Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Бевз Г. П. 2016-2020

Розділ 3. Неповні квадратні рівняння
20. Формула коренів квадратного рівняння(921-998)

921.

a)х²- 2х + 1 = D = (-2)² - 4 • 1 - 1 = 4 - 4 = 0;

б) х² + 2х + 1=0. D = 2² - 4 • 1 • 1=4 - 4 = 0;

в) у² - 6у + 1 = 0. D = (-6)² - 4 • 1 • 1 =36 - 4 = 32;

г) z²+ 6z -1 = 0. D = 6² — 4 • 1 • (-1) = 36 + 4 = 40;

r)2x²- x - 1=0. D = (-1)² - 4 • 2 • (-1) = 1 + 8 = 9;

д) 3х² — 2x - 1 = 0. D = (-2)² - 4 • 3 • (-1) = 4 + 12 = 16.

922.

а) Рівняння х² - 2х + 2 = 0 не має коренів, бо: D = (-2)²- 4 • 1 • 2 = 4 — 8 = -4, D < 0;

б) рівняння х² + 2х + 2 = 0 не має коренів, бо: D = 2² - 4 • 1 • 2 = 4 - 8 = -4, D < 0;

в) рівняння x² - 5х + 6 = 0 має два корені, бо: D = (-5)² - 4 • 1 • 6 = 25 — 24 = 1, D > 0;

г) рівняння х² + 5х + 6 = 0 має два корені, бо: D = 5² - 4 • 1 • 6 = 25 - 24 = 1, D > 0;

ґ) рівняння х² - 6х + 9 = 0 має один корінь, бо: D = (-6)²- 4 • 1 • 9 = 36 - 36 = 0, D = 0;

д) рівняння х² + 6х + 9 = 0 має один корінь, бо: D = 6² - 4 • 1 • 9 = 36 - 36 = 0, D = 0.

923.

а) Рівняння х² + (x - 1)² = 0 не має коренів, бо сума двох невід’ємних чисел, які одночасно не перетворюються в нуль, не дорівнює нулю;

б) рівняння х² + |х| + 1 = 0 не має коренів, бо сума двох невід’ємних і додатного чисел не може дорівнювати нулю;

в) рівняння не має коренів, бо сума невід ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю;

г) рівняння (2х - 5)² + 3 = 0 не має коренів, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю.

924.

а) х² - 6х + 8 = 0; (х² - 6х + 9) - 1 = 0; (х - 3)² - 1 =0; (х-3 - 1 )(х - 3 + 1) = 0; (х - 4)(х - 2) = 0; x₁ = 4, х₂ = 2.

Відповідь. 4; 2;

б) х² - 12х + 35 = 0; (х² - 12х + 36) - 1 = 0; (х - 6)² - 1 = 0; (х - 6 - 1)(х - 6 + 1) = 0; (х - 7)(х - 5) = 0; x₁ = 7, х₂ = 5.

Відповідь. 7; 5;

в) х² - 4х - 12 = 0; (х² - 4х + 4) - 16 -= 0; (х - 2)² - 4² = 0; (х - 2 - 4)(х - 2 + 4) = 0; (х - 6)(х + 2) = 0; x1 = 6, х₂ = -2.

Відповідь. 6; -2;

г) z² + 4z - 12 = 0; (z² + 4z + 4) - 16 = 0; (z + 2)² - 4² = 0; (z + 2 - 4)(z + 2 + 4) = 0; (z - 2)(z + 6) = 0; z,₁ = 2, z₂ = -6.

Відповідь. 2; -6.

925.

a)x²- 11x + 18 = 0; (x - 9)(x - 2) = 0; x₁ = 9, x₂ = 2.

Відповідь. 9; 2;

б) y2 - 5y - 24 = 0; (y - 8)(y + 3) = 0; y₁ = 8, y₂ = -3.

Відповідь. 8; -3;

в) m² - 12m + 36 = 0; (m - 6)²= 0; m - 6 = 0; m = 6.

Відповідь. 6;

г) х²+ 14x + 49 = 0; (x + 7)² = 0; x + 7 = 0; x = -7.

Відповідь. -7.

926.

a) x+ 6x - 27 = 0; (x² + 6x + 9) - 36 = 0; (x + 3)² - 6² = 0; (x + 3 - 6)(x + 3 + 6) = 0; (x - 3)(x + 9) = 0; x₁ = 3, x₂ = -9.

Відповідь. 3; -9;

б) x²- 10x + 9=0; (x² - 10x + 25) - 16 = 0; (x - 5)² - 4² = 0; (x - 5 - 4 )(x - 5 + 4) = 0; (x - 9)(x - 1) = 0; x₁ = 9, x₂= 1.

Відповідь. 9; 1;

в) х2 + 3х — 4 = 0; (х - 1)(х + 4) = 0; х₁ = 1, х₂ = -4.

Відповідь. 1; -4;

г) х² — 5х + 6 = 0;   (х - 3)(х - 2) = 0; х₁ = 3, х₂ = 2.

Відповідь. 3; 2.

927.

х2 — 6х + 8 = 0. D = (-6)² - 4 • 1 • 8 = 36 — 32 = 4;

х² - 12х + 35 = 0; D = (-12)²- 4 • 1 • 35 = 144 - 140 = 4;

x² — 4x - 12 = 0. D = (-4)² - 4 • 1 • (-12) = 16 + 48 = 64;

z² + 4z - 12 = 0. D = 4² - 4 • 1 • (-12) = 16 + 48 = 64;

x²—11x + 18 = 0. D = (-11 )²- 4 • 1 • 18 = 121 - 72=49;

y² — 5x - 24 = 0. D = (-5)² - 4 • 1 • (-24) = 25 + 96 = 121;

m² — 12m + 36 = 0. D = (-12)²- 4 • 1 • 36 = 144 - 144 = 0;

x² + 14x + 49 = 0. D = 14²- 4 • 1 • 49 = 196 - 196 = 0;

х² + 6х - 21 = 0. D = 6² - 4 • 1 • (-27) = 36 + 108 = 144;

х² - 10х + 9 = 0. D = (-10)² — 4 • 1 • 9 = 100 - 36 = 64;

x² + 3x - 4 = 0. D = 3² - 4 • 1 • (-4) = 9 + 16 = 25;

х² - 5х + 6 = 0. D = (-5)² — 4 • 1• 6 = 25 - 24= 1.

928.

а) Рівняння х² + х + 1 = 0 не має коренів, бо D = 1² - 4 • 1 • 1 = -3, D < 0;

б) рівняння 2y² — 3y + 2 = 0 не має коренів, бо D = (-3)² — 4 • 2 • 2 = 9 - 16 =-7, D< 0;

в) рівняння 0,5x² + 2х + 2 = 0 має один корінь, бо D = 2² - 4 • 0,5 • 2 = 0, D = 0;

г) рівняння 8z — z + 4 = 0 не мас коренів, бо D = (-1)² - 4 • 8 • 4 = 1 - 128 = -127, D< 0.

929.

а) x² - 7х - 18 = 0. D = (-7)² - 4 • 1 • (-18) = 49 + 72 = 121.

Відповідь. -2; 9;

б) x² + 7x - 18 = 0. D = 7² - 4 • 1 • (-18) = 49 + 72 = 121.

Відповідь. -9; 2;

в) x² + х - 6 = 0. D = 1² - 4 • 1 • (-6) = 1 +24 = 25.

Відповідь. -3; 2;

г) x² - x - 42 = 0. D = (-1 )²- 4 • 1 • (-42)= 1 + 168 = 169.

Відповідь. -6; 7.

930.

а) x² + 3х - 130 = 0. D = 3² - 4 • 1 • (-130) = 9 + 520 = 529.

