Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників
Домашня самостійна робота № 4

1. За теоремою Піфагора 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Тоді гіпотенуза дорівнює 25 (см).

Відповідь. В.

2. За теоремою Піфагора 15²- 12² = 225 — 144 = 81 = 9². Тоді невідомий катет дорівнює 9 (см).

Відповідь. Б.

3. За означенням

Відповідь. А.

4. Нехай ABCD — ромб, АВ = ВС = CD = DA, АС = 16 см, BD = 12 см, АС і BD — діагоналі. Із властивостей діагоналей ромба АО = ОС і BO = OD. Тоді АС = 2 • АО, АО= АС : 2, АО= 16 : 2 = 8 (см) і BD = 2 • BO, BO = BD : 2, ВО = 12 : 2 = 6 (см). Із прямокутного трикутника АОВ (O = 90°) за теоремою Піфагора АВ² = АО² + ВС², АВ² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, АВ = 10 (см).

Відповідь. Б.

5. Нехай m — пряма, Аm, АВ — похила, BAC = 60°. Проведемо перпендикуляр до прямої (АСm), АС = 8 см, C = 90°. За означенням маємо:

Відповідь. Г.

6. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 8 см, A = 50°. За означенням

Відповідь. В.

7. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), AM = 10, CM = 6, Із прямокутного трикутника ACM (C = 90°) за теоремою Піфагора AM² = АС² + СМ². Звідси АС² = AM² - CM² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64, АС = 8. Із прямокутного трикутника АСВ за теоремою Піфагора А В² = АС² + СВ². Звідси СВ = 13. За аксіомою вимірювання відрізків СВ = CM + MB. Тоді MB = СВ - СМ = 13 - 6 = 7.

Відповідь. Б.

8. Нехай m — пряма, Вm, AB, ВС — похилі, AM = 4 см, МС = 7 см, ВС - АВ= 1 см. Проведемо перпендикуляр до прямої (ВМm). Нехай АВ = х см, тоді ВС = (х + 1) см. Із прямокутних трикутників АMB і BMC (AMB = BMC = 90°) за теоремою Піфагора маємо: АВ² = AM² + ВМ² і ВС² = МС² + ВМ². Звідси ВМ² = АВ² - AM², ВМ² = ВС² - МС². З даних рівностей одержимо таку рівність АВ² - AM² = ВС² - МС². Маємо: х² - 4² = (х + 1)² - 7², х² - 16 =x2 + 2х + 1 - 49, 2х = 32, х = 16. Отже, АВ= 16 см.

Відповідь. Б.

9. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 20 см, tg А = 0,75. За означеннямНехай ВС = 3х см, тоді АС = 4х см. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АС²+ ВС², 20² = (4х)² + (3х)², 400 = 16x² + 9х², 25х² = 400, х²= 16, х = 4. Тоді ВС = 3 • 4 = 12 (см), АС = 4 • 4 = 16 (см). Звідси Р_ABC = АВ + ВС + АС = 20 + 12 + 16 = 48(см).

Відповідь. Г.

10. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), AM —бісектриса, СМ = 10 см, ВМ = 26 см. За властивістю бісектрис трикутника Нехай АС = 5х см, тоді АВ = 13х см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВС = СМ + ВМ, ВС = 10 + 26 = 36 (см). За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². (13х)² = (5х)² + 36², 169x² = 25x² + 1296, 144х² = 1296, х² = 9, х = 3. Звідси АВ = 13 • 3 = 39 (см).

Відповідь. В.

11. Нехай ABC— заданий трикутник, АВ = 5 см, ВС = 29 см, АС = 30 см. Нехай АМ = х см, тоді МС = (30 - х) см. Із прямокутних трикутників АМВ і ВМС (AMB = ВМС = 90°) за теоремою Піфагора, АВ² = АМ² + ВМ² і ВС² = МС² + + ВМ². Звідси ВМ² = АВ² — AM², ВМ² = ВС² — МС². З даних рівностей одержимо: АВ² — AM² = ВС² — МС². Маємо: 5² - х² = 29² - (30 - х)² , 25 - х² = 841 - 900 + 60х - х², 60х = 84, х = 1,4. Отже, АМ = 1,4 см.

Відповідь. А.

12. Нехай ABCD— прямокутник, АС і BD — діагоналі, АВ = 6 см, AD = 10 см. Із прямокутного трикутника BAD (BAD = 90°) за означеннямМаємо: ABD = 59°. Оскільки трикутник АОВ — рінобедрений (АО = ВО), то ABO = ВАО = 59°. За теоремою про суму кутів трикутника AOB = 180° - 2 • ABO = 180° - 2 • 59° = 180° - 118° = 62°.

Відповідь. В.