Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 2. Подібність трикутників
§ 15. Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

519.

1) KМ— проекція катета NM на гіпотенузу РМ;

2) KР — проекція катета NP на гіпотенузу РМ.

520. Правильна рівність 4) РK • KM = NK².

521.

1) NK² = PK • КМ;

2) NM² = KМ • РМ;

3) РK • РМ = NP²;

4) РK • KМ = NK².

522.

1)

2)

Відповідь. І) 4 см; 2) 9 см.

523.

1)

2)

Відповідь. 1) 4 см; 2) 6 см.

524. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), CM— висота, ВМ = 9 см, МА = 25 см. За теоремою про середні пропорційні відрізки упрямокутному трикутнику CM² = ВМ • AM. Маємо: СМ² = 9 • 25 ,

Відповідь. 15 см.

525. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ— висота, ВМ = 4 см, МА = 8 см. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СМ² = ВМ • МА. Маємо: СМ² = 2 • 8

Відповідь. 4 см.

526. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СM — висота, ВМ = 4 см, АВ = 16 см. За теоремою про середні пропорційні відрізкиу прямокутному трикутнику СВ² = ВМ • АВ. Маємо: СМ² = 4 • 16,

Відповідь. 8 см.

527. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), CM— висота, АВ = 15см, МА = 9 см. За теоремою про середні пропорційні відрізкиу прямокутному трикутнику СА²= МА • АВ. Маємо: СА² = 9 • 25 ,

Відповідь. 15 см.

528. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ — висота, СВ = 18 см, ВМ = 9 см. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СВ² = ВМ АВ. Звідси АВ = СВ² : ВМ, АВ = 18² : 9, АВ = 18 • 2 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

529. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ — висота, СА = 6 см, АВ = 9 см. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СА² = МА • АВ. Звідси МА = СА² : АВ. МА = 6² : 9, AM = 36 : 9=4 (см).

Відповідь. 4 см.

530. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ— висота, ВM = 4,5 см, МА = 8 см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = ВМ + AM, АВ = 4,5 + 8 = 12,5 (см). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СВ² = ВМ • АВ i СА² = ВА • АВ. Тоді одержимо: СВ² = 4,5 • 12,5, СA = 8 • 12,5,

Відповідь. 7,5 см, 10 см.

531. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), CM— висота, АВ = 50 см, ВМ = 18 см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = ВМ + АМ, МА = АВ - ВМ, AM = 50 - 18 = 32 (см). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СВ² = ВМ • АВ і СА² = АМ • АВ. Маємо: СВ² = 18 • 50, СА² = 32 • 50,

Відповідь. 30 см, 40 см.

532. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), MNBC, АМ = МС, CN = 1 см, NB = 8 см. Проведемо висоту з вершини трикутника на основу. Оскільки АМ = МС і АВ = ВС, то ВМ — висота. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (M = 90°). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику МС² = NC • ВС. За аксіомою вимірювання відрізків BC= BN + NC = 8 + 1 = 9(см). Маємо: МС² = 1 • 9 = 9, MС = 3(см). Тоді АВ = ВС = 9(см), АС = 2 • 3 = 6 (см). Звідси Р_ABC = AВ + ВС + АС = 9 + 9 + 6 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

533. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), MNBC, АМ = МС, NC = 2 см, BN = 6 см. Оскільки AM = МС і АВ = ВС, то ВМ — висота. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (M = 90°). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику МС² = NC • ВС. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = BN + NC; ВС = 6 + 2 = 8 (см). Тоді МС² = 2 • 8 = 16, МС = 4 (см), АС = 2 • МС = 2 • 4 = 8 (см). Маємо: Р_ABC = АВ + ВС + АС; Р_ABC = 8 + 8 + 8 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

534. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ — висота, ВМ : МА = 9 : 16, СМ = 24 см. Нехай ВМ = 9x см, МА = 16x см. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СМ² = ВМ • МА. Маємо: 24² = 9х • 16х, 576 = 96х², х² = 4, х = 2. Тоді ВМ = 9 • 2 = 18 (см), МА = 16 • 2 = 32 (см). Аналогічно за теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СА² = МА • ВА, СВг² = ВМ • ВА. За аксіомою вимірювання відрізків ВА = ВМ + МА = 18 + 32 = 50 (см). Маємо: СА² = 32 • 50, СА = 40 (см), СВ² = 18 • 50, СВ = 30 (см).

Відповідь. 40 см і 30 см.

535. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), СМ — висота, МА : СМ = 3 : 4, ВМ = 16 см. Нехай СМ = 4x см, МА = 3х см. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику СМ² = ВМ - МА. Маємо: (4x)² = 16 • 3х, 16х² = 48х, 16x = 48, х = 3. Звідси СМ = 4 • 3= 12 (см).

Відповідь. 12 см.

536. Нехай ABCD — ромб, MD = 1 см, AM = 4 см. ОМAD як радіус, проведений у точку дотику. За властивістю діагоналей ромба BDАС, тому трикутник AOD є прямокутним з прямим кутом О. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику ОМ² = АМ • MD, ОМ² = 4 • 1, ОМ² = 4, ОМ = 2 (см).