Відповідь. -13; 10;

б) x² — 7x* - 120 = 0. D = (-7)² - 4 • 1 • (-120) = 49+ 480 = 529.

Відповідь. -8; 15;

в) 4х² - 4х - 3=0. D = (-4)²- 4 • 4 • (-3)= 16 + 48 = 64.

Відповідь. -0,5; 1,5;

г) 4х²- 4х - 15 =0. D = (-4)²- 4 • 4 • (-15)= 16 + 240 = 256.

Відповідь. -1,5; 2,5.

931.

а) 9x² - 12х - 5 = 0. D = (-12)² - 4 • 9 • (-5) = 144 + 180 = 324.

Відповідь.

б) 9z² - 24z - 20 = 0. D = (-24)² - 4 • 9 • (-20) = 576 + 720 = 1296.

Відповідь.

в) 2у² — 7y + 3 = 0. D = (-7)² — 4 • 2 • 3 = 49 - 24 = 25.

Відповідь. 0,5; 3;

г) 5z² - 8z + 3 = 0. D = (-8)² — 4 • 5 • 3 = 64 - 60 = 4.

Відповідь. 0,6; 1.

932.

а) 2х² - 7х - 30 = 0. D = (-7)² - 4 • 2 • (-30) = 49 + 240 = 289.

Відповідь. -2;

б) 4х²+ 3х - 10 = 0. D = 3² - 4 • 4 • (-10) = 9 + 160 = 169.

Відповідь. -2;

в) 9y² - 13у + 4 = 0. D = (-13)²- 4 • 9 • 4 = 169 - 144 = 25.

Відповідь. 1;

г) 5x² + 31x - 28 = 0. D = 31² -4 • 5 • (-28) = 961 + 560 = 1521.

Відповідь. -7; 0,8.

933.

а) 16x² — 24x + 27 = 0. D = (-24)² - 4 • 16 • 27 = 576 - 1728 = -1152. D< 0. Отже, рівняння не має коренів.

Відповідь. Коренів немає;

б) 25с² + 15с - 4 = 0. D = 15² - 4 • 25 • (-4) = 225 + 400 = 625.

Відповідь. -0,8; 0,2;

в) 6x² — 5x - 6 = 0. D = (-5)² - 4 • 6 • (-6) = 25 + 144 = 169.

Відповідь. 1,5;

г) 4x² — 19x + 12 = 0. D = (-19)² - 4 • 4 • 12 = 361 - 192 = 169.

Відповідь. 4.

934.

а) 2р² - 7p + 6 = 0. D = (-7)² — 4 • 2 • 6 = 49 - 48 = 1.

Відповідь. 1,5; 2;

б) 10m² — 53m + 15 = 0. D = (-53)² - 4 • 10 • 15 = 2809 - 600 = 2209.

Відповідь. 0,3; 5;

в) 6x²- 12,5x + 6 = 0; 12x² — 25x + 12 = 0. D = (-25)² - 4 • 12 • 12 = 625 - 576 = 49.

Відповідь.

г) 8x² - 8,8x + 2,1 =0; 80x² — 88x + 21 = 0; D = (-88)² - 4 • 80 • 21 = 7744 — 6720 = 1024.

Відповідь. 0,35;

935.

а) 10у² - 0,8у = 1,92; 10y - 0,8у - 1,92 = 0. D = (-0,8)² - 4 • 10 • (-1,92) = 0,64 + 76,8 = 77,44.

Відповідь. -0,4; 0,48;

б) D = (-19)² - 4 • 36 • (-6) = 361 + 864 = 1225.

Відповідь.

в) 4n² + 11n + 7,36 = 0. D = 11² - 4 • 4 • 7,36 = 121 - 117,76 = 3,24.

Відповідь. -1,6; -1,15;

г) D = (-34)² - 4 • 8 • 35 = 1156 - 1120 = 36.

Відповідь. 2,5.

936.

а) D = (-43)² - 4 • 30 • 15 = 1849 - 1800 = 49.

Відповідь. 0,6;

б) D = (-5)² - 4 • 1 • (-14) = 25 + 56 = 81.

Відповідь. -2; 7;

в) D = 5² - 4 • 3 • (-28) = 25 + 336 = 361.

Відповідь. -4;

г) D = 4² - 4 • 9 • (-44)= 16 + 1584= 1600.

Відповідь 2.

937.

а) 4х(х - 1) = 3; 4х² - 4х - 3 = 0; D = (-2)² - 4 • (-3) = 4 + 12 = 16.

Відповідь. -0,5; 1,5;

б) 4z(z - 1) = 15; 4я² - 4z - 15 = 0; D = (-2)² - 4 • (-15) = 4 + 60 = 64.

Відповідь. -1,5; 2,5;

в) 3х(3х - 8) = 20; 9х² — 24х - 20 = 0; D = (-12)² - 9 • (-20) = 144+ 180 = 324.

Відповідь.

г) 3у(3у - 4) = 5; 9y² - 12у - 5 = 0; D = (-.66)² - 9 • (-5) = 36 + 45 = 81.

Відповідь.

938.

а) (2х - 3)² = 8х; 4x² — 12x + 9 - 8х = 0; 4x² — 20x + 9 = 0; D = (-10)² - 4 • 9 = 100 - 36 = 64.

Відповідь. 0,5; 4,5;

б) (2x + 1)² = 3x + 4; 4x² + 4x + 1 — 3x - 4 = 0; 4x² + x - 3 = 0. D = 1² - 4 • 4 • (-3) = 1 + 48 = 49.

Відповідь. -1;

в) 2(3z + 9) = (2z + 5)² ; 6z + 18 — 4z² — 20z - 25 = 0; 4z² + 14z +7 = 0;

Відповідь.

г) 12(3 - x) = (3x - 1)²; 36 — 12x — 9x² + 6x - 1 = 0; 9x² + 6x - 35 = 0. D = 3² - 9 • (-35) = 9 + 315 = 324.

Відповідь.

939.

а) x(7 - x) = 5x - 8; 7x - x² — 5x + 8 = 0; x² — 2x - 8 = 0. x₂ - 1 + 3 = 4;

Відповідь. -2; 4;

б) 2x(3x + 4) = 4x² + 5x + 27; 6x² + 8x — 4x² — 5x - 27 = 0; 2x² + 3x - 27 = 0. D = 3² - 4 • 2 • (-27) = 9 + 216 = 225.

Відповідь. -4,5; 3.

940.

а) 3x(2x - 5) = 2(x² + 2); 6x² — 15x — 2x² - 4 = 0; 4x² — 15x - 4 = 0; D = (-15)² - 4 • 4 • (-4) = 225 + 64 = 289.

Відповідь. 4;

б) 3x(5x + 3) = 2x(6x + 5) + 2; 15x² + 9x -12x² — 10x - 2 = 0; 3x² — x - 2 = 0. D = (-1)² - 4 • 3 • (-2) = 1 + 24 = 25.

Відповідь. 1.

941.

а) (х - 5)² = 3х + 25; х² - 10х + 25 — 3х - 25 = 0; х² - 13х = 0; х(х -13) = 0; х₁ = 0; x₂ = 13.

Відповідь. 0; 13;

б) (х + 4)² = 3х² - 8; х² + 8x + 16 - 3х² + 8 = 0; 2x² - 8х - 24 = 0; х² - 4х - 12 = 0. D = (-2)² - 1 • (-12) = 4 + 12= 16.

Відповідь. -2; 6;

в) (р - 3)² = 2(р + 1); р² - 6р + 9 - 2р - 2 = 0; р² — 8p + 7 = 0. D = (-4)² - 1 • 7 = 16 - 7 = 9.

