Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера 7 клас - 2015 рік

Розділ 3

§ 29

1054. 1) Додамо почленно рівняння системи.

Знайдемо x: 5x = 15; x = 15 : 5; x = 3.

2 ∙ 3 + у = 7; у = 7 - 6; у = 1.

Відповідь: (3; 1).

Відповідь: (0,375; 2,5).

Відповідь: (26/7; 4/7).

Відповідь: (133; -26).

Виразимо у через x: у = 9 — 3x. Підставимо в друге рівняння: 17x + 19(9 — 3x) = 15; 17x + 171 — 57x = 15; 17x — 57x = 15 - 171; -40x = -156; x = 3,9; у = 9 - 3 ∙ 3,9 = 9 - 11,7 = -2,7.

Відповідь: (3,9; -2,7).

Підставимо замість

Відповідь: (5/3; -1/21).

Підставимо замість у = 8/7 в перше рівняння:

Відповідь:

Виразимо з першого рівняння у = 10 - x. Підставимо у в друге рівняння:

2015x + 2016(10 - х) = 2017; 2015x + 20160 — 2016x = 2017; -х = 2017 - 20160; -х = -18143; х = 18143; у = 10 - 18143 = -18133.

Відповідь: (18143; -18133).

Відповідь: (8; -1).

Підставимо в перше рівняння: 2 ∙ 2 + у = 3; 4 + у = 3; у = 3 - 4; у = -1.

Відповідь: (2; -1).

Підставимо в перше рівняння: 4 ∙ х + 3 = 7; 4х = 7 - 3; 4х = 4; х = 4 : 4; х = 1.

Відповідь: (1; 1).

Відповідь: (-44,5; -12).

Підставимо х = 4 в перше рівняння: 2 ∙ 4 - у = 8; 8 - у = 8; у = 8 - 8; у = 0.

Відповідь: (4; 0).

Підставимо y = 1 в перше рівняння: 3х + 2 = 8; 3х = 8 - 2; 3х = 6; х = 6 : 3; х = 2.

Відповідь: (2; 1).

Підставимо х = 1 у перше рівняння: 2 ∙ 1 + 3у = -1; 3y = -1 - 2; 3у = -3; у = -1.

Відповідь: (1; -1).

y = 40: (-5); у = -8. Підставимо y = -8 в рівняння: -7х - 2 ∙ (-8) = -5; -7х + 16 = -5; -7х = -5 - 16; -7х = -21; х = -21 : (-7); х = 3.

Відповідь: (3; -8).

Підставимо замість х = -8 в перше рівняння: 4 ∙ (-8) + у = 7; -32 + у = 7; у = 7 + 32; y = 39.

Відповідь: (-8; 39).

у = 14 : 7; у = 2. Підставимо замість у = 2 в перше рівняння: 2х + 3 ∙ 2 = 5; 2х + 6 = 5; 2х = 6 + 5; 2х = -1; x = -1/2.

Відповідь: (-1/2; 2).

Відповідь: (5; -1).

x = 46 : 23; х = 2. Підставимо x в перше рівняння: 3 ∙ 2 - у = 5; 6 - у = 5; у = 6 - 5; у = 1.

Відповідь: (2; 1).

Підставимо в перше рівняння: x - (-1) = 3; x + 1 = 3; x = 2.

Відповідь: (2; -1).

Відповідь: (1; -5).

y = 14 : 7; y = 2. Підставимо у в перше рівняння: 7х + 2 ∙ 2 = -3; 7х + 4 = -3; 7х = -7; х = -1.

Відповідь: (-1; 2).

х = 39 : 13; х = 3. Підставимо замість х = 3 в перше рівняння: 3 ∙ 3 + 5у = 19; 9 + 5у = 19; 5у = 19 - 9; 5у = 10; у = 2.

Відповідь: (3; 2).

4x = 2; х = 1/2.

Відповідь: (1/2; 1).

Підставимо замість х = 4 в перше рівняння: 2 ∙ 4 + 9у = -1; 8 + 9у = -1; 9у = -9; у = -1.

