Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 8. Властивості паралельних прямих

260. На мал. 167 внутрішні односторонні кути позначено правильно, оскільки 139° + 41° = 180° і а || b. На мал. 168 внутрішні односторонні кути позначено неправильно, оскільки 135° + 35° ≠ 180°, а а || b.

261. На мал. 169 внутрішні різносторонні кути позначено неправильно, оскільки 24° ≠ 41°, а n || m. На мал. 170 внутрішні різносторонні кути позначено правильно, оскільки 135° = 135° і n ||m.

262. На мал. 171 відповідні кути позначено правильно, оскільки 65° = 65° і х || y. На мал. 172 відповідні кути позначено неправильно, оскільки 95° ≠ 100°, а у || х.

263.

264.

Оскільки а || b, то ∠1 = 55° (як відповідні кути при паралельних прямих). ∠3 = 55° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих). ∠2 = 180° - 55° = 180° - 55° (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих).

265. 1) 180° - 137° = 43°;

2) 180° - 54° = 126°;

3) 180° - 162° = 18°;

4) 180° - 23° = 157°.

Відповідь: 1) 43°; 2) 126°; 3) 18°; 4) 157°.

266. Мал. 174. α + α + 20° = 180°; 2α + 20° = 180°; 2α = 160°; α = 80°. Отже, внутрішні односторонні кути дорівнюють 80° і 80° + 20° = 100°.

Мал. 175. β + 3β = 180°; 4β = 180°; β = 45°. Отже, внутрішні односторонні кути дорівнюють 45° і 45° х 3 = 135°.

Відповідь: 1) 80° і 100°; 2) 45° і 135°.

267. 1) Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнює 180°, то гострий кут дорівнює (180° - 30°) : 2 = 75°, а тупий 180° - 75° = 105°.

2) Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнює 180°, то гострий кут дорівнює 180° : 6 х 1 = 30°, а тупий 180° : 6 x 5 = 150°.

3) Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнює 180°, то гострий кут дорівнює 180° : 3 = 60°, а тупий — 180° : 3 х 2 = 120°.

Відповідь: 1) 75° і 105°; 2) 30° і 150°; 3) 60° і 120°.

268. Оскільки внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній рівні, то, щоб знайти ці кути за їх сумою, треба суму розділити пополам.

1) 107° : 2 = 53°30';

2) 94° : 2 = 47°;

3) 132° : 2 = 66°;

4) 43° : 2 = 21°30’.

Відповідь: 1) 53°30’; 2) 47°; 3) 66°; 4) 21°30'.

269. 1)

Так, α < 90°

2)

Так, α = 90°

3)

Так 90° < α < 180°

270. Оскільки відповідні кути при паралельних прямих і січній рівні, то щоб знайти відповідні кути за їх су мою, треба суму розділити пополам.

1) 137° : 2 = 68°30';

2) 54° : 2 = 27°;

3) 162° : 2 = 81°;

4) 23° : 2 = 11°30’.

Відповідь: 1) 68°30'; 2) 27°; 3) 81°; 4) 11°30’.

271. 1)

Так, α < 90°

2)

Так, α = 90°

3)

Так, 90° < α < 180°

272. Ні, неправильно. Сума внутрішніх односторонніх кутів має бути 180°. Тоді кут, утворений прямими a та с є внутрішнім одностороннім з кутом в 60°, утвореним прямими а та d, має дорівнювати 120°. Але він як вертикальний із зовнішнім кутом у 160°, який утворили прямі а та с, має дорівнювати 160°. 120° ≠ 160°.

273.

274. 1) Гострий кут дорівнює (180° - 30°) : 2 = 75°, а тупий кут дорівнює 180° - 75° = 105°.

2) Гострий кут дорівнює (180° - 105°) : 2 = 37°30', а тупий кут дорівнює 180° - 37°30' = 142°30'.

3) Гострий кут дорівнює (180° - 67°) : 2 = 56°30', а тупий кут дорівнює 180° - 56°30' = 123°30'.

4) Оскільки внутрішні односторонні кути рівні, то вони прямі: 180° : 2 = 90°.

Відповідь: 1) 75° і 105°; 2) 37°30' і 142°30'; 3) 56°30' і 123°30'; 4) 90° і 90°.

275. Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. α + β = 180°.

Відповідь: 1) 162° і 18°; 2) 15° і 165°; 3) 90° і 90°; 4) 170° і 10°.

276. Аналогічно завданню 275.

277. Нехай α і β — внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180°.

Відповідь: 1) 135° і 45°; 2) 72° і 108°; 3) 100° і 80°; 4) 96° і 84°.

278. Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. Знайдемо ці кути, якщо відомо відношення їх градусних мір.