Відповідь. 2 см.

537. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), ВС = 8 см, AD = 10 см, АСCD. Оскільки трапеція рівнобічна, то MD = (AD - ВС) : 2, MD = (10 - 8) : 2 = 1 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ACD (C = 90°). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD, AM = AD - MD, AM = 10 - 1 = 9 (см). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику CM² = AM • MD. Маємо: CM² = 9 • 1; CM = 3 (см).

Відповідь. 3 см.

538. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, AB = CD), ВС = 5 см, AD = 13 см, ACCD. Оскільки трапеція рівнобічна, то MD = (AD — BC) : 2, MD = (13 - 5) : 2 = 4 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = АМ + MD, AM = AD - MD, AM = 13 - 4 = 9 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ACD (C = 90°). За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику CM² = AM • MD. Маємо: CM² = 9 • 4, CM² = 36, CM = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

539. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), CM = 4 смm, MD = 9 см, (O; R) — коло, вписане в трапецію. Висота трапеції дорівнює 2R, тобто 2ОМ. СО і DO — бісектриси кутів С і D, за властивістю дотичних проведених до кола з однієї точки поза колом. Оскільки C + D = 180°, то OCD + ODC = 180° : 2 = 90°. За теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника COD = 90°. Звідси трикутник COD— прямокутний і ОМA. CD як радіус, проведений у точку дотику. За теоремою про середні пропорційні відрізки ОМ² = СМ • MD. Маємо: ОМ² = 4 • 9, ОМ² = 36, ОМ = 6 (см). Тоді 2 • ОМ = 2 • 6 = 12 (см).

Відповідь. 12 см.

540. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), СМ = 2 см, MD = 8 см, BN = 4 см. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки поза колом, CM = СК = 2 (см) BK = BN = 4 (см), DM = DP= 8 (см) і нехай AN = АР = х (см). СО і DO — бісектриси кутів С і D, за властивістю дотичних проведених до кола з однієї точки поза колом. Оскільки C + D = 180°, то OCD + ODC = 180° : 2 = 90°. За теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника COD = 90°. Звідси трикутник COD — прямокутний і ОМCD як радіус проведений в точку дотику. За теоремою про середні пропорційні відрізки ОМ²= СМ • MD. Маємо: ОМ² = 2 • 8, ОМ² = 16, ОМ = 4 (см). Звідси ОМ = ON. Аналогічно з прямокутного трикутника АОВ ON² = BN • AN, 4² = 4 • x, 16 = 4х, х = 4 (см). Тоді P_ABCD = ВK + СK + CM + DM + DP + АР + AN + BN, P_ABCD = 4 + 2 + 2 + 8 + 8 + 4 + 4 + 4 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

541. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), AM— бісектриса, BAM = 18°. Оскільки AM бісектриса, то A = 2 • BAM = 2 • 18° = 36°. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника C = 90° - A, C = 90° - 36° = 54°.

Відповідь. 90°, 36°, 54°.

542. Нехай ABC і KLM— задані трикутники, A +B = K + L, B + C = L + M. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму кутів трикутника C = 180° - (A + B), A = 180° - (B + C). Маємо: C = 180° - (K + L) = M, A = 180° - (L + M) = K. Отже, ABC ~ KLM за двома кутами.

Відповідь. Так.

543. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), BAC = CAD. Нехай CAD = х. Оскільки трапеція рівнобічна, то D = 2х, BCA = CAD = х як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Розглянемо трикутник ACD. За теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника ACD = 180°- CAD - CDA, ACD = 180° - 3х. Тоді C = 180°- 2х. Розглянемо трикутник AOD. За теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника AOD = 180° - 2х. Отже, C = AOD.

544. Нехай ABC — трикутник, АА₂, ВВ₂, СС₂— висоти, AB₁C = AC₁В = 90°. Розглянемо прямокутні трикутники АВ₁С і АВ₂В. У них кут А — спільний, тому АВ₁С ~ АВ₂В₁ за двома кутами (за І ознакою подібності трикутників). З означення подібності трикутників маємо:звідки АВ₁² = АС • АВ₂. Розглянемо прямокутні трикутники АВ₂В і АС₂С. У них кут А — спільний, тому АВ₂В ~ АС₂С за двома кутами (за І ознакою подібності трикутників). З означення подібності трикутників маємо:звідки АС • АВ₂ = АВ • АС₂. Розглянемо прямокутні трикутники АС₁В і АС₂С₁. У них кут А — спільний, тому АС₁В ~ АС₂С₁ за двома кутами (за І ознакою подібності трикутників). З означення подібності трикутників маємо: звідки АВ • АС₂ = АС₁². Отже, АВ₁² = АС • АВ₂ = АВ • АС₂ = АС₁², звідки АВ₁² = АС₁²; АВ₁ = АС₁.