Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Бевз Г. П. 2016-2020

Розділ 3. Неповні квадратні рівняння
19. Неповні квадратні рівняння (861-920)

861.

Квадратними рівняннями є рівняння б), в), г) і д).

862.

Неповним квадратним рівнянням є рівняння а), б) і ґ).

863.

а) 3х² = 0; х² = 0; х = 0;

б) у² = 0; у - 0; в) -z²= 0; z²= 0; z = 0.

864.

а) х² - 2х = 0; х(х - 2) = 0; x₁ = 0, х₂ = 2;

б) 3z² - 6z = 0; 3z(z - 2) = 0; z₁ = 0, z₂ = 2;

в) 2с = с²; с² - 2с = 0; с(с - 2) = 0; с₁ = 0, с₂ = 2.

865.

а) у² - 9 = 0; у² = 9; у₁= 3, у₂ = -3;

б) 2х² — 8 = 0; | : 2; х² - 4 = 0; х² = 4; х₁ = 2, х₂ = -2;

в) -х² +1=0; x² = 1, х₁ = 1, х₂ = -1.

866.

а) (х — 3)(х - 5) = 0; х₁ = 3, х₂ = 5;

б) 3(х + 7)(х - 2) = 0; х₁ = -7, х₂ = 2;

в) (2х - 1)(х + 3) = 0; х₁ = 0,5, х₂ = -3;

г) (х — 1)(х ^_ 2)(х + 3) = 0; х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = -3.

867.

а) Рівняння 3х - 7 = х² можна звести до квадратного: х² - 3х +7 = 0. Його перший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт — -3, вільний член — 7;

б) рівняння можна звести до квадратного: Його перший коефіцієнт дорівнює -2, другий коефіцієнт — вільний член — -4;

г) рівняння (х + 4)² = 8х можна звести до неповного квадратного: х² + 8х + 16 — 8х = 0; х² + 16 = 0. Його перший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт — 0, вільний член — 16;

ґ) рівняння є неповним квадратним. Його перший коефіцієнт дорівнює другий коефіцієнт — 2, вільний член — 0;

д) рівняння х² - 25 =х можна звести до квадратного: х² - х - 25 = 0. Його перший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт— -1, вільний член —  -25;

е) рівняння 9х² = 0 є неповним квадратним. Його перший коефіцієнт дорівнює 9, другий коефіцієнт — 0, вільний член — 0.

868.

а) 2х(х - 3) = 50 | : 2; х(х - 3) = 25; х² - 3х - 25 = 0;

б) (х - у)у = 5y² - 4. В умові помилка. Для рівняння з двома змінними не існує рівносильного йому квадратного рівняння;

в) 4z² = 2z(3z + 5); 4z² = 6z² + 10z; 2z² + 10z = 0;

г) (1 - х)(3х - 2) = 2х + х²; 3х - 2 - 3х² + 2х - 2х - х² = 0;-4х² + 3х - 2 = 0;

ґ) (x — 1)(x - 2) = 4x; x² - 2х - х + 2 - 4х = 0; х² - 7х + 2 = 0;

д) 3(x + 5) - 8 = -5x(x + 2); 3x + 15 - 8 + 5x² + 10х = 0; 5x² + 13x + 7 = 0.

869.

а) 3x + 27 = 0 | : 3; x² +- 9 = 0; x² = -9 — не має коренів.

Відповідь. Не має коренів;

б) 3x² - 27 = 0 | : 3; x² - 9 = 0; х² = 9; x₁ = 3, x₂ = -3.

Відповідь. 3; -3;

в) 0,5у² + у = 0; у(0,5у + 1) = 0; y₁ = 0,у₂ = -2.

Відповідь. 0; -2;

г) z — 2z² = 0; z(1 — 2z) = 0; z₁ - 0, z₂ = 0,5;

Відповідь. 0; 0,5;

ґ) x² = 0; х = 0;

Відповідь, х = 0;

д) (5 - 0,5)х² = 0; х² = 0; x = 0.

Відповідь, х = 0.

870.

а) 16x² = 0; x² = 0; x = 0;

Відповідь. 0;

б) -4y² = 0; y = 0; y = 0.