Відповідь: (4; -1).

у = 26 : 13; у = 2. Підставимо в перше рівняння у = 2.

3х + 2 ∙ 2 = 1; 3х + 4 = 1; 3х = 1 - 4; 3х = -3; х = -3 : 3; х = -1.

Відповідь: (-1; 2).

Відповідь: (1; -1).

Підставимо замість у = -3 в перше рівняння: 5х - 9 = 1; 5х = 10; х = 2.

Відповідь: (2; -3).

Відповідь: (1; 1/5).

у = 1. Підставимо в перше рівняння: 2х + 3 ∙ 1 = 1; 2x = -2; х = -1.

Відповідь: (-1; 1).

a = 34 : 17; a = 2. Підставимо замість a = 2 в перше рівняння: 2 ∙ 2 — 3b = 7; 4 — 3b = 7; -3b = 3; b = -1.

Відповідь: (2; -1).

Відповідь: (3; 2).

Відповідь: (-1/7; 1/2).

y = 41 : 41; y = 1. Підставимо у = 1 в перше рівняння: 3x + 4 ∙ 1 = 10; 3x + 4 = 10; 3x = 10 - 4; 3x = 6; x = 2.

Відповідь: (2; 1).

Підставимо замість x = 2/5 в перше рівняння:

Відповідь: (2/5; 7).

Відповідь: (1; -2).

Відповідь: (0,4; 0,1).

Виразимо x із другого рівняння через у: 4x = -5у + 2; Підставимо у перше рівняння:

Відповідь: (-2; 2).

n = 136,5 : (-91); n = -1,5. Підставимо в рівняння:

-3m — 8n = 9,6; -3m - 8 ∙ (-1,5) = 9,6; -3m + 12 = 9,6; -3m = -2,4; m = -2,4 : (-3); m = 0,8.

Відповідь: (0,8; -1,5).

1070. 1) А(4; -4), В(12; -1) — точки, через які проходить графік рівняння, підставимо у рівняння: у = kx + l.

Віднімемо із другого рівняння перше рівняння:

Відповідь:

2) M(-3; 6), N(9; -2) — координати точок, через які проходить графік рівняння, підставимо у рівняння:

Знайдемо l: l = 6 - 2; l = 4.

Відповідь:

1071. Координати точок (-4; 5) і (12; 1) підставимо у рівняння прямої у = kx + l.

Розв’яжемо систему рівнянь:

Відповідь:

у = 12 : 4; у = 3. Знайдемо х: х + 2 ∙ 3 = 5; х + 6 = 5; х = 5 - 6; х = -1.

Відповідь: (-1; 3).

Відповідь: (3; -2).

Відповідь: (1; -2).

Відповідь: (-2; -8).

Відповідь: система не має розв’язків.

Відповідь: система має безліч розв’язків.

1075. у = -4,5x + 1. Підставимо координати точок у рівняння.

а) А(-2; 10) — належить графіку;

у = -4,5 ∙ (-2) + 1 = 9 + 1 = 10;

б) В(0; -1) — не належить графіку;

у = -4,5 ∙ 0 + 1 = 1;

в) С(4; 17) — не належить графіку;

у = -4,5 ∙ 4 + 17 = -18 + 17 = -1;

г) D(10; -44) — не належить графіку;

у = -4,5 ∙ 10 + 17 = -45 + 17 = -28.

Знайдемо а і b, якщо пара чисел (-2; -3) є розв’язком системи рівнянь

Відповідь: а = -1, b = -5.

1078. Рівність x² + 2018 = у² не виконується, якщо x і у — цілі числа. Значення виразу x² - у² є непарним числом, або числом, кратним 4.

1079. Нехай хлопців у секції x, тоді дівчат у секції (x + 4). Всього тренується x + (x + 4), що за умовою становить 32 спортсмени. Складемо рівняння:

x + x + 4 = 32; 2x = 32 - 4; 2x = 28; x = 28 : 2; x = 14.

У секції 14 хлопців і 18 дівчат.

Відповідь: 14 і 18.