Відповідь. 1; 7;

г) (3с - 5)² = 10с + 9; 9с² - 30с + 25 - 10с - 9 = 0; 9с² - 40с + 16 = 0. D = (-20)² - 9 • 16 = 400 - 144 = 256.

Відповідь. 4.

942.

а) (2x + 4)² = 11х² + 1; 4x² + 16x + 16 - 11² - 1 = 0; 7x² — 16x - 15 = 0. D = (-8)² - 7 • (-15) = 64+ 105= 169.

Відповідь. 3;

б) (9 - 4х)² = 5(4х + 1);81 -72х+ 16х² - 20х - 5=0; 16х² - 92х + 76 = 0; 4x² - 23х + 19 = 0. D = (-23)² - 4 • 4 • 19 = 529-304 = 225.

Відповідь. 1; 4,75;

в) х²+ 1 = 625 - 2х; х² + 2х - 624 = 0. D = 1² - 1 • (-624) = 625.

Відповідь. -26; 24;

г) y² + 4 = 961 +4y; y² — 4y - 957 = 0. D = (-2)² - 1 • (-957) = 961.

Відповідь. -29; 33.

943.

а) (х + 4)(2х - 3) - (5х - 6)(х - 3) = 10; 2х² - 3х + 8х - 12 — 5x² + 15х + 6х - 18 - 10 = 0; -3х² + 26х - 40 = 0; 3х² - 26х + 40 = 0; D = (-13)² - 3 • 40 = 169 - 120 = 49.

Відповідь. 2;

б) (2х - 8)(3x + 1) = (4x - 12)(x — 2) +8; 6х² + 2х - 24х - 8 — 4x² + 8x + 12х - 24 - 8 = 0; 2х² — 2x - 40 = 0; x² - x - 20 = 0;

Відповідь. -4; 5.

944.

а) ОДЗ: х ≠ 0. Маємо: х² + 3х = х + 3; х² + 2х - 3 = 0. D = 1² - 1 • (-3) =1 + 3=4.

Відповідь.-3; 1;

б) ОДЗ: с ≠ 1. Маємо: 2с² = (с - 2)(с - 1); 2с² - с² + с + 2с - 2 = 0; с² + 3с - 2 = 0. D = 3² - 4 • 1 • (-2) = 9 + 8 = 17.

Відповідь.

945.

а) ОДЗ: х ≠ -2. Маємо: 16 - х(х + 2) ; х² + 2х - 16 = 0. D = 1² - 1 • (-16) = 1 + 16 = 17.

Відповідь.

б) ОДЗ: у • 3. Маємо: у² - 3у = 18. у² - 3у - 18 = 0. D = (-3)² - 4 • 1 • (-18) = 9+ 72 = 81.

Відповідь. -3; 6.

946.

а) ОДЗ: z ≠ 0; z ≠ -1. Маємо: (z + 2)(z + 1) = z(5z + 1); z²+z + 2z + 2-5z²-z = 0; 4z² - 2z - 2 = 0; 2z² — z - 1 =0. D = (-1 )²- 4 • 2 • (-1) = 1 + 8 = 9.

Відповідь. 1.

б) ОДЗ: m ≠ 5. Маємо: m² — 6m = -5; m² — 6m + 5 = 0. D = (-3)² - 1 • 5 = 9 — 5 = 4.

Відповідь. 1; 5.

947.

а) ОДЗ: х ≠ -3, х ≠0,5. Маємо: (х - 5)(2х - 1) - (3 + 2х)(х + 3) = 0; 2x² — х - 10х + 5 - 3х — 9 — 2x² - 6х = 0; - 20x - 4 = 0; - 20х = 4; х = -0,2.

Відповідь. -0,2;

б) ОДЗ: 3 - 2х ≠ 0, х ≠ 1,5; 2х + 3 ≠ 0, х ≠ -1,5. Маємо: (2х- 1)(2х + 3) - (х - 1)(3 - 2х) = 0; 4х² + 6х - 2х — 3 - 3х + 2х² + 3 - 2х = 0; 6х² - х = 0; х(6х - 1) = 0; х₁= 0;

Відповідь. 0;

948.

а) х⁴ — 5x² + 4 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² - 5t + 4 = 0. D = (-5)² - 4 • 1 • 4 = 9. Повернемось до змінної х: 1)x₂ = 4, х₁ =-2, х₂ = 2; 2)х² = 1,х₃ = -1, х₄= 1.

Відповідь. -2; 2; -1; 1;

б) х⁴ + 6х² + 4 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² + 5t + 4 = 0. D = 5² — 4 • 1 • 4 = 9. Повернемось до змінної х: 1) х² = -1 — не має коренів; 2) х² = -4 — коренів немає.

Відповідь. Коренів немає;

в) х⁴ - х² - 6 = 0. Нехай х² = є тоді х⁴ = t². Одержимо: t² — t - 6 = 0. D = (-1)² + 4 • 1 •6 = 25. Повернемось до змінної х: 1) х² = 3, 2) х² = -2 — не має коренів.

Відповідь.

г) х⁴ + х² - 6 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² + t - 6 = 0. D = 1² + 4 • 1 • 6 = 25. Повернемось до змінної х: 1) х² = 2, 2) х² = - 3 — не має коренів.

Відповідь.

949.

а) х⁴ — 8x² - 9 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² — 8t - 9 = 0. D = (-4)² + 1 • 9 = 16 + 9 = 25. Повернемось до змінної х: 1) х² = 9,х₁ = 3; х₂=-3; 2) х² = -1 —не має коренів.

Відповідь. 3; -3;

б) х⁴ + 8x² - 9 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² + 8t - 9 = 0. D = 4²+ 1 • 9 = 16 + 9=25. Повернемось до змінної х: 1) х² = 1, x₁ = 1 х₂ = -1; 2) х² = -9 — не має коренів.

Відповідь. 1; —1;

в) х⁴ - 6х² + 5 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² — 6t + 5 = 0. D = (-3)² - 1 • 5 = 9 - 5 = 4. Повернемось до змінної х: 1) x² = 5, 2) x₂ = 1; x₃ = 1; x₄= -1.

Відповідь. 1; -1;

г) x⁴ + 6х² + 5 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴= t². Одержимо: t² + 6t + 5 = 0. D = 3² - 1 • 5 = 9 - 5 = 4. Повернемось до змінної х: 1) х₁ = -1 — коренів немає; 2) х₂ = -5 — коренів немає.

Відповідь. Коренів немає.

950.

а) 4х⁴ - 3х² - 1 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: 4t² - 3t - 1 =0. D = (-3)² + 4 • 4 • 1=9+16 = 25. Повернемось до змінної х: 1) х² = 1, x₁ = 1 х₂ = -1; 2) — коренів немає.

Відповідь. 1; -1;

б) 4х⁴ + 3х² — 1 = 0. Нехай х²= t, тоді х⁴ = t². Одержимо: 4t² + 3t - 1 = 0. D = 3² + 4 • 4 • 1=9+16 = 25. Повернемось до змінної х: 1) 2) х² = -1 — коренів немає.

Відповідь.

в) 9х⁴ - 10х² + 1 =0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: 9t² — 10t + 1 =0. D = (-5)² - 9 • 1=25 -9 = 16. Повернемося до змінної х: 1) х² = 1, x₁ = 1; х₂ = -1;2)

Відповідь. 1; -1;

г) 9х⁴ + 10² + 1 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: 9t² + 10t + 1 = 0. D = 5²- 9 • 1=25 -9 = 16. Повернемось до змінної де: 1) — коренів немає; 2) x² = -1 — коренів немає.

Відповідь. Коренів немає.

951.

а) (x - 2)(x - 3) = 0;

б) (x - 1)(x - 5) = 0;

в) (x - 3)(x + 2) = 0;

г) (x + 2)(x + 6) = 0.

