Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 9. Трикутник і його елементи

292. На мал. 194 зображені трикутники ABD, ABC, ОВС. Проти кута C в трикутнику АВС лежить сторона АB, в трикутнику DBC — сторона BD. Прилеглими до кута С в трикутнику ABC є сторони АС і ВС, в трикутнику DBC — сторони DC і ВС.

293.

1) Проти кута А лежить сторона ВС, проти кута В лежить сторона АС.

2) Проти сторони AB лежить кут С, проти сторони ВС лежить кут А.

3) До сторони AB прилеглими кутами є ∠A i ∠B.

4) Між сторонами АС і ВС лежить кут С.

294.

Вершини: В, А, С.

295.

Сторони трикутника: DE, EF, FD. Кути трикутника: ∠Е, ∠F, ∠D.

296. Оскільки 13 < 15 + 14, 15 < 14 + 13, 14 < 13 + 15, то нерівність трикутника виконується.

297. 1) ∆BFC. 2) ∆AFB і ∆BFC. 3) ∆АВС, ∆ABD, ∆FBD, ∆DBC. 4) ∆FBC. 5) ∆FBD, ∆CBD, ∆ABD, ∆ABC. 6) ∆AFB.

298.

299. Медіана — CL, бісектриса — BN, висота — AM.

300.

301.

302.

303.

1) Ні, проти сторони PQ лежить кут R.

2) Так.

3) Ні, між сторонами PR і OR лежить кут R.

4) Так.

304. Мал. 199. Із зображених відрізків не можна утворити трикутник, оскільки не виконується нерівність трикутника, бо 6 см = 3 см + 3 см.

Мал. 200. Із зображених відрізків можна утворити трикутник, оскільки виконується нерівність трикутника, бо 6 см < 4 см + 3 см.

305. 1) Так, бо виконується нерівність трикутника, оскільки 4 см < 2 см + 3 см.

2) Ні, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 13 см = 6 см + 7 см.

3) Так, бо виконується нерівність трикутника, оскільки 9 см < 7 см + 8 см.

306. 1) Різносторонній. 2) Рівносторонній, оскільки 0,3 дм = 30 мм = 3 см. 3) Рівнобедрений, оскільки 0,06 дм = 6 мм ≠ 0,1 см.

307.

1) Основа АС, бічні сторони AB і ВС.

2) Основа ВС, бічні сторони AB і АС.

3) Основа АB, бічні сторони АС і ВС.

308. Не можна накреслити рівносторонній трикутник, який не буде рівнобедреним, оскільки у рівностороннього трикутника всі сторони рівні.

309.

310. Оскільки у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, то, щоб знайти сторону рівностороннього трикутника за його периметром, треба периметр поділити на 3.

1) 36 см : 3 = 12 см; 2) 45 см : 3 = 15 см; 3) 72 см : 3 = 24 см.

311. 1) Р = α + 2β = 14 см + 2 х 12 см = 14 см + 24 см = 38 см;

2) P = α + 2β = 16 см + 2 x 17 см = 16 см + 34 см = 50 см;

3) P = α + 2β = 8 см + 2 x 5 см = 8 см + 10 см = 18 см.

312. 1) Прямокутний. 2) Тупокутний. 3) Тупокутний.

313. 1) Прямокутний. 2) Гострокутний. 3) Тупокутний.

314.

315. 1) Катети AB і АС, гіпотенуза BC.

2) Катети AB і ВС, гіпотенуза АС.

3) Катети AB і ВС, гіпотенуза АС.

4) Катети AB i АС, гіпотенуза ВС.

316.

1) AN = BN = AB : 2 = 5 см : 2 = 2,5 см;

AM = CM = AC : 2 = 8 CM ; 2 = 4 см;

BK = CK = BC : 2 = 7 CM : 2 = 3,5 см.

2) AN = BN = 20 : 2 = 10 (см);

AM = CM = BK = CK = 22 : 2 = 11 (см).

3) AN = BN = BK = CK = 10 : 2 = 5 (см);

AM = CM = 16 : 2 = 8 (см).

4) AN = BN = AM = CM = BK = CK = 27 : 2 = 13,5 (см).

317. Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута, а бісектриса кута — це промінь.

318.

319.

Н — точка перетину висот.

320. 1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 1, 2, 3, оскільки не буде виконуватися нерівність трикутника, бо 3k = k + 2k, де 3k, 2k, k — довжини сторін трикутника.

2) Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 3, 4, 5, оскільки виконується нерівність трикутника, бо 6k < 3k + 4k, де 3k, 4k, 6k — довжини сторін трикутника.

3) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 3, 5, 9, оскільки не буде виконуватися нерівність трикутника, бо 9k > 3k + 6k, де 3k, 6k, 9k — довжини сторін трикутника.

321. 1) Якщо сторони трикутника відносяться як 1 : 1 ; 1, то вони рівні. Отже, даний трикутник рівносторонній.