1080. Нехай кухар наліпив x пельменів за першу годину, тоді за другу годину він наліпив (x + 20) пельменів. За дві години кухар наліпив (x + x + 20) пельменів. Рівняння:

x + x + 20 = 200; 2x + 20 = 200; 2x = 200 - 20; 2x = 180; x = 180 : 2; x = 90.

За першу годину кухар наліпив 90 пельменів, а за другу 90 + 20 = 110 пельменів.

Відповідь: 90 і 110.

1081. Нехай один олівець коштує x грн, а один зошит коштує у грн. Складемо систему рівнянь: х = 8,8 - 3у. Підставимо x = 8,8 - 3у у друге рівняння: 3(8,8 - 3у) + у = 7,2; 26,4 — 9y+ у = 7,2; -8у = 7,2 - 26,4; -8у = -19,2; у = -19,2 : (-8); у = 2,4. Один зошит коштує 2,4 грн x = 8,8 - 3 ∙ 2,4 = 8,8 - 7,2 = 1,6 грн коштує олівець.

Відповідь: 1,6 грн, 2,4 грн.

1082. Нехай пішки турист рухався зі швидкістю х км/год, а на велосипеді зі швидкістю у км/год. Складемо систему рівнянь:

Виразимо із першого рівняння у через х і підставимо в друге рівняння:

у = -2х + 18; x + 2(-2х + 18) = 27; х — 4x + 36 = 27; -3х = 27 - 36; -3х = -9; х = -9 : (-3); х = 3.

3 км/год — швидкість туриста, коли він рухався пішки; у = -2 ∙ 3 + 18 = 12 км/год — швидкість на велосипеді.

Відповідь: 3 км/год, 12 км/год.

1083. Нехай у касі було х монет по 25 копійок та (12 - х) монет по 50 коп. Всього було монет на суму: 25 ∙ х + (12 - х) ∙ 50, що становить 4 грн = 400 коп.

Рівняння: 25х + 50(12 - х) = 400; 25х + 600 - 50х = 400; -25х = 400 - 600; -25х = -200; х = 200 : 25; х = 8.

8 монет по 25 коп і 12 - 8 = 4 монети по 50 коп.

Відповідь: 8 монет і 4 монети.

1084. Нехай було придбано х зошитів у клітинку і (16 - х) зошитів у лінійку. Зошити в лінійку коштували 1,8(16 - х) грн, а зошити в клітинку коштували 2,2х грн. Вся покупка коштувала 1,8(16 - х) + 2,2х, що за умовою дорівнює 32 грн 80 коп. Рівняння:

1,8(16 - х) + 2,2х = 32,8; 28,8 - 1,8х + 2,2х = 32,8; -1,8х + 2,2х = 32,8 - 28,8; 0,4х = 4; х = 4 : 0,4; х = 10.

10 зошитів у клітинку і 16 - 10 = 6 зошитів у лінійку.

Відповідь: 10 зошитів і 6 зошитів.

1085. Нехай футбольний м’яч коштує х грн, а волейбольний м’яч коштує у грн. Складемо систему рівнянь:

Виразимо із другого рівняння х через у і підставимо у перше рівняння:

х = 2у - 96; 3 ∙ (2у - 96) + 2у = 544; 6у - 288 + 2у = 544; 6у + 2у = 544 + 288; 8у = 832; у = 832 : 8; у = 104; х = 2 ∙ 104 - 96 = 208 - 96 = 112.

Футбольний м’яч коштує 112 грн, а волейбольний м’яч коштує 104 грн.

Відповідь: 112 грн, 104 грн.

1086. Нехай один акумулятор коштує х грн, а одна батарейка коштує у грн. Складемо систему рівнянь:

2 ∙ 26у + 5у = 85,5; 52у + 5у = 85,5; 57у = 85,5; у = 1,5; х = 26 ∙ 1,5 = 39.

39 грн коштує акумулятор і 1,5 грн коштує батарейка.

Відповідь: 39 грн, 1,5 грн.