Відповідь. 0;

в) x² = 0; x = 0;

Відповідь. 0.

871.

а) 2х² — 8x = 0; 2x(x - 4) = 0; x₁ = 0, x₂ = 4.

Відповідь. 0; 4;

б) x² + 3x = 0; x(x + 3) = 0; х₁ = 0, xл₂ = -3.

Відповідь. 0, -3;

в) 14x² - x = 0; x(14x - 1) = 0; x₁ = 0,

Відповідь. 0;

г) 12x - 0,24x² | : 0,24;

x² — 50x = 0; х(х - 50) = 0; x₁ = 0, x₂ = 50.

Відповідь. 0; 50;

ґ) x - x² = 0; x(1 - x) = 0; x₁ = 0, x₂ = 1.

Відповідь. 0; 1;

д) 0,5x + 9x² = 0; 0,5x(1 + 18x) = 0; x₁ = 0;

Відповідь. 0;

872.

а) x² - 144 = 0; x² = 144; x₁ = 12, x₂ = -12.

Відповідь. 12;-12;

б) 9x² = 64;

Відповідь.

в) -2x² + 50 = 0 | : (-2); x² - 25 = 0; x² =25; x₁ = -5, x₂ =5.

Відповідь. -5; 5;

г) 0,16x² + 100 = 0 | : 0,16; x² + 625 = 0; x² = -625 — не має коренів.

Відповідь. Не має коренів;

ґ) 100x² - 225 = 0 |: 100; x² - 2,25 = 0; x² = 2,25; x₁ =-1,5, x₂= 1,5;

Відповідь. -1,5; 1,5;

д) x²+ 162 = 652; x² = 652 - 162; x² = 490;

Відповідь.

873.

а)(х - 1)х + х = 0; х² - х + х = 0; х² = 0; х = 0.

Відповідь. 0;

б) 2у(у + 3) = 6у; 2у² + 6у - 6у = 0; 2у² = 0; y = 0

Відповідь. 0;

в) (z + 2)(z - 2) = 0; z, = -2, z₂ = 2.

Відповідь. -2; 2;

г) (х + 2)(х - 2) = 4; х² - 4 - 4 = 0; х² = 8.

Відповідь.

874.

а) 2х(х + 5) = 7х; 2х² + 10х - 7х = 0; 2х² + 3х = 0; х(2х + 3) = 0; х₁ = 0,

Відповідь. 0; -1,5;

б) -х(2х + 3) = 8х; -2х² - 3х - 8х = 0; 2x² + 11х = 0; х(2х + 11) = 0; x₁ = 0, х₂ = -5,5.

Відповідь. 0: -5,5;

в) 4х² - 2х = х(х - 2); 4х² - 2х - х² + 2х = 0; 3х² = 0; х = 0.

Відповідь, х = 0;

г) 8 - 6z = 2z(z - 3); 8 - 6z — 2z² + 6z = 0; 2z² = 8; z² = 4; z₁ = -2, z₂ = 2.

Відповідь. -2; 2.

875.

a) 5x² + 3x + 7 = 7(x + 1); 5x² + 3x + 7 - 7x - 7 = 0; 5x² - 4x = 0; x(5x - 4) = 0; x₁ = 0, x₂ = 0,8.

Відповідь. 0; 0,8;

б) -2x² + 6 = 3(x² + x + 2); -2x² + 6 - 3x² - 3x - 6 = 0; -5x² - 3x = 0; -x(5x + 3) = 0; x₁ = 0, x₂ = -0,6.

Відповідь. 0; -0,6;

в) 15 - 2y = 8y + 3(y+5); 15 — 2y - 5y² - 3y - 15 = 0; 8y + 5y = 0; y(8y + 5) = 0; y₁ = 0, y₂ = - 0,625.

Відповідь. 0; -0,625.

г) 3(х² + 5) = 4х² + х(1 - х); 3х² + 15 = 4х² + x - x²; 3х²+ 15 - 4х² - х + х²= 0; 15 - х = 0; х = 15.

Відповідь. 15.

876.

а) 2(х² - 1) = (х - 1)(х + 1); 2х² - 2 =х² - 1; 2х² — 2 - х² + 1 =0; х²- 1 = 0; х² = 1; x₁ = 1, х₂ = -1.

