін.

837. Нехай ABCDE — опуклий п’ятикутник, BEA = BDC, ABE = CBD, BE = BD — діагоналі. Розглянемо трикутники ВАЕ і BCD. У них: 1) BE = BD за умовою, 2) BEA = BDC за умовою, 3) ABE = CBD за умовою. Отже, BAE = BCD за другою ознакою рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами). Звідси АВ = ВС, АЕ = CD. Тоді P_ABDE = AB + BD+ DE + АЕ = ВС + BE + DE + CD = Р_BCDE. Отже, Р_ABDE = Р_BCDE.

Відповідь. Периметри рівні.

838. Нехай ABC — гострокутний трикутник, АK, ВМ — висоти. Розглянемо прямоку- ^: тні трикутники АKС і ВМС. У них кут С спільний, тому АKС ~ ВМС як прямокутні зі спільним гостоим кутом. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, тому, АK • ВС = АС • ВМ. Що й потрібно було довести.

839. Нехай ABCD — трапеція, P_ABCD = Р см. За властивістю трапеції описаної навколо кола маємо: АВ + CD = ВС + AD. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. За умовою АВ + CD + ВС + AD = Р, 2(ВС + AD) = Р, ВС + AD = Р : 2 (см). Тоді середня лінія дорівнює (ВС + AD) : 2 = (Р : 4) (см).

Відповідь. (Р : 4) см.

840. Площу прямокутника знаходимо за формулою S = a • b, де а і b — сусідні сторони прямокутника.

1) S = 5 • 9 = 45 (см²);

2) S = 2,1 • 0,8= 1,68 (дм²);

3) S = 7 • 10 = 70 (см²);

4) S = 4,1 • 3,2 = 13,12 (дм²).

Відповідь. 1) 45 см²; 2) 1,68 дм²; 3) 70 см²; 4) 13,12 дм².

841. Площу квадрата знаходимо за формулою S = a², де а — сторона квадрата.

1) S = 7² = 49 (см²);

2) S = 29² = 841 (мм²);

3) S = 4,5² = 20,25 (мм²);

4)

Відповідь. 1) 49 см²; 2) 841 мм²; 3) 20,25 мм²; 4)

842. Розділимо всі точки на дві множини в такий спосіб: позначимо довільну точку кола через А₁, а діаметрально протилежну їй — В₁ наступну точку, яка слідує за А₁, через А₂, а діаметрально протилежну їй— В₂, ... Аn— Вn. Утворилось дві множини {Аn} і {Bn}. Прямий кут вписаного прямокутного трикутника спиратиметься на діаметр, кінці якого є точками різних множин {А_n} і {В_n}