2) Якщо сторони трикутника відносяться як 5 : 12 : 13, то трикутник не має рівних сторін. Отже, даний трикутник різносторонній.

3) Якщо сторони трикутника відносяться як 5 : 5 ; 8, то трикутник має дві рівні сторони. Отже, даний трикутник рівнобедрений.

322. 1) Оскільки α > с і β > с, то α = β, отже, AB — основа рівнобедреного трикутника, ВС і СА — бічні сторони.

2) Оскільки α < β і с < β, то α = с, отже, АС — основа рівнобедреного трикутника, ВА і ВС — бічні сторони.

3) Оскільки α ≠ β і α ≠ с, то β = с, отже, ВС — основа рівнобедреного трикутника, AB і АС — бічні сторони.

323. Оскільки даний трикутник рівнобедрений, то периметр Р = α + 2β, де α — основа, β — бічна сторона.

1) Якщо β = 6 см, то α = Р - 2β = 23 - 12 = 11 (CM).

2) Якщо α = 3 см, то

3) Якщо α = β + 2, то (β + 2) + 2β = 23; 3β = 21; β = 7 (см), а = 7 + 2 = 9 (см).

Відповідь: 1) 11 см; 2) 10 см; 3) 7 см, 7 см, 9 см.

324.

Нехай ∆АВС — рівнобедрений, ∆ADC — рівносторонній.

Оскільки АС = CD = AD, то АС = 30/3 = 10 (см), тоді

Відповідь: 10 см, 13 см, 13 см.

325. 1) Периметр трикутника не може дорівнювати 14 см, бо в такому разі третя сторона дорівнює 14 см — 4 см — 7 см = 3 см, а трикутника зі сторонами 4 см, 7 см, 3 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 7 см = 4 см + 3 см.

2) Периметр трикутника може дорівнювати 21 см, оскільки третя сторона дорівнює 21 см - 7 см - 4 см = 10 см і виконується нерівність трикутника 10 см < 7 см + 4 см.

3) Периметр трикутника не може дорівнювати 31 см, бо в такому разі третя сторона дорівнює 31 см - 7 см — 4 см = 20 см, а трикутника зі сторонами 20 см, 7 см, 4 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 20 см > 7 см + 4 см.

326. Якщо сторона трикутника дорівнює 36 мм, а периметр 70 мм, то сума двох інших сторін дорівнює 70 - 36 = 34 (мм). Тоді за нерівністю трикутника маємо 36 < 34. Оскільки отримана нерівність неправильна, то не існує трикутника зі стороною 36 мм і периметром 70 мм.

327. Нехай α = 10 см, β = 14 см, с = β + 2 = 14 + 2 = 16 (см). Тоді Р = α + β + с = 10 см + 14 см + 16 см = 40 см.

Відповідь: 40 см.

328. Нехай α = х см, тоді β = 2х см, с = 15 см. За умовою задачі маємо рівняння: х + 2х + 15 = 45; 3х = 30; х = 10. Отже, невідомі сторони трикутника 10 см і 20 см.

Відповідь: 10 см, 20 см.

329.

Р_∆ABC =АВ + ВС + АС = 15 см; Р_∆ABM = АВ + ВМ + AM = 11 см; P_∆BCM = ВС + СМ + ВМ = 14 см. Оскільки Р_∆ABM + P_∆BCM = Р_∆ABC + 2ВМ, то маємо: 11 см + 14 см = 15 см = 2ВМ; 2ВМ = 10 см; ВМ = 5 см.

Відповідь: 5 см.

330.

Нехай в рівнобедреному трикутнику ABC (AB = ВС), ВМ — медіана, AM = MC. Тоді Р_∆ABM = AB + ВМ + AM, враховуючи, що AB = ВС, AM = MC, маємо: AB + ВМ + AM = ВС + ВМ + MC = P_∆BCM. Отже, Р_∆ABM = P_∆BCM.

331.

Нехай КМ = 10 см, KL = LM = 13 см. LP — медіана, Р_∆KLP = 30 см. Оскільки КР = 1/2КМ = 1/2 ∙ 10 = 5 (см), Р_∆KLP = KL + LP + KP, 30 = 13 + LP + 5, звідси LP = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

332. 1) Оскільки кути трикутника дорівнюють 1/6, 1/3, 1/2 частинам розгорнутого кута, то вони дорівнюють 1/6 ∙ 180° = 30°, 1/3 ∙ 180° = 60°, 1/2 ∙ 180° = 90°. Отже, трикутник — прямокутний.

2) Оскільки кути трикутника дорівнюють 1/9, 1/3, 5/9 частинам розгорнутого кута, то вони дорівнюють 1/9 ∙ 180° = 20°, 1/3 ∙ 180° = 60°, 5/9 ∙ 180° = 100°. Отже, трикутник — тупокутний.