Відповідь. -1; 1;

б) (х + 3)² = (х - 3)(х + 3); х² + 6х + 9=х² - 9; х² + 6х + 9 - х² + 9 = 0; 6х + 18 = 0; x = -3.

Відповідь. -3.

877.

а) 4(5 - х²) = 3(3x - 2); 20 - 4х² = 9х² - 6; -13х² = -26; x² = 2;

Відповідь.

б) 4 • 2x² = 5(3z + 1); 8x² = 15z² + 5; -7z² = 5; — не має коренів.

Відповідь. Не має коренів.

878.

а) 4(х² - 1) = 21; 4х² - 4 = 21; 4х² = 25;

Відповідь. -2,5; 2,5;

б) 7(2х² + 3) = 20; 14x²+ 21 =20; 14x² = -1; — не має коренів.

Відповідь. Не має коренів.

879.

а) ОДЗ : z ≠ 1. Маємо: z² - 1 = 8; z² = 9; z₁ = -3, z₂ = 3.

Відповідь. -3; 3;

б) ОДЗ: у ≠ -2. Маємо: у² - 4 = -4; у²= 0; у = 0.

Відповідь. 0.

880.

а) ОДЗ : 2х - 1 = 0, х = 0,5. Маємо: 4x² - 1 = 39; 4x² = 40; х² =10;

Відповідь.

б) (3х² - 4) : 5 = 3x ² : 20 | • 20; 12x² - 16 = 3х²; 9x² = 16;

Відповідь.

881.

а) Нехай сторона квадрата дорівнює а. Рівняння: а² = 289; a₁ = 17; а₂ = -17 — не підходить. Периметр квадрата дорівнює Р = 4а = 4 • 17 = 68 (см).

У відповіді підручника допущена помилка, оскільки слід подати периметр, а не сторону квадрата;

б) нехай сторона квадрата дорівнює а. Рівняння: а² = 0,81; а₁ = 0,9; а₂ = -0,9 — не підходить. Периметр квадрата дорівнює Р = 4а = 4 • 0,9 = 3,6 (м);

в) нехай сторона квадрата дорівнює а. Рівняння: а² = S; — не підходить. Периметр квадрата дорівнює

882.

а) Нехай сторона квадрата дорівнює а. Рівняння: а² = 484 м²; а₁ = 22; а₂ = -22 — не підходить.

Відповідь. 22 м;

б) нехай сторона квадрата дорівнює а. Рівняння: а² = S; — не підходить.

Відповідь.

883.

1) 55 + 89 = 144 (га) — площа всього поля;

2) 144 га = 144 • 10 000 м² = 1440000 м² — площа поля;

3) — сторона квадратного поля;

4) 4 • 1200 = 4800 (м) — периметр поля.

Відповідь. Периметр поля дорівнює 4800 м.

884.

а) 3х(х - 1) = 12 - 3х;

3х² - 3х - 12 + 3х = 0; 3х²- 12 = 0; х² - 4 = 0; х² = 4; x₁ = -2, х₂ = 2.

Відповідь. -2; 2;

б) 5х(х + 2)= 10(1 + х); 5х² + 10 — 10 - 10х = 0; 5x² - 10 = 0; х² - 2 = 0; х² = 2;

Відповідь.

в) х² - 4 = 0; х² = 4; x₁ = -2, х₂ = 2.

Відповідь. -2; 2;

г) 2х(3 - х) = 6х - 8; 6х — 2x² - 6х + 8 = 0; -2х² = -8; х² = 4; x₁ = -2, х₂ - 2.

Відповідь. -2; 2.

885.

а) 4(х² + 2х) = 3(2х² - 3х); 4x² + 8х - 6х² + 9х = 0; -2х² + 17х = 0; х (-2х + 17) = 0; x₁ = 0,

Відповідь. 0; 8,5;

б) 2(х² + 3х) = 5(5х - х²); 2х² + 6х - 25х + 5х² = 0; 7х² - 19х = 0; х (7х - 19) = 0; x₁ = 0,

Відповідь. 0;

в) 5x² + 3x = x(3 + x) + 32; 5х² + 3х - 3х - х² - 32 = 0; 4x² — 32 = 0; 4x² = 32; х² = 8;

Відповідь.

