Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 2. Подібність трикутників
§ 17. Застосування подібності трикутників до розв’язування задач

561. 2); 4).

562. 1); 3).

563. Нехай AB і CD — хорди, точка Р — точка перегину хорд, АР = 9, РВ = 2, DP = 4. За теоремою про пропорційність відрізків хорд маємо: АР • РВ = СР • DP. Тоді: 9 • 2 = СР • 4, СР = 18 : 4 = 4,5.

Відповідь. 4,5.

564. Нехай MN, KL — хорди, точка А — точка перетину хорд, KР = 6,AL = 3, МА = 4. За теоремою про пропорційність відрізків хорд маємо: KА • AL = МА • AN. Тоді: 6 • 3 = 4 • AN, AN = 18 :4 = 4,5.

Відповідь. 4,5.

565. Нехай SA — дотична, SC — січна, SA = 6 см, SB = 4 см. За теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної маємо: SA² = SB • SC. Нехай ВС = х см, тоді SС = SB + BС, SC = (6 + х) см. Далі: 6² = 4 (6 + х), 36 = 24 + 4x, 4x = 12, х = 3. Звідси ВС = 3 см, SC = 6 + 3 = 9 (см).

Відповідь. 9 см і 3 см.

566. Нехай МР — дотична, МС — січна, МР = 4 см, МС = 8 см. Нехай ВМ = x см, тоді ВС = МС - ВМ, ВС = (8 - х) см. За теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної маємо: МР² = MB • ВС. Тоді: 4² = х • 8, 16 = 8x, x = 2. Звідси ВМ = 2 см, ВС = 8 - 2 = 6 (см).

Відповідь. 2 см і 6 см.

567. Нехай AB і CD — хорди, точка Т — точка перетину хорд, AT = 2 см, СТ = 1 см, AB = 16см. За аксіомою вимірювання відрізків ТВ = АВ - АТ, TB = 16 - 2 = 14 (см). За теоремою про пропорційність відрізків хорд AT • ТВ = СТ • TD. Маємо: 2 • 14 = 1 • TD, TD = 28 (см). Тоді CD = СТ + TD, CD = 1 + 28 = 29 (см).

Відповідь. 29 см.

568. Нехай CD і MN— хорди, точка А —точка перетину хорд, CD = 13 см, СА = 4 см, МА = 2 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = CD - CA, AD = 13 - 4 = 9 (см). За теоремою про пропорційність відрізків хорд СA • AD = МА • AN. Маємо: 4 • 9 = 2 • AN, 36 = 2AN, AN = 18 (см). Тоді MN = МА + AN, MN = 2 + 18 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

569. Нехай SB і SD — дотичні, SA = 4 см, SB = 16 см, SC = 2 см. За наслідком з теореми про пропорційність відрізків січної і дотичної маємо: SA • SB = SC • SD. Тоді 4 • 16 = 2 • SD, SD = 32 (см). За аксіомою вимірювання відрізків CD = SD = SC, CD = 32 - 2 = 30 (см). Тоді ОD = CD : 2, OD = 30 : 2 = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

570. Нехай SB і SD — січні, SA = 4 см, SB = 9 см, SС = 3 см. За наслідком з теореми про пропорційність відрізків січної і дотичної маємо: SA • SB = SC • SD. Тоді 4 • 9 = 3 • SD, SD = 12 (см). За аксіомою вимірювання відрізків CD = SD - SC, CD = 12 - 3 = 9 (см).

Відповідь. 9 см.

571. Нехай ВС = 1,5 м, АВ = 1 м, АВ, = 6 м. Розглянемо прямокутні трикутники С₁В₁А і СВА. У них кут А спільний, тому C₁В₁А ~ СВА як прямокутні з рівним гострим кутом. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційніМаємо:, C₁B₁ = 9 (м).

Відповідь. 9 см.

572. Нехай С₁В₁ = 8 м, AB₁ = 10 м і АВ = 2,5 м. С₁В₁А ~ СВА як прямокутні з рівним гострим кутом (A — спільний). У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні. Маємо:СВ = 2 (м).