1087. Нехай бічна сторона трикутника х см, а основа (х + 2) см. Периметр трикутника (х + х + х + 2) см, що за умовою 26 см. Рівняння:

х + х + х + 2 = 26; 3х = 26 - 2; 3х = 24; х = 24 : 3; х = 8.

Бічні сторони по 8 см, основа 10 см.

Відповідь: 10 см, 8 см, 8 см.

1088. Нехай ширина прямокутника х м, а довжина (х + 8) м, периметр прямокутника: 2х + 2(х + 8), що за умовою становить 56 м. Рівняння:

2х + 2(х + 8) = 56; х + х + 8 = 28; 2х = 28 - 8; 2х = 20; х = 10.

Ширина прямокутника 10 м, довжина 10 + 8 = 18 (м).

Відповідь: 10 м, 18 м.

1089. Нехай власна швидкість човна х км/год, а швидкість течії у км/год. Швидкість за течією (х + у) км/год. Швидкість проти течії (х - у) км/год. Складемо систему рівнянь:

Виразимо у через х із першого рівняння: у = 92 - 5х. Підставимо в друге рівняння:

-х + 9(92 - 5х) = 0; -х + 828 - 45х = 0; -46х = -828; х = 828 : 46; х = 18; у = 92 - 5 ∙ 18 = 92 - 90 = 2.

Власна швидкість човна 18 км/год. Швидкість течії 2 км/год.

1090. Нехай власна швидкість човна у км/год, швидкість течії х км/год. Швидкість човна за течією становить (х + у) км/год, а проти течії (у - х) км/год. Складемо систему рівнянь:

Швидкість течії 3 км/год, швидкість човна 17 км/год.

1091. Нехай швидкість велосипедиста х км/год, а швидкість мотоцикліста у км/год. 3х км проїде до зустрічі велосипедист, 3у км проїде до зустрічі мотоцикліст. 3х + 3y = 168. Швидкість мотоцикліста більше на (у - х) км/год, за 6 годин він проїде 6 ∙ (у - х), що становить 168 км.

42 км/год — швидкість мотоцикліста; 14 км/год — швидкість велосипедиста.

1092. Нехай х — перше число, у — друге число.

Перше число 24. Друге число: у = 62 - 24 = 38.

Відповідь: 24 і 38.

1093. Нехай одне число х, а друге число у. Сума чисел х + у становить 72.

0,2х — 20 % першого числа, 0,1 у — 10 % другого числа. Система рівнянь:

Відповідь: одне число 32, друге — 40.

1094. Нехай матері х років, доньці у років. Разом (х + у) років. Через рік матері (х + 1) рік, доньці (у + 1) рік. Система рівнянь:

Відповідь: 10 років доньці, 32 роки матері.

1095. 1) Сума двох чисел 17, а їх різниця 5. Знайти ці числа.

Перше число 11, а друге число 6.

2) Нехай було куплено 2 альбоми і 3 щоденника за 15 гривень. Скільки коштує альбом і годинник, якщо альбом дорожчий за щоденник на 1 гривню? х грн коштує альбом, у грн коштує щоденник.

Відповідь: 3,6 грн, 2,6 грн.

1096. 1) Сума двох чисел 12, а їх різниця 8. Знайти ці числа.

Нехай одне число x, а друге число у.

Відповідь: 10 і 2.

2) Нехай було куплено 2 щоденники і один альбом за 18 грн. Скільки коштує щоденник і альбом, якщо за 3 щоденника заплатять на 2 гривні більше, ніж за альбом.

х грн коштує щоденник, у грн коштує альбом.

Відповідь: 4 грн, 10 грн.

1097.

Нехай х яблук у ящику, (95 - х) яблук у кошику. Рівняння:

80 яблук було у ящику, 95 - 80 = 15 яблук було у кошику.

Відповідь: 80 яблук, 15 яблук.

1098. Нехай одне число х, а друге (45 - х). 60 % від х становить 0,6x; 75 % від (45 - х) становить 0,75(45 - х). Рівняння:

0,6x = 0,75 ∙ (45 - x); 0,6x = 33,75 - 0,75x; 0,6x + 0,75x = 33,75; 1,35x = 33,75; x = 33,75 : 1,35; x = 25.