г) (7x - 2)(x + 1) = 5(x + 4) - 1; 7x² + 7x — 2x - 2 — 5x - 20 + 1 = 0; 7x² - 21 = 0; 7x² = 21; x² = 3;

Відповідь.

886.

а)(x + 3)(x - 3)= 16; x — 9 -16 = 0; х²- 25 - 0; x² = 25; x₁ = -5, х₂ = 5.

Відповідь. -5; 5;

б) (2x + 4)² = 16x + 20; 4x² + 16x +16 — 16x - 20 = 0; 4x² - 4 = 0; x² - 1 = 0; x² = 1; х₁ = -1, x₂ = 1.

Відповідь. -1; 1;

в) 6x - (x + 2)² = 3x² - 4; 6x - x² — 4x - 4 — 3x² + 4 = 0; 2x — 4x² = 0; 2x(1 — 2x) = 0; x₁ = 0, х₂ = 0,5.

Відповідь. 0; 0,5;

г) (2x + 3)(3 — 2x) = 24x + 9; 9 — 4x² — 24x - 9 = 0; -4x² — 24x = 0; -4x(x + 6) = 0; x1 = 0, х₂ = -6.

Відповідь. 0; -6.

887.

а) 1,5(x² — 2x) = 0,9(2x - x²); 1,5x² — 3x - 1,8x + 0,9x² = 0; 2,4x² - 4,8x = 0; 2,4x(x - 2) = 0; x₁ = 0, x₂ = 2.

Відповідь. 0; 2;

б) 3,7(x² — 5x) = 2(5x - x²); 3,7x² - 18,5x — 10x + ^2x2 = 0; 5,7x² - 28,5x = 0; 5,7x(x - 5) = 0; x₁ = 0, x = 5.

Відповідь. 0; 5.

888.

а) Якщо у = х² і у= 121, то х² = 121; x₁ = -11, x₂ = 11. Отже, координати точок перетину графіків функцій є: (-11; 121) і (11; 121);

б) якщо у = x² і у = 25,6, то x² = 25,6; Отже, координати точок перетину графіків функцій є:

889.

а) 3(x - 5)² = 0; (x - 5)² = 0; x - 5 = 0; x = 5.

Відповідь. 5;

б) 0,7(2 - z) = 0; 2 - z = 0; z = 2.

Відповідь. 2;

в) (х - 3)² - 1; x - 3 = -1 або x - 3 = 1; x₁ = 2, x₂ = 4.

Відповідь. 2; 4;

г) (5 - у)² = 1; 5 - у = -1 або 5 - у = 1; y₁ = 6, у₂= 4.

Відповідь. 4; 6.

890.

а) 23(3x - 2)² = 0; (3x - 2)² = 0; 3x - 2 = 0;

Відповідь.

б) 78(5z - 4)² = 0; (5z - 4)² = 0; 5z - 4 = 0; z = 0,8;

Відповідь. 0,8;

в) 2(х -7)² = 8 | : 2; (x - 7) = 4; x - 7 = 2; або x - 7 = -2; x₁ = 9, x₂ = 5.

Відповідь. 9; 5;

г) 3(5 - z)² = 12 | : 3; (5 - z)² = 4; 5 - z = 2; 5 - z = -2; z₁ = 3, z₂ = 7.

Відповідь. 3; 7.

891.

а) (x + 15)² + (x + 15) = 0; (x + 15)(х + 15 + 1) = 0; (x + 15x)(x + 16) = 0; x₁ = -15, x₂ = -16.

Відповідь. -15; -16;

б)

Відповідь.

892.

а) 5(3 — 2x)² + 20(3 — 2x) = 0; 5(3 - 2х)(3 — 2x + 4) = 0; 5(3 - 2х)(7 - 2х) = 0; х₁ = 1,5, х₂ = 3,5.

Відповідь. 1,5; 3,5;

б)

Відповідь.

893.

