Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 2. Подібність трикутників
§ 16. Властивість бісектриси трикутника

545. 2); 3).

546. За властивістю бісектриси трикутника маємо: Тоді: ВС = 2 • 4 = 8(см).

Відповідь. 8 см.

547. За властивістю бісектриси трикутника маємо: Тоді: PC = 2 • 7 = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

548. Нехай ABC— заданий трикутник, BD— бісектриса, AD = 3см, DC = 9 см. За властивістю бісектриси трикутникаМаємо:

Відповідь.

549. Нехай MNL —заданий трикутник, МА — бісектриса, ML = 4 см, MN = 16 см. За властивістю бісектриси трикутника. Маємо:

Відповідь.

550. Нехай KМР — заданий трикутник, KМ = 8 см, МР = 6 см, DP = 3 см. За аксіомою вимірювання відрізків KР = KD + DP. За властивістю бісектриси трикутника Звідси. Тоді KР = 3 + 4 = 7 (см).

Відповідь. 7 см.

551. Нехай ABC — заданий трикутник, АВ = 6 см, ВС = 12 см, KС = 6 см. За аксіомою вимірювання відрізків АС = АK + KС. За властивістю бісектриси трикутника Звідси Тоді KР = 3 + 6 = 9 (см).

Відповідь. 9 см.

552. Нехай ABC— заданий трикутник, AL— бісектриса, AВ = 15 см, АС = 12 см, ВС = 18 см. Нехай CL = х см, тоді СВ = (18 - х) см. За властивістю бісектриси трикутникаМаємо:15х = 12 • (18 - х), 15х = 216 - 12х, 27х = 216, х = 8. Звідси CL = 8 (см), LB = 18 - 8 = 10 (см).

Відповідь. 10 см і 8 см.

553. Нехай ABC — заданий трикутник, AM — бісектриса, MB - CM = 1 см, АС = 8 см, АВ = 8 см. Нехай СМ = х см, тоді МВ = (1 + х) см. За властивістю бісектриси трикутникаМаємо: 8х = 6 • (1 + х), 8х = 6 + 6х, 2х = 6, х = 3. Звідси СВ = СМ + МВ, СВ = 3 + 1 + 3 = 7 (см). Маємо: Р_ABC = АС + АВ + СВ, Р_ABC = 6 + 8 + 7= 21 (см).

Відповідь. 21 см.

554. Нехай АВС— рівнобедрений трикутник, AM — бісектриса, МС = 12 см, АС = 18см. Нехай ВМ = х см, тоді ВС = АВ = (х + 12) см. За властивістю бісектриси трикутника. Маємо:18x = 12 - (х + 12), 18х = 12х + 144, 6х = 146, х = 24. Звідси АВ = ВС = 24 + 12 = 36 (см). Маємо: Р_ABC = 36 + 36 + 18 = 90 (см).

Відповідь. 90 см.

555. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, AM— бісектриса, ВС = АС = 9 см, МС : ВМ = 2 : 5. Нехай АС = х см, тоді ВС = АВ = (9 + х) см. За властивістю бісектриси трикутникаМаємо:5х = 2(9+х), 5х = 18 + 2х, 3х = 18, х = 6. Звідси АС = 6 (см), АВ = ВС = 9 + 6 = 15 (см). Маємо: Р_ABC = АС + АВ + СВ, Р_ABC = 15 + 15 + 6 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

556. Нехай ABC — заданий трикутник, АВ = 15 см, ВС = 21 см, АС = 24 см, М, N— точки дотику кола до сторін відповідно АВ і ВС. Сполучимо точки М і О та N і О. Розглянемо прямокутні трикутники BNO і ВМО. MO = NO як радіуси, ВО— спільна гіпотенуза. Отже, BNO = ВМО за катетом і гіпотенузою. У рівних трикутниках рівні відповідні кути, тому MBO = NBO. Звідси ВО — бісектриса. За властивістю бісектриси трикутника Нехай АО = х см, тоді ОС = (24 - х) см. Маємо: 21х = 15 • (24 - х), 21х = 360 - 15х, 36х = 360, х = 10. Звідси АО = 10 см, ОС = 24 - 10 = 14 (см).

Відповідь. 10 см, 14 см.

557. Нехай ABC— заданий трикутник, CKLM— ромб, АС = 18 см, ВС = 12 см. АВ = 20 см. Оскільки діагоналі ромба ділять кути навпіл, то CL — бісектриса кута С. За властивістю бісектриси трикутникаНехай ВL = х см, тоді LA = (20 - х) см. Маємо:, 18х = 12 • (20 -х), 18х = 240 - 12х, 30х = 240, х = 8. Звідси BL = 8 см, LA = 20 - 8 = 12 (см).

Відповідь. 8 см і 12 см.

558. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), АС— діагональ, АС— бісектриса кута А. Оскільки АС— бісектриса кута А, то BAC = CAD. Тоді CAD = АСВ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Маємо: BAC = CAD = ВСА. Якщо АС була б бісектриса кута С, то ВСА = ACD. Тоді кути А і С рівні. Але протилежні кути трапеції не рівні між собою, тому АС не може бути одночасно бісектрисою кутів А і С.

559. Нехай ABC— заданий трикутник, СН — висота, CM² = АН • ВН. Розглянемо СНB i CHA. У них CHB = CHA = 90° i Отже, СНВ ~ СНА за двома сторонами і кутом між ними. У подібних трикутниках відповідні кути рівні. Маємо: НСВ = НАС і НВС = НСА. У прямокутному трикутнику СНА (СНА = 90°) за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: АНСА + НАС = 90°. Звідси С = 90°. Отже, трикутник ABC — прямокутний.

560.

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

1) Нехай В = х°, тоді А = х° + 20°. Маємо: А + В = 180°, х + 20 + х = 180, 2х = 160, х = 80. Звідси В = 80° (Р), А = 100° (Р);

2) нехай А = х°, тоді В = 3х°. Маємо: А + В = 180°, х + 3х = 180, 4х = 180, х = 45. Звідси А = 45° (K), АВ = 3 • 45° = 135° (В);

3) нехай А = 1х°, В = 5х°. Маємо: А + В = 180, 7х + 5х = 180, 12х = 180, х = 15. Звідси А = 7 • 15°= 105° (Ь), АВ = 5 • 15° = 75° (О).

Сергій Павлович КОРОЛЬОВ (1907-1966) — учений і конструктор у галузі ракетобудування й космонавтики, головний конструктор перших ракет-носіїв, штучних супутників Землі, пілотованих космічних кораблів, основоположник практичної космонавтики, академік АН СРСР (1958), член президії АН СРСР (1960-1966), двічі Герой Соціалістичної Праці (1956, 1961).

Сергій Павлович Корольов народився 12 січня 1907 року в Житомирі в родині вчителів. З десятилітнього віку виховувався вітчимом, інженером-механіком за спеціальністю. У 1924 році одержав середню освіту, закінчивши Будівельну профшколу міста Одеси. Вступив у Київський політехнічний інститут. У 1926 році в зв’язку з закриттям КПI перевівся на вечірнє відділення Московського вищого технічного училища (МВТУ) ім. Баумана. Одночасно працював на підприємствах авіаційної промисловості. У 1929 році захистив як дипломний проект проект легкомоторного двомісного літака (СК-4), що був побудований і проходив літні випробування. Науковим керівником Корольова був А. Н. Туполев. Після захисту одержав професію інженера- аеромеханіка.

У 1938 році був репресований і засуджений на тривалий термін вироку. Початок терміну відбуває на Колимі, а в роки Великої Вітчизняної війни бере участь у створенні літака Ту-2 у московському КБ при ЦКБ НКВД у групі А. Н. Туполева. У 1944 році звільнений згідно Указу Президії Верховної Ради СРСР і в 1945 році відряджений у Німеччину, де в складі Технічної комісії знайомився з німецькою трофейною ракетною технікою.

У 1947 році С. П. Корольов повернувся в Москву, приступив до виконання обов’язків Головного конструктора. У 1954 році звернувся з листом у ЦК КПРС із пропозицією про створення і запуск штучного супутника Землі. У 1955 році керував розробкою перших зразків космічних літальних апаратів. Брав участь у будівництві наземних іспитових служб космодрому Байконур. У 1956 році удостоюється звання Героя Соціалістичної Праці за розробку нових зразків бойових ракет. У 1957 році 4 жовтня керував запуском першого у світі штучного супутника Землі. Визнаний гідним Ленінської премії. У 1959 році брав участь у підготовці і запуску автоматичних міжпланетних станцій «Місяць-1», «Місяць-2», «Місяць-3». Остання передала фотознімки зворотної невидимої сторони Місяця. У 1961 році 12 квітня керував першим в історії польотом людини в космос. Корабель Юрія Гагаріна зробив один виток навколо планети й успішно повернувся на Землю. У 1962 році підготував і провів перший груповий політ кораблів «Восток-3» і «Восток-4», брав участь у запуску міжпланетної станції «Марс-1». У 1965 році керував польотом корабля «Восток-2», у ході якого космонавт Олексій Леонов уперше в історії вийшов у відкритий космос. Сергій Павлович Корольов помер на шістдесятому році життя 14 січня 1966 року.

У 1966 АН СРСР заснувала золоту медаль імені С. П. Корольова за видатні заслуги в галузі ракетно-космічної техніки». У Житомирі створено меморіальний будинок-музей, його ім’я носять два науково-дослідних судна, високогірний пік на Памірі, перевал на Тянь-Шані, астероїд, таласоїд на Місяці.