1) Нехай один з кутів становить α°, тоді другий — 0,2α°. Складемо рівняння: α + 0,2а = 180; 1,2α = 180; α = 150°; 0,2α = 30°.

2) Нехай один з кутів становить α°, тоді другий — 0,6α°. Складемо рівняння: α + 0,6а = 180; 1,6α = 180°; α = 112°30'; 0,6α = 67°30'.

3) Нехай один з кутів становить α°, тоді другий — 0,8α°. Складемо рівняння: α + 0,8а = 180; 1,8α = 180°; α = 100°; 0,8α = 80°.

4) Нехай один з кутів становить α°, тоді другий — 0,25α°. Складемо рівняння: α + 0,25а = 180; 1,25α = 180°; α = 144°; 0,25α = 36°.

Відповідь: 1) 150° і 30°; 2) 112°30' і 67°30’; 3) 100° і 80°; 4) 144° і 36°.

279. Оскільки AB || CD, то α = 36° (бо кути α і 36° — внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB і CD і січній DB), γ = 72° (бо кут γ і 72° — внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB і CD і січній DA). Тоді β = 180° - α - γ = 180° - 36° - 72° = 72°.

Відповідь: β = 36°, β = 72°, γ = 72°.

280.

Оскільки а || b, то ∠1 і ∠2 — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а і b і січній с, тоді ∠1 + ∠2 = 180°.

Оскільки а || b, то ∠3 і ∠4 — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а і b і січній d, тоді ∠3 + ∠4 = 180°.

Отже, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.

281.

282.

Нехай AB || CD, тоді ∠BEK + ∠DKE = 180°. EF — бісектриса ∠BEK, ∠BEF = ∠KEF. KE — бісектриса кута DKE, ∠DKF = ∠FCE. ∠FKE + ∠KEF = 180°/2 = 90°.

Розглянемо дві прямі EF і KF та січну ЕК, ∠FKE i ∠KEF — внутрішні односторонні кути. Оскільки ∠FKE + ∠KEF = 90°, то прямі EF і KF перетинаються.

283. 1) Оскільки α/β < 1, α < β, то α — гострий кут.

2) Оскільки α/β > 1, α > β, то β — гострий кут.

3) Оскільки β/α < 1, ß < α, то β — гострий кут.

4) Оскільки β/α > 1, β > α, то α — гострий кут.

284. Нехай α і β — внутрішні односторонні кути. Знайдемо різницю між сумою цих кутів та їх різницю: α + β - (α - β) = α + β - α + β = 2β. Отже, різниця між сумою і різницею цих кутів дорівнює подвоєному одному куту.

1) Якщо різниця дорівнює 20°, то один із кутів дорівнює 20° : 2 = 10°, другий 180° - 10° = 170°.

2) Якщо різниця дорівнює 105°, то один із кутів дорівнює 105°: 2 = 52°30', другий 180° - 52°30' = 127°30'.

3) Якщо різниця дорівнює 49°, то один із кутів дорівнює 49° : 2 = 24°30’ другий 180° - 24°30' = 155°30'.

4) Якщо різниця дорівнює 123°, то один із кутів дорівнює 123° : 2 = 61°30’, другий 180° - 61°30' = 118°30’.

Відповідь: 1) 10° і 170°; 2) 52°30' і 127°30'; 3) 24°30' і 155°30'; 4) 61°30' і 118°30'.

285. Нехай α і β — внутрішні односторонні кути, тоді різниця цих кутів дорівнює α - β, а сума α + β = 180°.

1) Оскільки то α - β = 120°, α = β + 120°, тоді β + β + 120° = 180°, 2β = 60°, β = 30°, тоді α = 180° - 30° = 150°. Отже, шукані кути 30° і 150°.

2) Оскільки то α - β = 135°, α = β + 135°, тоді β + β + 135° = 180°, 2β + 135° = 180°, 2β = 45°, β = 22°30’, тоді α = 180° - 22°30' = 157°30’. Отже, шукані кути дорівнюють 22°30' і 157°30’.

3) Оскільки то α — β = 144°, α = β + 144°, тоді β + β + 144° = 180°, 2β= 180° - 144°, 2β = 36°, β = 36° : 2 = 18°, тоді α = 180° - 18° = 162°. Отже, шукані кути дорівнюють 18° і 162°.

4) Оскільки То α - β = 150°, α = β + 150°, тоді β + β + 150° = 180°, 2β = 180° - 150° = 30°, β = 15°, тоді α = 180° - 15° = 165°. Отже, шукані кути дорівнюють 15° і 165°.

Відповідь: 1) 30° і 150°; 2) 22°30' і 157°30'; 3) 18° і 162°; 4) 15° і 165°.

286. 1) Нехай α і β — шукані внутрішні односторонні кути, тоді за умовою задачі α - (α - β) = 30° або β - (α - β) = 30°. Якщо α - (α - β) = 30°, тоді α - α + β = 30°. Отже, шукані кути 30° і 180° - 30° = 150°.