3) Оскільки кути трикутника дорівнюють 1/3, 2/9, 4/9 частинам розгорнутого кута, то вони дорівнюють 1/3 ∙ 180° = 60°, 2/9 ∙ 180° = 40°, 4/9 ∙ 180° = 80°. Отже, трикутник — гострокутний.

333. 1) Якщо бісектриса трикутника утворює зі стороною кута кут, що дорівнює 25 % розгорнутого кута, то градусна міра цього кута дорівнює 180° х 0,25 = 45°, а кут трикутника дорівнює 2 х 45° = 90°. Отже, трикутник — прямокутний.

2) Якщо бісектриса трикутника утворює зі стороною кута кут, що дорівнює 50 % прямого кута, то градусна міра цього кута дорівнює 90° х 0,5 = 45°, а кут трикутника дорівнює 2 х 45° = 90°. Отже, трикутник — прямокутний.

3) 1) Якщо бісектриса трикутника утворює зі стороною кута кут, що дорівнює 30 % розгорнутого кута, то градусна міра цього кута дорівнює 180° х 0,3 = 54°, а кут трикутника дорівнює 2 х 54° = 108°. Отже, трикутник — тупокутний,

4) Якщо бісектриса трикутника утворює зі стороною кута кут, що дорівнює 60 % прямого кута, то градусна міра цього кута дорівнює 90° х 0,6 = 54°, а кут трикутника дорівнює 2 х 54° = 108°. Отже, трикутник — тупокутний.

334. 1) Так.

2)

3) Ні. Трикутник буде прямокутний.

335. 1) Третьою стороною не може бути сторона, що дорівнює 5 см, оскільки тоді не буде виконуватись нерівність трикутника, бо 12 см > 5 см + 5 см. Третьою стороною може бути сторона, що дорівнює 12 см, оскільки виконується нерівність трикутника, бо 12 см< 12 см + 5 см. Отже, третя сторона — 12 см.

2) Третьою стороною не може бути сторона, що дорівнює 6 см, оскільки тоді не буде виконуватись нерівність трикутника, бо 15 см > 6 см + 6 см. Третьою стороною може бути сторона, що дорівнює 15 см, оскільки виконується нерівність трикутника, бо 15 см < 15 см + 6 см. Отже, третя сторона — 15 см.

3) Третьою стороною не може бути сторона, що дорівнює 7 см, оскільки тоді не буде виконуватись нерівність трикутника, бо 14 см > 7 см + 7 см. Третьою стороною може бути сторона, що дорівнює 14 см, оскільки виконується нерівність трикутника, бо 14 см < 14 см + 7 см. Отже, третя сторона — 14 см.

Відповідь: 1) 12 см; 2) 15 см; 3) 14 см.

336. Нехай α — основа рівнобедреного трикутника, тоді бічна сторона — β = αn, периметр P = α + 2β = α + 2αn. Звідси

1) Якщо n = 2, Р = 50 см, то Отже, сторони трикутника дорівнюють 10 см, 20 см, 20 см.

2) Якщо n = 3, Р = 35 см, то Отже, сторони трикутника дорівнюють 5 см, 15 см, 15 см.

3) Якщо n = 4, Р = 63 см, то Отже, сторони трикутника дорівнюють 7 см, 28 см, 28 см.

Відповідь: 1)10 см, 20 см, 20 см; 2) 5 см, 15 см, 15 см; 3) 7 см, 28 см, 28 см.

337. Друга сторона трикутника дорівнює 7 x 2 = 14 (см), третя сторона дорівнює 14 - 4 = 10 (см). Отже, периметр трикутника дорівнює 7 см + 14 см + 10 см = 31 см.

Відповідь: 31 см.

338. Нехай α, β і с — сторони трикутника, тоді α + β = 20 см, β + с = 22 см, α + с = 28 см. Додамо почленно три останні рівності α + β + β + c + α + c = 20 + 22 + 28; 2(α + β + с) = 70; α + β+ c = 70 : 2 = 35 (см).

Відповідь: 35 см.

339. CM — медіана, Р_∆ACM = P_∆CMB. Оскільки Р_∆ACM =АС + СМ + АМ, P_∆CMB = ВС + CM + MB і ці периметри рівні, то АС + CM +АМ — ВС + CM + MB. Враховуючи, що АМ = МВ, маємо АС = ВС. Отже, ∆ABC — рівнобедрений.

340. 1)

2)

341.

Основа висоти ділить гіпотенузу AB на відрізки, що відносяться як α² : β², починаючи від вершини В, отже, ці відрізки відповідно дорівнюють

1) Якщо α = 6 см, β = 8 см, с = 10 см, тоді

2) Якщо α = 7 см, β = 24 см, с = 25 см, тоді

3) Якщо α = 5 см, β = 12 см, с = 13 см, тоді

Відповідь: 1) 4,8 см; 2) 37,08 см; 3) 16 ∙ 2/3 см.