Одне число 25, а друге 45 - 25 = 20.

Відповідь: 25 і 20.

1099. Нехай одне число x, а друге число у. За умовою, х + у = 200. дорівнює Система рівнянь:

Одне число 90, а друге 200 - 90 = 110.

Відповідь: 90 і 110.

1100. Нехай цукерок x кг першого виду, а у кг цукерок другого виду, всього цукерок було 25 кг. x + у = 25. Вартість цукерок 45x + 45у або 25 ∙ 48,96.

45x + 45y = 48,96 ∙ 25 = 1224.

Цукерок першого виду 14 кг, а другого виду 25 - 14 = 11 кг.

Відповідь: 11 кг, 14 кг.

1101. Нехай печива першого сорту купили x кг, а печива другого сорту — у кг.

Відповідь: 18 кг, 22 кг.

1102.

Нехай у першому бідону було х л олії, а в другому бідоні (75 - х) л олії.

Відповідь: 30 л і 45 л олії.

1103.

Нехай на першій полиці було х книг, а на другій (57 - х) книг. Рівняння:

(х - 5) ∙ 2 = 57 - х + 5; 2х - 10 = 57 - х + 5; 3х = 57 + 5 + 10; 3х = 72; х = 72 : 3; х = 24.

24 книги було на першій полиці, 57 - 24 = 33 книги було на другій полиці.

Відповідь: 24 книги, 33 книги.

1104. Нехай початкова вартість світильника х грн, а ліхтарика у грн, тоді 5х + 4у = 536. Ліхтарик став коштувати 1,1y грн, а світильник став коштувати 0,85х грн.

0,85х + 1,1 у = 118.

56 грн коштує світильник, а вартість ліхтарика:

Відповідь: 56 грн і 64 грн.

1105. Нехай перший цех виготовив х тортів, а другий цех виготовив у тортів, разом (х + у) тортів, х + у = 300.

Якщо перший цех виготовив 0,55х тортів, другий 0,6y тортів, то перший цех виготовив на (0,55х - 0,6у) тортів більше.

0,55х - 0,6у = 27.

120 тортів виготовив другий цех, а перший цех виготовив 300 - 120 = 180 (тортів).

Відповідь: 120 і 180 тортів.

1106.

Система рівнянь:

Дріб: 5/18.

Відповідь: 5/18.

1107.

Система рівнянь:

Відповідь: дріб 7/10.

1108. Нехай було x г 2 % розчину солі та у г 6 % розчину солі. Разом (x + у) г. х + у = 200. У першому розчині було 0,02X Г солі, у другому розчині — 0,06y г солі.

0,02x + 0,06y = 200 ∙ 0,05; 0,02 + 0,06y = 10.

Система рівнянь:

Було 50 г 2 % -го розчину солі та 150 г 6 %-го розчину солі.

Відповідь: 50 г і 150 г.

1109. Нехай маса першого сплаву x г, а маса другого сплаву у г, усього разом х + у = 260. У першому сплаві 0,09x г цинку, а в другому 0,24y г цинку.

0,09x + 0,24y = 260 ∙ 0,15; 0,09x + 0,24y = 39.

Система рівнянь:

Першого сплаву необхідно взяти 156 г, а другого — 104 г.

1110. Нехай синові x років, а батькові 8x років. Через 24 роки синові (x + 24) роки, а батькові (8x + 24) років.

(x + 24) ∙ 2 = 8x + 14; 2x + 48 = 8x + 24; 2x — 8x = 24 - 48; -6x = -24; x = -24 : (-6); x = 4.

Чотири року тому синові було 4 роки, батькові 32 роки, зараз синові 4 + 4 = 8 (років), а батькові 32 + 4 = 36 (років).

Відповідь: 8 років і 36 років.

1111. — число; (а + b) - сума цифр числа.

Відповідь: 45.

1115. П’ять різних додатних чисел можна розбити на дві групи так, щоб суми чисел у кожній з груп були однаковими, лише одним способом.