Якщо β - (α - β) — 30°, тоді β - α + β = 30°, α = 2β - 30°. Оскільки α + β = 180°, то 2β - 30° + β = 180°, 3β = 210°, β = 70°. Отже, шукані кути 70° і 180° - 70° = 110°.

2) Оскільки середнє арифметичне двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 90°, то один із кутів дорівнює 90° + 30° = 120°, другий 90° - 30° = 60.

3) Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то 25% суми цих кутів дорівнює 180° х 0,25 = 45°, тоді один із кутів дорівнює 45° + 30° = 75°, другий 180° - 75° = 105°.

4) Нехай α і β — внутрішні односторонні кути, тоді за умовою задачі маємо або

Якщо то 2α - 3α + 3β = 60°, 3β - α = 60°, α = 3β - 60°. Оскільки α + β = 180°, то 3β - 60° + β = 180°, 4β = 240°, β = 60°. Отже, шукані кути дорівнюють 60° і 180° - 60° = 120°.

Якщо то 2β - 3α + 3β = 60°, 5β - 3α = 60°, Оскільки α + β = 180°, то 5α + 3α + 60° = 900°, 8α = 840°, α = 105°. Отже, шукані кути 105° і 180° - 105° = 75°.

Відповідь: 1) 30° і 150° або 70° і 110°; 2) 120° і 60°; 3) 72° і 105°; 4) 60° і 120° або 105° і 75°.

287.

Оскільки с || d, то ∠KBA = ∠BAC (як внутрішні різносторонні кути). Оскільки ВС і AD — бісектриси цих кутів, то ∠CBA = ∠DAB (як половини рівних кутів).

Розглянемо прямі ВС і AD і січну AB: ∠CBA і ∠DAB — внутрішні різносторонні кути і рівні, отже, ВС || AD. Отже, бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній паралельні.

288.

Оскільки α || β, то ∠MAK = ∠ABL як відповідні кути. АС — бісектриса ∠MAK, BD — бісектриса ∠ABL. ∠ABD = ∠MAC — як половини рівних кутів. Розглянемо прямі АС і BD і січну AB: ∠MAC і ∠ABDвідповідні кути і рівні, отже, АС || BD. Отже, бісектриси двох відповідних кутів при паралельних прямих і січній не перетинаються.

289. 1)

Нехай a || b, АС і BD — бісектриси внутрішніх різносторонніх кутів, KL ⊥ BD, MN ⊥ АС. Згідно із задачею 287 маємо АС || BD. Оскільки KL ⊥ BD і BD || АС, то згідно з наслідком 3 теореми про властивість паралельних прямих, маємо KL ⊥ AC.

Оскільки KL ⊥ АС, MN ⊥ АС, то згідно з наслідком 3 ознаки паралельних прямих, маємо KL || MN. Отже, прямі, які перпендикулярні до бісектрис двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній, паралельні.

2)

Нехай а || b, AD і ВС — бісектриси відповідних кутів, KL ⊥ AD, MN ⊥ ВС. Згідно із задачею 288 маємо AD || ВС. Оскільки KL ⊥ AD i AD || ВС, то KL ⊥ BC.

Оскільки KL ⊥ ВС, MN ⊥ ВС, то KL || МN. Отже, прямі, які перпендикулярні до бісектрис двох відповідних кутів при паралельних прямих і січній, паралельні.

290.

Оскільки а ⊥ с і d ⊥ с, то d || а (згідно з наслідком 3 ознаки паралельності прямих). Оскільки с ⊥ а, b ⊥ а, то b || с (згідно з наслідком 3 ознаки паралельності прямих). Нехай довільна пряма lпроходить через точку перетину прямих b I d. Доведемо, що l не може бути паралельною ні до а, ні до с.

Припустимо, що l || а, тоді через точку А проходить дві прямі d i l, які паралельні прямій а, що суперечить аксіомі паралельних прямих. Отже, припущення невірне, а правильно, що l перетинає а.

Припустимо, що l || с, тоді через точку А проходить дві прямі l i b, які паралельні с, що суперечить аксіомі паралельних прямих. Отже, припущення неправильне, а правильне, що l перетинає пряму с. Отже, пряма l перетинає і пряму а, і пряму с.

291.

Прямі АР₁, СР₃ і ВР₂ — паралельні. Тоді ∠LCB = ∠CBP₂, ∠LCA = ∠CAP₁ (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній). Тоді ∠ACB = ∠LCB + ∠LCA = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

Текстові завдання

№ 1.1. В. 2. Г. 3. А. 4. Г. 5. В.

№ 2.1. Б. 2. Б, Г. 3. В. 4. А. 5. Б.