Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників
Завдання для перевірки знань до § 18-21

1. За теоремою Піфагора 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26². Тоді гіпотенуза дорівнює 26 (см).

Відповідь. 26 см.

2.

1) AT;

2) AF;

3) TF.

3. За означенням:

1)  

2)

3)

4)

Відповідь.

4. Нехай ABCD — ромб, АВ = 25 см, АС = 14 см, АС і BD — діагоналі. З властивостей діагоналей ромба маємо: АО = ОС і BO = OD. Тоді АС = 2 • АО, АО = АС : 2, АО = 14 : 2 = 7 (см). З прямокутного трикутника АОВ (O = 90°) за теоремою Піфагора AB² = АO² + ВO², ВO = АВ² - АO² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, ВО = 24(см). Тоді BD = 2 • ВО = 2 • 24 = 48 (см).

Відповідь. 48 см.

5. Нехай m — прямаАВ — похила B = 30°, АС = 6 см. Проведемо перпендикуляр до прямої (АСm). З прямокутного трикутника АСВ за означенням маємо:Звідси

Відповідь.12 см.

6. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 16 см, A = 35°. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника B = 90° - A = 90° - 35° = 55°. За означеннямЗвідси ВС =АВ • sinA = 16 • sin 35° = 16 • 0,5736 = 9,18 (см), АС = АВ • cos А = 16 • cos 35° = 16 • 0,8192 = 13,11 (см).

Відповідь. 9,18 см, 13,11 см.

7. Нехай ABC — заданий трикутник, АВ = 15 см, ВС = 20 см, ВK = 12 см. Розглянемо прямокутний трикутник AKB(K = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = АK² + ВK². Звідси АK² = АВ² - ВK² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81, АK = 9(см). Нехай AС = х см, тоді CK = (х + 9) см. З прямокутного трикутника СКВ (K = 90°) за теоремою Піфагора маємо: СВ²= СK² + ВK². Тоді: 20² = (х + 9)² + 12², (х + 9)² = 256, х + 9 = 16, х = 7. Отже, АС = 7 см.

Відповідь. 7 см.

8. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 24 см,. За означеннямНехай ВС = 5х см, тоді АВ = 13х см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², (13x)² = 24² + (5x)², 169х² = 576 + 25x², 144х² = 576, х² = 4, х = 2. Oтже, ВС = 5 • 2 = 10 (см), АВ = 13 • 2 = 26 (см). Звідси Р_ABC = AВ + ВС + АС = 26 + 24 + 10 = 60 (см).

Відповідь. 60 см.

9. Нехай AВС — прямокутний трикутник (C = 90°), AM— бісектриса, СM = 6 см, ВМ = 10 см. За властивістю бісектрис трикутника Нехай АС = 3х см, тоді АВ = 5х см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = СМ + ВМ, ВС = 6 + 10 = 16 (см). За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². (5х)² = (3х)² + 16², 25х² = 9х² + 256, 16х² = 256, х² = 16, х = 4. Звідси АВ = 5 • 4 = 20 (см), АС = 3 • 4 = 12 (см).

Відповідь. 20 см, 16 см, 12 см.

10. Нехай ABC— заданий трикутник, AВ = 4 см, ВС = 13 см, AС= 15 см. Нехай AM = х см, тоді MC = (15 - х) см. З прямокутних трикутників АМВ і ВМС (AMB = ВМС = 90°) за теоремою Піфагора АВ² = AM² + ВМ² і ВС² = МС² + + ВМ². Звідси ВМ² = АВ² - AM², ВМ² = ВС² - MС². З даних рівностей одержимо: АВ² - АМ² = ВС² - МС². Маємо: 4² - х² = 13² - (15 - х)² , 16 - х² = 169 - 225 + 30х - х², 30х = 72, х = 2,4. Отже, AM = 2,4 см, MС = 15 - 2,4 = 12,6 (см).

Відповідь. 2,4 см, 12,6 см.

11. Нехай ABCD — ромб, АС, BD — діагоналі, АС = 12 см, BD = 6 см. За властивістю діагоналей ромба маємо: АО = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см), DO = BD : 2 = 6 : 2 = 3 (см), AОDO. Розглянемо прямокутний трикутник AOD. За означенням , OAD = 26°30'. За властивістю діагоналей ромба A = 2 • OAD = 2 • 26° 30' = 52° 60' = 53°. Сума сусідніх кутів ромба рівна 180°. Маємо: B = 180° - A = 180° - 53° = 127°.

Відповідь. 53°, 127°, 53°, 127°.