а) Неповне квадратне рівняння, яке б мало корені -3 і 3, може бути, наприклад таке: (х — 3)(x + 3) = 0; х² - 9 = 0;

б) неповне квадратне рівняння, яке б мало корені і може бути, наприклад, таке: х² = 2;

в) неповне квадратне рівняння, яке б мало корені 0 і 7, може бути, наприклад, таке: х(х - 7) = 0; х²- 7х = 0;

г) неповне квадратне рівняння, яке б мало корені 0 і -4, може бути, наприклад, таке: х(х + 4) = 0; х² + 4х = 0.

894.

а) Щоб утворилося рівняння, яке мало б корені 0 і -2, вираз 2х² + х - 8 можна доповнити, наприклад, так: 2х² + х - 8 + 3х + 8 = 0; 2х² + 4х = 0; 2х(х + 2) = 0;

б) щоб утворилося рівняння, яке мало б корені -2 і 2, вираз 2х² + х - 8 можна доповнити, наприклад, так: 2х² + х — 8 - х = 0; 2х² - 8 = 0; х² - 4 = 0;

в) щоб утворилося рівняння, яке мало б корені x₁ = х₂, вираз 2x² + х - 8 слід доповнити так, щоб його дискримінант дорівнював нулю, наприклад, так: 2x² + х - 8 + 7х = 0; х² + 4х - 4 = 0; D = 4² - 4- 1 - 4 = 0.

895.

а) Щоб утворилося рівняння, яке мало б корені -3 і 3, вираз x² — 3x можна доповнити, наприклад, так: х² - 3х + 3x - 9 = 0; x² - 9 = 0;

б) щоб утворилося рівняння, яке мало б корені 0 і 3, вираз х² - 3х можна доповнити, наприклад, так: х² - 3х - 3х + х² = 0; 2x² - 6х = 0; 2х(х - 3) = 0;

в) щоб утворилося рівняння, яке мало б корені х₁ = х₂, вираз х² - 3х слід доповнити так, щоб його дискримінант дорівнював нулю, наприклад, так: 4x² - 12х + 9 = 0;

896.

а) ОДЗ: х ≠ 2,5; х ≠ 2. Маємо: 7х² - 64 = 0;

Відповідь.

б) ОДЗ: х ≠ -3; х ≠ 3. Маємо: (х + 9)(3х + 3) = 0; x₁ = -9; х₂ = -1.

Відповідь. -9; -1.

897.

а) ОДЗ: х ≠ -5; х ≠ 5. Маємо: -2x² + 200 = 0; х² = 100; х₁ = -10; х₂ = 10;

Відповідь. -10; 10;

б) ОДЗ: х ≠ 2; x ≠ -2. Маємо: -4x² + 64 = 0; x² = 16; x₁ = -4; x₂ - 4.

Відповідь. -4; 4.

898.

а) ОДЗ: x ≠ 2; x ≠ 1. Маємо: x² — 3x = 0; x(x - 3) = 0; х₁= 0; x₂ = 3.

Відповідь. 0; 3;

б) ОДЗ: х ≠ -3; х ≠ 3. Маємо: -2x² + 54 = 0; х² = 27;

Відповідь.

899.

а) ОДЗ: х ≠ -3; х ≠ 3. Маємо: 4x² + 9x = 0; x(4x + 9) = 0; x₁ = 0; x₂=-2,25;

Відповідь. 0; -2,25;

б) ОДЗ: x ≠ -3. Маємо: -x² + 4 = 0; x² = 4; x₁ = 2; x₂ = -2;

Відповідь. -2; 2.

900.

а) (x² - 2)² - 2(х² - 2) = 0; (x² — 2)(x² - 2 - 2) = 0; (x² - 2)(x² - 4) = 0; x² - 2 = 0 або x² - 4 = 0; x² = 2 або x² = 4; x₁ = -2; x₂ = 2.

Відповідь. -2; 2;

б) (x² + 3)² - 5(x² + 3) = 0; (x² + 3x² + 3 - 5) = 0; (x² + 3)(x² - 2) = 0; x² + 3 = 0 або x² - 2 = 0; x² = -3 — не має коренів або x² = 2;

Відповідь.

901.

а)(х + 1) : 2 = 4 : (x - 1); (х + 1)(x - 1) = 8; х² - 1 = 8; x₁ = -3; x₂ = 3.