а) (x — 2)(x² - 5) = 0; x² — 5x — 2x + 10 = 0; x² — 7x + 10 = 0;

б) (x - 3)(x + 7) = 0; x² + 7x — 3x - 21 = 0; x² + 4x - 21 =0;

в) (х - 0,5)(x₂ - 4) = 0; x² — 4x - 0,5x + 2 = 0; x² - 4,5x + 2 = 0;

г) (x + 0,2)(x + 8) = 0; x² + 8x + 0,2x + 1,6 = 0; x² + 8,2x + 1,6 = 0.

Якщо один корінь квадратного рівняння ах² + bх + с = 0 дорівнює 1, то: а • 1² + b • 1 + с = 0; а + b + с = 0.

954.

а) 4x² + 4x - 15 = 0; (4х² + 4x + 1) - 16 = 0; (2х + 1)²- 4² = 0; (2x + 1 - 4)(2x + 1 + 4) = 0; (2x - 3)(2x + 5) = 0; 2x - 3 = 0 або 2x + 5 = 0; х₁ = 1,5, x₂ = -2,5.

Відповідь. 1,5;-2,5;

б) 9y+ 18у + 8 = 0; (9y+ 18y + 9) - 1=0; (3у + 3)² - 1² = 0; (3у + 3 - 1)(3у + 3 + 1) = 0; (3у + 2)(3у + 4) = 0; 3у + 2 = 0 або 3у + 4 = 0;

Відповідь.

в) 6xг — 13x + 6 = 0 | • 6; 36x² — 78x + 36 = 0; 36x² - 2 • 6x - 6,5 + 6,5² - 6,5² + 36 = 0; (6x - 6,5)² - 6(25 = 0; (6x - 6,5)² - 2,5² = 0; (6х - 6,5 - 2,5)(6x - 6,5 + 2,5) = 0; 6x - 9 = 0 або 6х - 4 = 0; х₁ = 1,5,

Відповідь. 1,5;

г) 5x + 31 x - 28 = 0 | • 5; 25x² + 155x - 140 = 0; (5x)² + 2 • 5x • 15,5 + 15,5² - 15,5² - 140 = 0; (5x²+ 15,5)² - 380,25 = 0; (5x + 15,5)²- 19,5² = 0; (5x + 15,5 - 19,5)(5x + 15,5 + 19,5) = 0; (5x - 4)(5x + 35) = 0; 5x - 4 = 0 або 5x + 35 = 0; x₁ = 0,8, x₂ = -7.

Відповідь. 0,8; -7.

955.

а) 2z² = 9z - 10; 2z² - 9z + 10 = 0 | • 8; 16z² - 72z + 80 = 0; (4z)² - 2 • 4z • 9 + 9² - 9² + 80 = 0;

(4z - 9)² - 1² = 0; (4z - 9 - 1)(4z - 9 + 1) = 0; 4z - 10 = 0 або 4z - 8 = 0; z₁ = 2,5 або z₂ = 2.

Відповідь. 2,5; 2;

б) 8 = 3y + 5y; 5y² + 3y - 8=0 | • 5; 25y²+ 15y - 40 = 0; (5y)² + 2 • 5y • 1,5 + 1,5² - 1,5² - 40 = 0;

(5y + 1,5)² - 42,25 = 0; (5y + 1,5)² - 6,5² = 0; (5y+ 1,5 - 6,5)(5y +1,5 + 6,5) = 0; (5y - 5)(5y + 8) = 0; 5y - 5 = 0 або 5t + 8 = 0; у₁= 1 або y₂ = -1,6.

Відповідь. 1; -1,6;

в) 3x + 4х-7=0 | • 3; 9x² + 12x - 21 =0; (3х)² + 2 • 3x • 2 + 2²- 2²- 21 = 0; (3х + 2)² - 25 = 0; (3х + 2)² - 5² = 0; (3х + 2 - 5)(3х + 2 + 5) = 0; (3х - 3)(3х + 7) = 0; 3х - 3 = 0 або 3х + 7 = 0; x₁ = 1 або

Відповідь. 1; -2 1/3;

г) 5x² + 3х + 2 = 0 | • 5; 25х² + 15х + 10 = 0; (5х)² + 2 • 5х • 1,5 + 1,5²- 1,5² + 10 = 0; (5х + 1,5)² + 7,75 = 0 — рівняння не має коренів.

Відповідь. Рівняння не має коренів.

956.

а) х² + 5x + 4 = 0; х² + 4х + х + 4 = 0; х(х + 4) + х + 4 = 0; (х + 4)(х + 1) = 0; х = -4 або х = -1. Відповідь. -4;-1;

б) х² + 5х + 6 = 0; х² + 2х + 3х + 6 = 0; х(х + 2) + 3(х + 2) = 0; (х + 2)(х + 3) = 0; х = —2 або х = -3. Відповідь. -2; -3;

в) x² - 8х + 15 = 0; х² - 5х - 3х + 15 = 0; х(х - 5) - 3(х - 5) = 0; (х - 5)(х -3) = 0; х = 5 або х = 3. Відповідь. 5; 3;

г) х² - х - 6 = 0; х² - 3х + 2х - 6 = 0; х(х - 3) + 2(х - 3) = 0; (х - 3)(х + 2) = 0; х = 3 або х = -2. Відповідь. 3; -2.

957.

а) (3х + 1)² = 3х + 1; (3х + 1)² - (3х + 1) = 0; (3х + 1)(3х + 1 - 1) = 0; (3х + 1) • 3х = 0; або х = 0.

Відповідь. 0;

б) (3х + 1)² = 3(х + 1); 9x² + 6х + 1 - 3х - 3 = 0; 9х² + 3х -2 = 0; D = 3² - 4 • 9 • (-2) = 81; або

Відповідь.

в) 4(3х + 1)² = (6х + 2)²; 4(3х + 1)² = (2 • (3х + 1)²; 4(3х + 1)² = (2 • (3х + 1))²; 4(3х+ 1)² = 4(3х+ 1)².

Відповідь. При всіх значеннях х;

г) (3х + 1)² = 3х² +х; (3х + 1)² -х(3х + 1) = 0; (3х + 1)(3х + 1 - х) = 0; (3х + 1)(2х + 1) = 0;

або х = -0,5.

Відповідь. -0,5.

958.

а) (2,5х - 7)(2х + 3) + 3х + 4 = (4х - 9)(1,5х + 1); 5х² + 7,5х - 14х - 21 + 3х + 4 - 6х² - 4х + 13,5х + 9 = 0; х² - 6х + 8 = 0. D = (-3)² - 8 = 1;

Відповідь. 2; 4;

б) (3z - 5)(4z + 1) + (2z + 3)(5z - 4) = 6z(3 +2z) - 11; 12z² + 3z - 20z - 5 + 10z² - 8z + 15z - 12 — 18z — 12z² + 11 = 0; 10z² - 28z - 6 = 0; D = (-14)² + 10 • 6 = 196 + 60 = 256;

Відповідь. -0,2; 3. У відповіді підручника допущена помилка.

959.

а) (2t - 3)(5t + 2) + (3t - 1)(4t + 2) = 10t² - 5; 10t² + 4t — 15t - 6 + 12t² + 6t — 4t - 2 — 10t² + 5 = 0; 12t² — 9t - 3 = 0; 4t² — 3t - 1 = 0. D = (-3)² + 4 • 4 • 1 = 9 + 16 = 25;

Відповідь. -0,25; 1;

б) (3n - 2)(3n + 2) - (2n - 3)² = 3n(n + 7) - 17; 9n² — 4 — 4n²+ 12n — 9 — 3n² - 21n + 17 = 0; 2n² -9n + 4 = 0. (-9)² - 4 • 2 • 4 = 81 - 32 = 49;

Відповідь. 0,5; 4.