Відповідь. 2 м.

573. Нехай A = A₁, B = B₁, АВ = 30 м = 3000 см, A₁B₁ = 5 см, А₁С₁ = 7 см. Оскільки кути трикутників ABC і А₁В₁С₁ відповідно рівні, то АВС ~ А₁В₁С₁. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:. Маємо:

Відповідь. 42 м.

574. Нехай АВ, CD— хорди, АЕ : BE = 1 : 3, CD = 20 см, DE = 5 см. Нехай АЕ = х, BE = 3х. За аксіомою вимірювання відрізків СЕ = CD - DE, СЕ = 20 — 5 = 15 (см). За теоремою про пропорційність відрізків хорд АЕ • BE = СЕ • DE. Маємо: х - 3х = 15 • 5, 3х² = 15, х² = 25, х = 5. Звідси АВ = АЕ + BE, АВ = 5 + 3 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

575. Нехай АВ і CD — хорди, АМ = МВ, СМ = 16 см, DM : СМ = 1 : 4. Нехай DM = k, СМ = 4k. Оскільки СМ = 16 см, то 4k = 16, k = 4. Звідси DM = 4 см. За теоремою про пропорційність відрізків хорд AM • MB = DM • CM. Маємо: AM² = 4 • 16, АМ = 8 (см). Тоді АВ = 2 • AM = 2 • 8 = 16 (см).

Відповідь. 16 см.

576. Нехай АВ — дотична, АВ = 3см, АО = 5 см. Нехай АС = х см, тоді ОС = (5 - x)см. За наслідком з теореми про пропорційність відрізків дотичної і січної АВ² = АO² - OС². Маємо: 3² = 5² - ОС², ОС² = 25 — 9 =1 6, ОС = 4(см). Тоді CD = 2 • ОС = 2 • 4 = 8 (см).

Відповідь. 8 см.

577. Нехай АВ — дотична, АВ = 8 см, АО = 10 см. З наслідку теореми про пропорційність дотичної і січної АВ² = АО²- ОС². Маємо: 8² = 10² - ОС², 64 = 100 - ОС², ОС² = 36, ОС = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

578. Нехай АВ— діаметр, CD — хорда, АВCD, AM = 2 см, CM = 4 см. СМО = DMO за катетом і гіпотенузою (CO = DO як радіуси, ОМ — спільна сторона). Звідси СМ = DM = 4 (см). За теоремою про пропорційність відрізків хорд AM • MB = DM • CM. Маємо: 2 • MB = 4 • 4, MB = 8 (см). AO = OM + MB = (AM - AO) + MB, AO = AM - AO + MB, 2AO = AM + MB, AO = (AM + MB) : 2, AO = (2 + 8) : 2 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

579. Нехай MN— діаметр, AB — хорда, ABMN, PB = 12 см, NP = 18 см. APO = BPO за гіпотенузою і катетом (АО = ВО, РО — спільна сторона). Звідси АР = РВ = 12 см. За теоремою про пропорційність відрізків хорд МР • NP = АР • ВР. Маємо: МР • 18 = 12 • 2, МР = 8 (см). Тоді MN = MP + NP = 8 + 18 = 26 (см).

Відповідь. 26 см.

580. Нехай АО — радіус, DCАВ, ОМ : МА = 5 : 8, СМ = 24 см. Продовжимо СМ до перетину з колом. CD— хорда, АВ — діаметр. CM = DM =24 см (див. №579). Нехай ОМ = 5х см, МА = 8x см. За аксіомою вимірювання відрізків АО = ОМ + МА, АО = 5x + 8х = 13х Тоді ВМ = ВО+ ОМ, ВМ = 13х + 5х = 18x. За теоремою про порційність відрізків хорд DM • CM = BM • MA. Маємо: 24 • 24 = 18х • 8х, х² = 4, х = 2. Звідси АО = 13 • 2 = 26 (см).

Відповідь. 26 см.