Відповідь. -3; 3;

б) (х - 4): 3 = 3 : (х + 4); (х - 4)(х + 4) = 9; х² - 16 = 9; х² - 25; х₁ = -5; х₂ = 5.

Відповідь. -5; 5;

в) (3х - 6) : х = 5х : (3х + 6); (3х - 6)(3х + 6) - 5х²; 9х² - 36 = 5х²; 4x² = 36; х² = 9; х₁ = -3; х₂ = 3.

Відповідь. -3; 3;

г) (0,2 - х) : 4 = (0,01 + х) : (0,2 + х); (0,2 - х)(0,2 + х) = 4(0,01 + х); 0,04 - х² = 0,04 + 4x; -x² — 4x = 0; -x(x + 4) = 0; x₁ = 0; x₂ = -4.

Відповідь. 0; -4.

902.

Нехай довжини катетів дорівнюють по x дм. Рівняння: x² = 1,44; x₁ = -1,2 — не підходить; х₂ = 1,2. Отже, довжини катетів дорівнюють по 1,2 дм.

903.

а) S = πr²; 314 = πr2; r² ^ 100; r₁ ≈ -10— не підходить; r₂ ≈ 10. Отже, радіус круга 10 см;

б) S = πr² — не підходить;

904.

Нехай радіус внутрішнього кола дорівнює x, тоді площа круга, обмеженого цим радіусом становить πх² см², площа круга, обмеженого радіусом 20 см, — 400 π см². Маємо: 400 π - π x² = 942; π(400 - π²) = 942; 400 - х² ≈ 300; х² ≈ 100; x₁ ≈ -10 — не підходить; x₂ ≈ 10.

Відповідь. 10 см.

905.

На мал. 55, а площа зафарбованої фігури дорівнює площі квадрата зі стороною а і круга радіусом r. Маємо: a² - πr² = S;

На мал. 55, б площа зафарбованої фігури дорівнює різниці площ круга радіусом r і квадрата зі стороною а. Маємо: π r² - a² = S;

906.

Нехай менше натуральне число дорівнює х, тоді більше — х + 1. Рівняння: х(х+ 1) - х = 324; х² +х - х = 324; х² = 324; x₁ = -18 — не підходить; х₂ = 18. Друге число дорівнює: х + 1 = 19.

Відповідь. 18 і 19.

907.

Нехай менше натуральне число дорівнює х, тоді більше — х + 1. Рівняння: х(х + 1) - (х + 1) = 224; х² + х — х - 1 =224; х² = 225; x₁ = -15 — не підходить; х₂ = 15. Друге число дорівнює: х + 1 = 16.

Відповідь. 15 і 16.

908.

Нехай три послідовні натуральні числа відповідно дорівнюють n - 1, n і n + 1. Рівняння: (n - 1)² + n² + (n + 1)² = 365; n² — 2n+ 1 + n² + n² + 2n+ 1 = 365;

3n² + 2 = 365; 3n² = 363; n² = 121; n₁ = -11 — не підходить; n₂ = 11. Два інші числа дорівнюють n - 1 = 10 і n + 1 = 12.

Відповідь. 10, 11 і 12.

909.

а) Якщо один корінь квадратного рівняння ax² + bх + с = 0 дорівнює нулю, то: а • 0² + b • 0 + с = 0; с = 0;

б) (х - а)(х + а - b) = 0; х₁ = а; х₂ = b - а. Сума коренів х, + х₂ дорівнює нулю, коли: а + b - а = 0; b = 0.

910.

Нехай шукане число дорівнює х. Рівняння: 6,25x² - х = 0; x (6,25х - 1) = 0; х₁ = 0 — не підходить; х₂ = 0,16.

Відповідь. 0,16.

911.

Нехай х год — час майстра на виконання всієї роботи, тоді (х + 8) год — час учня на виконання всієї роботи. За 1 год майстер виконає усієї роботи, а учень — Позначивши роботу через 1, маємо рівняння: 2х + 16 + 6х = х² + 8х; х² = 16; х = ±4. х = -4 не задовольняє умову задачі. Отже, майстер може виконати всю роботу за 4 год.

Відповідь. 4 год.

912.

Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють 3х м і 4х м, де х — деяке число. За теоремою Піфагора: (3х)² + (4х)² = 100; 9х² + 16х² = 100; 25х² = 100; х² = 4; x₁ = -2 — не підходить; х₂ = 2. Довжина одного катета 3х = 6 (м), іншого — 4х = 8 (м). Тоді площа прямокутного трикутника дорівнює:

Відповідь. 24 м².

913.

Нехай сторона одного квадрата х см, тоді його периметр дорівнює 4х см, а периметр іншого — (4х + 8) см. Сторона іншого квадрата відповідно дорівнює а площа — (х + 2)²(см²). Рівняння: х² : (х + 2)² = 1 : 4; 4х² = (х + 2)²; (2х - х - 2)(2х + х + 2) = 0; (х - 2)(3х + 2) = 0; х = 2; — не підходить. Сторона іншого квадрата: х + 2 = 4 (см). Відповідь. 2 см; 4 см.

914.

Нехай сторона меншої серветки дорівнює х дм, тоді сторона більшої — (х + 3) дм, а їхні площі відповідно дорівнюють х² (дм²) і (х + 3)² дм². Рівняння: 4(х + 3)² = 9х²; (2(х + З))² - (3х)²= 0; (2х + 6 - 3х)(2х + 6 + 3х) = 0; (6 - х)(5х + 6) = 0; х = 6 або х = -1,2 — не підходить. Отже, сторона меншої серветки дорівнює 6 дм і периметр — 6 • 4 = 24 (дм). Сторона більшої серветки дорівнює х + 3 = 9 (дм) і периметр — 9 • 4 = 36 (дм). Тоді для оздоблення потрібно 2 • 36 + 6 • 24 = 216 (дм).

Відповідь. Потрібно 216 дм мережива.

915.

а) 2,324x² = 74,825; х² = 74,825 : 2,324; х² ≈ 32,197; х₁ ≈ -5,674; х₂ ≈ 5,674.

Відповідь. x₁ ≈ -5,6742; х₂ ≈я 5,6742;

б) 4,027y - 12,449 = 0; 4,027y² = 12,449; y² = 12,449 : 4,027; y² ≈ 3,091; у₁ ≈ -1,758; у₂ ≈ 1,758.

Відповідь. у₁ ≈ -1,758; у₂ ≈ 1,758;

в) 4,574z² = 48,226z; 4,574z² - 48,226z = 0; z(4,574z — 48,226) = 0; z₁ ≈ 0; z₂ ≈ 48,226 : 4, 574; z₂ ≈ 10,544.

Відповідь. z₁ ≈ 0; z₂ ≈ 10,544;

г) 7,467x² = 15,227x;     7,467x² - 15,227x = 0; x(7,467x - 15,227) = 0; x₁ = 0; x₂ = 15,227: 7,467; x₂ ≈ 2,039.

Відповідь. x₁ = 0; x₂ ≈ 2,039.

916.

a) x² — 7|x| — 0; |x|² - 7|x| = 0; |x|(|x| - 7) = 0; |х| = 0 або |x| = 7. Отже, x₁ = 0; х₂ = -7; х₃ = 7.

Відповідь. -7; 0; 7;

б) Якщо х > 0, то отримаємо: 2x² - 8 = 0; х² = 4; x = -2 — не підходить або х = 2. Якщо x < 0, то отримаємо: 2x² + 8 = 0; x² = -4 — не має коренів.

Відповідь. 2;

в) x² + 3|x| - x = 0. Якщо x > 0, то отримаємо: x² + 3x - x = 0; x² + 2х = 0; x(x + 2) = 0; x = 0 або x = -2 — не підходить. Якщо x < 0, то отримаємо: x² — 3x - x = 0; x² — 4x = 0; x(x - 4) = 0; x = 0 — не підходить або x = 4 — не підходить.

Відповідь. 0;

г) При x ≠ 0 x² > 0 і Отже, рівняння не має коренів.

Відповідь. Рівняння не має коренів.

917.

а)

б) (3,56 - (-7,92 : 11) + (-2,54 + 1,26)) : (-1,25) = (3,56 - (-0,72 + (- 1,28)) : (-1,25) = (3,56 + 0,72 - 1,28): (-1,25) = 3 : (-1,25) = -2,4.