960.

а) ОДЗ: х ≠ -2, х ≠ 2. Маємо: х² - 6х + 4 = 0. D = (-3)² - 4 = 5.

Відповідь.

б) ОДЗ: y ≠ -3, у ≠ 3. Маємо: y² + y - 30 = 0. D = 1²+ 4 • 1 • 30= 121.

Відповідь. -6; 5.

961.

а) ОДЗ: с ≠ -5, с ≠ 5. Маємо: -10с + 60 = 0; с = 6.

Відповідь. 6;

б) ОДЗ: x ≠ 1,5, x ≠ 1. Маємо: 24c² — 77c + 58 = 0. D = (-77)2 - 4 • 24 • 58 = 361.

Відповідь. 2;

962.

а) ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ -2, х ≠ 2. Маємо: 3x² + 4х - 32 = 0. D = 2² + 3 • 32 = 100.

Відповідь. -4;

б) ОДЗ: z ≠ 0, z ≠ -2, z ≠ 3. Маємо: -2z - 6 = 0; z = -3.

Відповідь. -3.

963.

а) ОДЗ: х ≠ 0,5; х ≠ -0,5. Маємо: 5x² + 18x - 23 = 0. D= 9² + 5 • 23 = 196.

Відповідь. -4,6; 1;

б) ОДЗ: x ≠ 1; x ≠ -1. Маємо: х² - 9х + 20 = 0. D = (-9)² - 4 • 1 • 20 = 1.

Відповідь. 4; 5.

964.

а) ОДЗ: x ≠ 1; х ≠-1. Маємо: х² - 5х - 36 = 0. D = (-5)² + 4 • 1 - 36 = 169.

Відповідь. -4; 9;

б) ОДЗ: x ≠ 1. Маємо: 9х² - 11х - 14 = 0. D = (-11)² + 4 • 9 • 14 = 625.

Відповідь. 2.

965.

а) ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2. Маємо: 27х² - 7х + 38 = 0. D = (-7)² - 4 • 27 • 38 < 0. Отже, рівняння не має коренів. Відповідь. Коренів немає;

б)  ОДЗ: х ≠ 5, х ≠ 3, х ≠-1. Маємо: 2х² + 14х - 36 = 0 | : 2; x² + 7х -18 = 0. D = 7² + 4 • 18 = 121.

Відповідь. -9; 2.

966.

а) ОДЗ: х ≠ 1; x ≠ 2; х≠ 7. Маємо: -х² + х = 0. x(1 -х) = 0; х = 0 або х = 1 — не підходить. Отже, х = 0.

Відповідь. 0;

б) ОДЗ: х ≠ 1; х *≠ -6; х ≠ -3. Маємо: х² + 7х = 0; х(х + 7) = 0; х = 0 або х = -7.

Відповідь. 0; -7.

967.

а) ОДЗ: х ≠ 1,5. Маємо: х² - 2х - 15 = 0 .D = (-1)² +15 = 16.

Відповідь. -3; 5;

б) ОДЗ: х ≠ 6. Маємо: х²- 13х +12 = 0.  D = (- 13)²- 4 • 1 • 12= 121.

Відповідь. 1; 12.

968.

а) ОДЗ: х ≠ 5, х ≠ 2. Маємо: x² — 7x + 10 = 0. D = (-7)² - 4 • 1 • 10 = 9. — не підходить; — не підходить. Отже, рівняння не має коренів.

Відповідь. Коренів немає;

б)

ОДЗ: х ≠ 7, x ≠ 2. Маємо: х² - 9х + 14 = 0. D = (-9)² - 4 • 1 • 14 = 25. — не підходить; — не підходить. Отже, рівняння не має коренів.

Відповідь. Коренів немає.

969.

а)

 ОДЗ: z ≠ 2, z ≠ 1, z ≠ -1. Маємо: 5z² - 22z + 21 =0. D = (-11 )² - 5 • 21 = 16.

Відповідь. 1,4; 3;

б)

ОДЗ: с ≠ 3, с ≠ 2, с ≠ 4. Маємо: 7с² -51с + 80 = 0. D = (-51 )² - 4 • 7 • 80 = 2601 - 2240 = 361.

Відповідь. 5.

970.

а) (x + 1)² = 7918 - 2х; x² + 2х + 1 + 2х - 7918 = 0; х² + 4х- 7917 = 0. D = 2² + 7917 = 7921. x₂ = -2 + 89 = 87.

Відповідь. 87; -91;

б)(х + 2)² = 3131 - 2х; x² + 4x + 4 +2х - 3131 =0; x² + 6x - 3127 = 0. D = 3²+ 3127 = 3136. x₂ =-3 + 56 = 53.

Відповідь. -59; 53.

971.

а)

Відповідь.

б)

Відповідь.

972.

а)

Відповідь.

б) Рівняння не має коренів.

Відповідь. Коренів немає.

973.

а)

(х - 3)² = 0; х - 3 = 0; х = 3. Перевірка. При х = 3 знаменник 3(1 + 3)(1 - 8 • 3 + 3²) не дорівнює нулю. Отже, х = 3 — корінь рівняння.

Відповідь. 3;

б) ОДЗ: х ≠ ±1, х ≠ -3. Маємо: 3x² + х - 2 = 0. D = 1² + 4 • 3 • 2 = 25. — не підходить. Отже,

Відповідь.

974.

Для мал. 58 маємо такі ланцюжки перетворень:

1)   3 • x; 2) 12 : x. Рівняння: 3x+12 : х = 20; 3х² + 12 - 20x = 0, х ≠ 0. 3х - 20х + 12 = 0, х ≠ 0; х₁ = 6, Числа, поміщені у вершинах, дорівнюють: 3 • 6 = 18; 12 : 6 = 2; 18 + 2= 20 або 2+18 = 20.

Відповідь. (6; 18; 2);

для мал. 59 маємо такі ланцюжки перетворень:

1) 2 +х; 2)30 : x. Рівняння: (2 + x) - 30 : х = 3; х² - х - 30 = 0, x ≠ 0; x₁ = 6, x₂ = -5. Числа, поміщені у вершинах, дорівнюють: 2 + 6 = 8; 30 : 6 = 5; 8 - 5 = 3 або 2 + (-5) = -3; 30 : (-5) = -6; -3 - (-6) = 3.

Відповідь. (6; 8; 5); (-5; -3; -6).

975.

а) х⁴ — 5x² + 4 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² — 5t + 4 = 0. D = (-5)² - 4 • 1 • 4 = 9. Повернемось до змінної х: 1) х² = 4, x₂ = -2, x₂ = 2; 2) х² = 1, х₃ =-1, х₄= 1.

Відповідь. -2; 2; -1; 1;

б) х⁴ — 8x² - 9 = 0. Нехай х²= t, тоді х⁴ =t². Одержимо: t² - 8t - 9 = 0. D = (-4)² + 1 • 9 = 25. t₂ = 4 - 5 = -1. Повернемось до змінної х: 1) х² = 9, х, = -3, х₂ = 3; 2) х² = -1 — рівняння не має коренів.

Відповідь. -3; 3;

в) Нехай тоді х = t². Одержимо: t² — 4t + 3 = 0. D = (-2)²- 3 = 1. Повернемось до змінної х:

Відповідь. 9; 1;

г) Нехай тоді х = t². Одержимо: t² - 7t + 12 = 0. D = (-7)² - 4 • 12 = 1. Повернемось до змінної х:

Відповідь. 16; 9.

976.

а)  ОДЗ: х > 0. Маємо: х² - 5х - 6 = 0. D = (-5)² + 24 = 49. — не підходить.

