Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 2. Подібність трикутників
Домашня самостійна робота № 3

1. За теоремою Фалеса

Відповідь. Б.

2. Відповідь. Г.

3. Відповідь. В.

4. Оскільки D = B і A — спільний, то ABC = ADL.

Відповідь. Б.

5. Нехай ABC — заданий трикутник, CL — бісектриса, АС = 6 см, ВС = 9 см, LA = 3 см. За властивістю бісектриси трикутника, BL = 4,5 см. За аксіомою вимірювання відрізків AB = BL + LA, АВ = 4,5 + 3 = 7,5 (см).

Відповідь. А.

6. Нехай ABC — прямокутний трикутник, СМ — висота, АС = 12 см, МА = 8 см. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику АС² = MA • BA, 12² = 8 • BA, BA = 18 см.

Відповідь. Б.

7. Нехай АВС~ А₁В₁С₁, AB : ВС : АС = 3 : 4 : 5, В₁С₁ + A₁C₁ = 72 см. Оскільки трикутник подібні, то відповідні сторони пропорційні, тому маємо: А₁B₁ : В₁С₁ : А₁С₁ = 3 : 4 : 5. Нехай A₁B₁= 3х см, В₁С₁ = 4х см і A₁С₁ = 5х см. Маємо: 4х + 5х = 72, 9х = 72, х = 8. Звідси A₁В₁ = 3 • 8 = 24 (см).

Відповідь. Г.

8. Нехай ABCD — трапеція (АВ||CD), AС і BD— діагоналі, AB - CD = 4 см, AO = 8 см, ОС = 6 см. Нехай CD = x см, тоді АВ = (х + 4) см. Розглянемо трикутники АОВ і COD. У них AOB = COD як вертикальні, OBA = ODC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD та січній BD. Отже, АОВ ~ COD за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні8х = 6(х+ 4), 8х = 6х + 24, 2х = 24, х= 12. Звідси АВ = 12 + 4= 16 (см).

Відповідь. Б.

9. Нехай ABC — заданий трикутник, KL||ВС, ВС = 9 см, KВ = 4 см, KL = 6 см. АВС ~ AKL за двома кутами (A — спільний, ABC = AKL як відповідні при паралельних прямих KL і ВС та січній АВ). Нехай АK = х см, тоді АВ = (х + 4) см. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні: 9х = 6(х + 4), 9х = 6х + 24, 3х = 24, х = 8. Звідси АВ = 8 + 4 = 12 (см).

Відповідь. А.

10. Нехай ABCD— паралелограм, ВМ і BN— висоти, ВМ = 4 см, BN = 6 см, P_ABCD = 30 см. Маємо: AB + AD = 15 см. Нехай АВ = х см, тоді AD = (15 - х) см. Оскільки A = C як протилежні кути паралелограма, то АМВ ~ CNB як прямокутні з рівним гострим кутом. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, 6x = 4(15 - x), 6х = 60 - 4х, 10x = 60, х = 6. Звідси ВС = 15 - 6 = 9 (см).

Відповідь. В.

11. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), АСCD, CM = 6 см, MD = 3 см. Розглянемо прямокутний трикутник ACD. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику CM² = AM • MD. Маємо: 6² = АМ • 3, 36 = AM • 3, AM = 12 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD, AD = 12 + 3 = 15 (см). Оскільки трапеція рівнобічна, то одержимо: BC = AD - 2MD , ВС = 15 - 6 = 9 (см).

Відповідь. В.

12. Нехай ABC — заданий трикутник, АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 15 см, М, N — точки дотику кола до сторін відповідно АВ і ВС. Сполучимо точки М і О та N і О. Розглянемо прямокутні трикутники ВNO і ВМО. MO = N0 як радіуси, ВО — спільна гіпотенуза. Отже, BNO = ВМО за катетом і гіпотенузою. У рівних трикутниках рівні відповідні кути, тому MBO = NBO. Звідси ВО — бісектриса. За властивістю бісектриси трикутника. Нехай АО = х см, тоді ОС = (15 - х) см. Маємо:, 12х = 8 • (15 - x), 12x = 120 - 8x, 20х = 120, х = 6.

Звідси AО = 6 см, ОС = 15 - 6 = 9 (см).

Відповідь. А.