581. Нехай ABC— заданий трикутник, AL— бісектриса, АС = 15 см, АВ = 12 см, ВС = 18 см. Маємо: AL² = 12 • 15 - 8 • 10, AL² = 180 - 80, AL² = 100, AL = 10 (см). За властивістю бісектриси трикутника. Нехай CL = x см, тоді BL = (18 - х) см. Маємо:12x = 15(18 - х), 4х = 5(18 - x), 4х = 90 - 5х, 9х = 90, х = 10. Звідси CL = 10 см, BL = 18 - 10 = 8 (см). Використовуємо формулу, одержану в задачі 1 §17: AL² = АВ • АС = BL • CL. Маємо: AL² = 12 • 15 - 8 • 10, AL² = 180 - 80, AL² = 100,AL = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

582. Побудуємо трикутник ABC, подібний даному в умові. Візьмемо довільний відрізок СВ. У його кінцях відкладемо кути . Сторони кутів перетнуться в точці А. Проведемо бісектрису AL. Продовжимо AL на відстань AL₁ = m. Проведемо пряму через точку L₁ паралельно СВ. Дана пряма перетне сторони АС і АВ відповідно у точках С₁ і В₁. АВ₁С₁ — шуканий трикутник.

583. Побудуємо трикутник ABC, подібний даному в умові. Візьмемо довільний відрізок СВ. У його кінцях відкладемо кути На відрізку СВ візьмемо довільну точку L і через неї проведемо пряму nСВ. На прямій n від точки L відкладаємо відрізок LA₁ = h. Проводимо через точку А₁ прямі, паралельні АС і АВ, які перетнуть сторону СВ відповідно у точках С₁ і В₁. A₁В₁С₁ — шуканий трикутник.

584. Побудуємо трикутник А₁В₁С, подібний даному в умові. Візьмемо довільний відрізок СА₁. У точці С відкладемо кут На сторонах кута відкладемо пропорційні відрізки, А₁С : СВ₁= 3 : 2 (відкладаємо на сторонах кута дві і три рівні частинки). Сполучаємо точки А₁ і В₁ Відрізок А₁В₁ ділимо навпіл і проводимо медіану CL₁. На продовженні медіани відкладаємо відрізок CL= m. Через точку L проводимо пряму, паралельну A₁В₁, яка перетне сторони кута у точках А і В. ABC — шуканий трикутник.

585. Нехай PMN— заданий трикутник, PN = 6 см, РМ = 10 cm, LM = 5 см. За властивістю бісектриси трикутникаМаємо:

Відповідь. 3 см.

586. Нехай ABC і А₁В₁С₁ — задані трикутники, АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 6, Р_A1B1C1 = 52 см. Оскільки трикутники подібні, то А₁В₁ : В₁С₁ : A₁C₁ = 3 : 4 : 6. Нехай А₁В₁ = 3х см, В₁С₁ = 4x см і А₁С₁ = 6x см. Маємо: 3х + 4х + 6х = 52, 13х = 52, х = 4. Звідси А₁В₁ = 3 • 4 = 12 (см), В₁С₁ = 4 • 4 = 16 (см) і А₁С₁ = 6 • 4 = 24 (см).

Відповідь. 12 см, 16 см, 24 см.

587. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (BC||AD, АВ = CD), AD = а см, ВС = b см, ACCD. Оскільки трапеція рівнобічна, то MD = (AD - ВС) : 2, MD = (a - b) : 2 (см). Тоді AM = AD - MD, AM= а - (а - b) : 2 = (а + b) : 2 (см). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику CM² = AM - MD. Маємо:

Відповідь.

588. Нехай ABC— трикутник, у якого АС найбільша сторона, ВС = СМ. За теоремою про зовнішній кут трикутника BCM = A + B. Оскільки трикутник ВСМ рівнобедрений, то за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника CBM = CMB. Розглянемо трикутник СВМ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: CBM + CMB + BCM = 180°; 2CBM = 180° - BCM; =Маємо. За аксіомою вимірювання кутів одержимо: ABM = ABC + CBM, звідки. Оскільки кут В лежить проти найбільшої сторони, то B > A. ТодіЗвідси ABM > 90°.

Відповідь. 1) Ні; 2) ні.