Відповідь. 6;

б) ОДЗ: х > 0. Маємо: х² + х - 12 = 0. D = 1² + 48 = 49. — не підходить.

Відповідь. 3;

в) D = (-2)² + 21 = 25. |х| = 2 - 5 = -3 — коренів немає. Отже, х₁ = -7; х₂ = 7.

Відповідь. 7; -7;

г) D= 1² + 3 = 4. — коренів немає. Отже, x₁ = -1; х₂ = 1.

Відповідь. 1; -1.

977.

а) Нехай тоді х = t². Одержимо: t² + 4t - 12 = 0. D = 2² + 12= 16. Повернемось до змінної х: — рівняння не має коренів.

Відповідь. 4;

б) Нехай тоді х = t². Одержимо: t - 8t + 15 = 0. D = (-4)² - 15 = 1. Повернемось до змінної х:

Відповідь. 25; 9.

У відповіді підручника допущена помилка;

в) Нехай тоді х = t². Одержимо: 3t² — 8t + 5 = 0. D = (-4)² - 3 • 5 = 1. Повернемось до змінної x:

Відповідь. 1;

г) Нехай тоді х = t². Одержимо: 2t² + 3t + 1 = 0. D = 3² - 4 • 2 • 1 = 1. Повернемось до змінної х: — рівняння не має коренів; — рівняння не має коренів.

Відповідь. Рівняння не має коренів.

978.

а) х⁴ - 7х² + 12 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: t² - 7t + 12 = 0. D = (-7)² - 48 = 1. Повернемось до змінної х: 1) x² = 4, x₁ = -2, 2 = 2; 2) х² = 3,

Відповідь. -2; 2;

б) 4х⁴ - 5х² + 1 = 0. Нехай х² = t, тоді х⁴ = t². Одержимо: 4t² — 5t + 1 = 0. D = (-5)² -16 = 9 Повернемось до змінної х: 1) x² = 1, х₁ =-1, х₂ = 1; 2) х² = 0,25, х₃ = -0,5, х₄ = 0,5.

Відповідь. -1; 1; -0,5; 0,5;

в) (х + 3)⁴ - (х + 3)² - 2 = 0. Нехай (х + 3)² = t, тоді (х + 3)⁴ = t². Одержимо: t² - t - 2 = 0. D = (-1)² + 8 = 9. Повернемось до змінної х: 1) (х + 3)² = 2, 2) (х + 3)² = -1 — рівняння не має коренів.

Відповідь.

г) (2х - 1)⁴- 10(2х - 1)² + 9 = 0. Нехай (2х - 1)² = t, тоді (2х - 1)⁴ = t². Одержимо: t² — 10t + 9 = 0. D = (-5)²- 9 = 16. Повернемось до змінної х: 1) (2х - 1)² = 9, 2х - 1 = ±3, х₁= 2, х₂ = -1; 2) (2х - 1)² = 1, 2х - 1 = ±1, xз = 1, х₄ = 0.

Відповідь. 2; -1; 1; 0.

979.

а) (x - 3)² - 6(х - 3) + 8 = 0. Нехай х - 3 = t, тоді (х - 3)² = t². Одержимо: t² — 6t + 8 = 0. D = (-3)² — 8 = 1. Повернемось до змінної х: 1)х - 3 = 4, х₁ = 7; 2) х - 3 = 2, х₂ = 5.

Відповідь. 7; 5;

б) (х + 2)² - (х + 2) - 6 = 0. Нехай x + 2 - t, тоді (х + 2)² = t². Одержимо: t² - t - 6 = 0. D = (-1)² + 24 = 25. Повернемось до змінної х: 1) х + 2 = 3, x₁ = 1; 2) х + 2 = -2, х₂ = -4.

Відповідь. 1; -4;

в) х² + 2x + 2(х + 1) - 23 = 0; х² + 2х + 2х + 2 - 23 = 0; Xx² + 4х - 21 = 0. D = 2² + 21 =25.

Відповідь. 3; -7;

г) 4x² - 12х + 2(2х - 3) - 6 = 0; 4x² - 12х + 4х - 6 - 6 = 0; 4x² — 8x - 12 = 0; x² — 2x - 3 = 0. D = (-1)² + 3 = 4.

Відповідь. 3; -1.

980.

а) х⁶ - 9х³ + 8 = 0. Нехай x³ = t, тоді x⁶ = t². Маємо: t² — 9t + 8 = 0. D = (-9)² - 4 • 8 = 49. Повернемося до змінної х: 1) x³ = 8, x₁ = 2; 2) x³ = 1, x₂ = 1.

Відповідь. 2; 1;

б) x³ + 7 — 7x² = де; х² - 1х² - х + 1 = 0; x² — 7x - (х - 7) = 0; (x - 7)(x² - 1) = 0; x₁ ⁼ 7, x_2,3 = ±1.

Відповідь. 7; ±1;

в) (х² + х)(х² + х - 7) = 60. Нехай х² + х = t. Одержимо: t(t - 7) = 60; t² - 7t - 60 = 0. D = (-7)² + 240 = 289. Повернемося до змінної х: 1)х² + х= 12; x² + x - 12=0. D= 1² + 48 = 49. 2) х² + х = -5; х² + х + 5 = 0. D = 1² - 20 = -19 < 0 — рівняння не має коренів.

Відповідь. 3; -4;

г) Нехай тоді х² + 5 = t². Одержимо: t² — 3t = 0; 1(1 - 3) = 0; t₁ = 0; t₂ = 3. Повернемось до змінної х: 1) х² + 5 = 0; х² = -5 — рівняння не має коренів; 2) х² + 5 = 9; x² = 4; х₁ = -2; х₂ = 2.

Відповідь. -2; 2.

981.

ах² + bх + с = 0. Якщо а ≠ 0, то Множимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника. Отримаємо: — задана в умові формула. Отже, при а = 0 заданою формулою можна користуватись для відшукання коренів квадратного рівняння. Якщо а = 0, то отримаємо рівняння: bх + с = 0; bх = -с, коренями якого є: 1) якщо b ≠ 0, то 2) якщо b = 0, с = 0, то х — будь-яке число; 3) якщо b = 0, с ≠ 0, то рівняння не має коренів. З формули маємо: якщо а = 0, то: — не підходить; b = 0; якщо b = 0, то немає розв’язку.

Отже, рівняння ах² + bх + с = 0 можна розв’язувати за формулою за умови, що а = 0, b ≠ 0.

982.

а) (х² + 2х + 1)(x² + 2х + 4) = 10. Нехай х² + 2х + 1 = t, тоді х² + 2х + 4 = t + 3. Одержимо: t(t + 3) = 10; t² + 3t - 10 = 0. D = 3² + 4 • 1 • 10 = 49.

Повернемось до змінної х: 1) х² + 2х+ 1 =2; (х+ 1)² = 2; 2) (х + 1)² = -5 — рівняння не має коренів.

Відповідь.

б) (2x² - 5х — 4)(2x² - 5х) = 21. Нехай 2x² - 5х = t. Одержимо: (t - 4)t = 21; t² — 4t - 21 =0. D = (-2)² + 21 =25. Повернемось до змінної х: 1) 1х² - 5х = 7; 2х² - 5х - 7 = 0. D = (-5)² + 4 • 2 • 7 = 25 + 56 = 81. 2) 2x² - 5х = -3; 2х² - 5х + 3 = 0. D = (-5)² - 4 • 2 — 3 = 25 — 24 = 1.

Відповідь. 3,5;-1; 1,5; 1.

983.

а) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 24; х(х + 3)(x + 1)(х + 2) = 24; (х² + 3х)(х² + 3х + 2) = 24. Нехай х² + 3x = t. Одержимо: t(t + 2) = 24; t² + 2t - 24 = 0. D = 1² + 24 = 25. Повернемось до змінної х: 1) х² + 3х = 4; x²+ 3x - 4 = 0. D = 3²+ 16 = 25. 2) x² + 3х = -6; x² + 3х + 6 = 0; D = 3² - 24 < 0 — рівняння не має коренів.

Відповідь. 1; -4;

б) (х - 2)(х + 1 )(х + 2)(х + 5) + 20 = 0; (х - 2)(х + 5)(х + 1 )(х + 2) + 20 = 0; (х² + 3х — 10)(х² + 3х + 2) + 20 = 0. Нехай х² + 3х = 1. Одержимо: (t - 10)(t + 2) + 20 = 0; t² — 8t - 20 + 20 = 0; t² — 8t = 0; t(t -8) = 0 t₁ =0; t₂ = 8. Повернемось до змінної х: 1) х² + 3х = 0; х(х + 3) = 0; х₁ =0; х₂ = -3; 2) х² + 3х = 8; х² + 3х - 8 = 0. D = 3² + 32 =41.

Відповідь. 0; -3;

984.

а) (х² + 3х + 2)(x² + 3х + 3) + 1 = 0. Нехай х² + 3х + 1 = t, тоді х² + 3х + 3 = t + 2. Одержимо: t(t + 2) + 1 = 0; t² + 2t + 1 = 0; (t + 1)² = 0; t + 1 = 0; t = -1 Повернемось до змінної х: х² + 3х + 1 = -1; х²+ 3х + 2 = 0. D = 3² - 8 = 1.

Відповідь. —1; -2;

б)  (х² - 5х + 2)(х² - 5х - 1) - 28 = 0. Нехай х² - 5х - 1 = t, тоді х² - 5х + 2 = t + 3. Одержимо: (t + 3)t - 28 = 0; t² + 3t - 28 = 0. D = 3² + 112 = 121. Повернемось до змінної х: 1)х² - 5х - 1 =4; х² - 5х - 5 = 0. D = (-5)² + 20 = 45. 2) х² - 5х - 1 = -7; х² - 5х + 6 = 0. D = (-5)² - 24 = 1.

Відповідь. 3; 2.

985.

a)ОДЗ: х ≠ Нехай тоді Одержимо: t² — 6t = -5; t² — 6t + 5 = 0. D = (-3)² — 5 = 4. Повернемось до змінної х: х + 1 = 5х; 4х = 1; х = 0,25; х + 1 = х — коренів немає.

Відповідь. 0,25;

б) ОДЗ: х ≠ 2. Нехай тоді Одержимо: t² - t = 42; t² - t - 42 = 0. D = (-1)² + 168 = 169. Повернемось до змінної х: х = 7х -14; 6х =14; х = -6х + 12; 7х = 12;

Відповідь

986.

а) ОДЗ: х > 0. Нехай тоді Одержимо: t² - t = 12; t² - t - 12 = 0. D = (-1)² + 48 = 49. Повернемось до змінної х: — коренів немає.

Відповідь. 81;

б) ОДЗ: х > 0. Нехай тоді Одержимо: t² + t = 2; t² + t - 2 = 0. D =1² + 8 = 9. Повернемось до змінної х:

а) — для умови х > 0 коренів немає; б) Нехай тоді х = z². Одержимо: z +1 = z²; z² — z - 1=0; D = (-1)² + 4 = 5. Повернемось до змінної х: 2) — коренів немає.

Відповідь.

987.

а)(х - 1)²(х² - 2х) = 12; (х² - 2х + 1)(х² - 2х) = 12. Нехай х² - 2х = t. Одержимо: (t + 1)t = 12; t² + t - 12 = 0. D = 1² + 48 = 49. Повернемось до змінної х: 1) х² - 2х = 3; х² - 2х - 3 = 0. D = (-1)² + 3 = 4. 2) х² - 2х = -4; х² - 2х + 4 = 0. D = (-1)² - 4 < 0 — рівняння не має коренів.

Відповідь. 3; -1;

б) (х - 2)²(x² — 4x) = -3; (х² - 4х + 4)(х² - 4х) = -3. Нехай х² - 4х = t. Одержимо: (t + 4)t + 3 = 0; t² + 4t + 3 = 0. D = 2² - 3 = 1 Повернемось до змінної х: 1) х² - 4х = -1; х² - 4х + 1 =0. D = (-2)² -1 = 3. 2) x² - 4х = -3; х² - 4х + 3 = 0. D = (-2)² -3 = 1.

Відповідь. 3; 1.

988.

а) х² + 4х + m = 0.

Рівняння має два різні корені, якщо: D = 2² - m = 4 — m > 0; m < 4. Тоді: рівняння має два рівних корені, якщо: 4 - m = 0; m = 4. Тоді: рівняння не має коренів, якщо: 4 - m < 0; m > 4;

б) х² + mх + 4 = 0.

Рівняння має два різні корені, якщо: D = m² - 16 > 0; m² > 16; m < -4 або m > 4. Тоді: рівняння має два рівні корені, якщо: D = m² - 16 = 0; m² = 16; m = ±4. Тоді: рівняння не має коренів, якщо: D - m² - 16 < 0; m² < 16; -4 < m < 4;

в) mх² + 8х + 1 = 0.

Рівняння має два різні корені, якщо: m ≠ 0 і D = 4² — m = 16 — m > 0; m < 16. Отже, для рівняння має два рівні корені, якщо: m ≠ 0 і D= 16 - m = 0; m = 16. Отже, для рівняння не має коренів, якщо: m ≠ 0 і D> = 16 - m < 0; m > 16. Отже, для m > 16 рівняння не має коренів;

г) mх² + 20х + m = 0.

Рівняння має два різні корені, якщо: m ≠ 0 і D = 10² - m² = 100 - m² > 0; m² < 100; -10 < m < 10. Отже, для m ≠ 0 і -10 < m < 10: рівняння має два рівні корені, якщо: m ≠ 0 і D = 100 - m² = 0; m² - 100; m = ±10.Отже, для для m = - 10 - х = 1; рівняння не має коренів, якщо: m ≠ 0 і D= 100 - m²< 0; m² > 100; m > 10 або m < -10. Отже, рівняння не має коренів, якщо: m > 10 або m < -10.

989.

а) Рівняння 5х² - 2х + m = 0 матиме один корінь, якщо: D = (-1)² — 5m = 0;

б) рівняння матиме один корінь, якщо: D = m² - 8 = 0;

в) рівняння mх² + (m + 1)x + 1 = 0 матиме один корінь, якщо: 1) m = 0; 2) D = (m + 1) - 4m = m² + 2m +1 — 4m = (m - 1)² = 0; m = 1;

г) рівняння х² + (m + 2)х + 2m + 1 = 0 матиме один корінь, якщо: D = (m + 2)² - 4(2m + 1) - m²+ 4m + 4 — 8m - 4 = m² — 4m = 0; m(m - 4) = 0; m = 0 або m = 4.

990.

a)(5x²- 2х - 3x² - mх + 4) = 0.

5x² - 2x - 3 = 0; Отже, рівняння 5х² - 2х - 3 = 0 при всіх значеннях m має два корені x₁ = 1; x₂ = -0,6.

Рівняння (5дг - 2х — 3)(х² - mх + 4) = 0 матиме три корені, якщо:

1) рівняння х² - mх + 4 = 0 матиме один корінь, який не дорівнює 1 і -0,6;

2) рівняння х² -mх + 4 = 0 матиме два корені, один з яких дорівнює 1 або -0,6. Розгляньмо кожен із випадків.