918.

а) 5¹ =5; 5² = 25; 5³ = 125; 5⁴ = 625; 5⁵ = 3125; 5⁶ = ...5. Отже, остання цифра значення степеня 5¹⁰⁰ — 5;

б) 6¹ = 6; 6² = 36; 6³ = 216; 6⁴ = 625; 6⁵ = ...6. Отже, остання цифра значення степеня 6⁶⁶ — 6;

в) 4¹ = 4; 4² = 16; 4³ = 64; 4⁴ = 256; 4⁵ = 1024; 4²ⁿ = ...6. Отже, остання цифра значення степеня 4¹⁰⁰⁰ — 6;

г) 9¹ = 9; 9² = 81; 9³ = 729; 9⁴ = 6561; 9^{2n - 1} = ...9. Отже, остання цифра значення степеня 9⁹⁹⁹ — 9;

ґ) 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16; 2⁵ = 32; 2^{4n + 1} = ...2. Останні цифри значень степенів: 2⁹⁷ = 2^{4 • 24 + 1} = ...2; 2⁹⁸ = ...2 • 2 = 4; 2⁹⁹ = ...4 • 2 = 8. 2¹⁰⁰ = ...8 • 2 = ... 6. Отже, остання цифра значення степеня 2¹⁰⁰ — 6;

д) 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16; 2⁵ = 32; 2^{4n + 1} = ...2. Останні цифри значень степенів: 2⁹⁷ = 2^{4 • 24 + 1} = ...2; 2⁹⁸= ...2 • 2 = 4; 2⁹⁹ = ...4 • 2 = 8. Отже, остання цифра значення степеня 2⁹⁹ — 8;

е) 3¹ = 3; 3² = 9; 3³ = 27; 3⁴ = 81; 3⁴ⁿ =...1; 3¹⁰⁰ = 3^{4n • 25} = ...1; 3¹⁰¹ = ...1 • 3 = ...3. Отже, остання цифра значення степеня 3¹⁰¹ — 3;

є) 3¹ =3; 3² = 9; 3³ =27; 3⁴ = 81; 3⁴ⁿ =... 1; 3¹⁰⁰ = 3⁴n ^{• 25} = ...1; 3¹⁰¹ = ...1 • 3 = ...3; 3¹⁰² = ...3 • 3 = ...9; Отже, остання цифра значення степеня 3¹⁰² — 9.

919.

а) (х² + 3ху + 2y²)(х - 3у) + 6у²(х + у) = ((х(х + 3у)) + 2y)(х - 3у) + 6y²(x + у) = х(х + 3у)(х - 3у) + 2у²(х - 3у) + 6y²(х +у) = х(х² - 9у²) + 2у²(х - 3у + 3х + 3у) = x(x² - 9у²) + 2y² • 4х = х³ - 9ху² + 8ху²= х³ - ху². Якщо х = 6, у = 5, то: 6³ - 6 • 5² = 216 - 150 = 66;

б) (а + 5b)(a² — 5ab + 6b²) — 10b²(3b — 2a) = (а + 5b)(а(а — 5b) + 3 • 2b²) - 5 • 2b²(3b — 2a) = a(a² - 25b²) + 2b²(3а +15b) + 2b²(-15b + 10а) = a(a²- 25b²) + 2b²(3а + 15b — 15b + 10a) = a³ - 25ab² + 26ab²= a³ + ab².

Якщо a = -8, b = 6, то a³ + ab² = (-8)³ + (-8) • 6² = -512 - 288 = -800.

920.

Область визначення і область значень функції, заданої графіком (мал. 57 а), складаються з усіх чисел. Графіком є пряма лінія, розміщена у I, II і IV координатних кутах. Додатні значення функція приймає, якщо а від’ємні — якщо Функція задана формулою у = -2х + 2. Область визначення функції, заданої графіком (мал. 57 б), складають усі числа, крім х = 0, область значень — усі числа, крім у = 0. Додатні значення функція приймає, якщо х < 0, а від’ємні — якщо х > 0. Графіком є гіпербола, вітки якої розміщено в II і IV координатних кутах. Функція задана формулою