1) Рівняння х² - mх + 4 - 0 матиме один корінь, якщо: D = (-m)²- 16 = 0; m² = 16; m = ±4. При m = 4 рівняння х² - 4х + 4 = 0 має корінь х = 2; при m = -4 рівняння х² + 4х + 4 = 0 має корінь х = -2.

Отже, якщо m = ±4, то рівняння (5х² - 2х — 3)(х² - mх + 4) = 0 матиме три корені.

2) Рівняння x² - mх + 4 = 0 матиме два корені, якщо: D = (-m)² - 16 > 0; m² > 16; m > 4 або m < -4. Переконаймось, чи існує таке m, при якому рівняння х² - mх + 4 = 0 має корінь, який дорівнює 1: 1 - m + 4 = 0; m = 5.

Отже, якщо m = 5, то рівняння х² - mх + 4 = 0 матиме два корені 1 і 4, один з яких дорівнює 1, а значить рівняння (5х² - 2х - 3)(х² - mх + 4) = 0 матиме три корені. Аналогічно встановимо, чи існує таке m, при якому рівняння х² - mх + 4 = 0 має корінь, який дорівнює -0,6: (-0,6)² + 0,6m + 4 = 0; 0,6m = -4,36; Отже, якщо

то рівняння х² - mх + 4 = 0 матиме два корені -0,6 і один з яких який дорівнює -0,6, а значить рівняння (5x² - 2х- 3)(x² - mх + 4) = 0 матиме три корені.

Відповідь. Рівняння (вх² - 2х - 3)(х² - тх + 4) = 0 матиме три корені, якщо: m = ±4; m = 5 і

б) (х² + 3х - 10)(mх² - 6х + 1) = 0. х² + 3х - 10 = 0; Отже, рівняння х² + 3х - 10 = 0 при всіх значеннях т має два корені x₁ = -5; х₂ = 2.

Рівняння (х² + 3х - 10)(mх² - 6х + 1) = 0 матиме три корені, якщо:

1) рівняння mх² - 6х + 1 = 0 матиме один корінь, який не дорівнює -5 і 2;

2) рівняння mх² - 6х + 1 = 0 матиме два корені, один з яких дорівнює -5 або 2.

Розгляньмо кожен із випадків.

1) Рівняння mх² - 6х + 1 =0 матиме один корінь, якщо: D = (-3)² - m = 0; m = 9. При m = 9 рівняння 9x² - 6х + 1 = 0 має корінь

2) Рівняння mх² - 6х + 1 = 0 матиме два корені, якщо: D = (-3)² - m > 0; m < 9. Переконаймось, чи існує таке m, при якому рівняння mх² - 6х + 1 = 0 має корінь, який дорівнює -5 : 25m + 30 + 1 = 0; 25m = -31; m = -1,24.

Отже, якщо m = -1,24, то рівняння mх² - 6х + 1 =0 матиме два корені -5 і один з яких дорівнює -5, а значить рівняння (5x² - 2х - 3)(х² - mх + 4) = 0 матиме три корені.

Аналогічно встановимо, чи існує таке m, при якому рівняння mх² - 6х + 1 = 0 має корінь, який дорівнює 2 : 4m - 12 + 1 = 0; 4m = 11; Отже, якщо то рівняння mх - 6х + 1 = 0 матиме два корені 2 і один з яких який дорівнює 2, а значить рівняння (5x² - 2х — 3)(х² - mх + 4) = 0 матиме три корені.

Відповідь. Рівняння (5х² - 2х — 3)(х² - mх + 4) = 0 матиме три корені, якщо: m = 9; m = -1,24 і

991.

а) |х| = 6; х₁ = 6;х₂ = -6. |х| = 1; х₃ = 1; х₄ = - 1.

Відповідь. 6; -6; 1; -1;

б)х² - 4|х|-21 = 0. |х|² - 4|х| - 21 = 0; |х| = 7; x₁ = 7; x₂ = -7. |х| = -3 — не має коренів.

Відповідь. 7; -7.

992.

a) 4x²+ 7x - 2 = 0. D = 7² + 4 • 4 • 2 = 81.

Відповідь. (0,25; 7,75); (-2; 1);

б)

Відповідь. (0; 0); (4,8; -2,4).

993.

а) ОДЗ: х ≠ -5, х ≠ 3, х ≠ 2, х ≠ 6.

8y - 69у + 145 = 0. D = (-69)² - 4 • 8 • 145 = 121.

Відповідь. (-2; 5); (-7,5; 3,625);

б) y + 8y - 20 = 0. D = 4² + 20 = 36. або

Відповідь. (4; 2); (16; -10).

994.

а) ОДЗ: у ≠ 0. 2у² — у - 3=0; D = (-1)² + 4 • 2 • 3 =25.

Відповідь. (1,5; 3,5);

б) ОДЗ: х ≠ 2, у ≠ 1.

Відповідь. (3; 2);

995.

a) 10⁵< 7,8 • 10⁵< 10⁶; 10⁶ < 2,4 • 10⁶ < 10⁷. Отже, 7,8 • 10⁵ < 2,4 • 10⁶. (2,4 • 10⁶)² - (7,8 • 10⁵)² = (2,4 • 10⁶ - 7,8 • 10³)(2,4 • 10⁶ + 7,8 • 10⁵)= 10⁵(24 - 7,8) • 10⁵(24 + 7,8) = 16,2 • 10⁵ 31,8 • 10⁵ = 515,16 • 10¹⁰ = 5,1516 • 10¹².

a) 4¹= 4; 4²= 16; 4³ = 64; 4⁴ = 256; 4⁵ = ...4; ... 4²⁰ = ... 6. Остання цифра числа 4²⁰ — 6. Тоді остання цифра числа 4²⁰— 1 дорівнює: 6 - 1 = 5, а значить це число ділиться на 5;

б) значення степеня 9ⁿ — непарні числа. Сума двох непарних чисел 9⁶⁰ і 5 — число парне, а значить воно ділиться на два;

в) 17¹ = 17; 17² =... 9; 17³ = ... 3; 17⁴ = ... 1; 17⁵ = ... 7; 17⁴" = ... 1. Тоді остання цифра числа 17¹⁶ + 9 дорівнює 0: (1 + 9 = 10), а значить це число ділиться на 10;

г) число 33²⁵ - 3 ділиться на 3 (бо кожне з чисел 33²⁵ і 3 ділиться на 3) і водночас ділиться на 2 як різниця непарних чисел. Отже, число 33²⁵ - 3 ділиться на 6;

ґ) 8¹⁰ - 10⁸ = (2 • 4)¹⁰ - (2 • 5)⁸ = 2¹⁰ • 4¹⁰ - 2⁸ • 5⁸ = 2⁸(2² • 4¹⁰ - 5⁸) = 2³ • 2⁵ (2² • 4¹⁰ - 5⁸) = 8 • 32(2² • 4¹⁰ - 5⁸) — ділиться на 8;

д) остання цифра числа 23²⁴ закінчується цифрою 1, числа 24²³ — цифрою 4. Тоді остання цифра числа 23²⁴ + 24²³ дорівнює: 1 + 4 = 5, а значить це число ділиться на 5.

997.

У нашій школі навчається 736 учнів, тому, віднісши по одній батарейці у спеціальний бокс, вони збережуть від забруднення 20 • 736 = 14 720 (м²) = 0,01472 (км²) землі. Площа Тернопільської області дорівнює 13 823 км². Отже, учні нашої школи збережуть від забруднення 0,01472 : 13 823 • 100% = 0,000106489% території нашої області.

998.

а) Графік функції у = х² + 1 проходить через точку A (3,5; 13,25), бо 3,5²+ 1 = 12,25 + 1 = 13,25. Якщо у = 7,25, то: х² + 1 = 7,25; х² = 6,25; x = ± 2,5