Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 10. Властивості кутів трикутника

344.

∠E = 60°, ∠F = 40°, ∠D = 80°.

∠E + ∠F + ∠D = 60° + 40° + 80° = 180°.

345. На мал. 208 неправильно сказано градусну міру кутів ∆АВС, оскільки ∆ABC — прямокутний, a ∠B + ∠C = 40° + 40° = 80° ≠ 90° (так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

346. Розгорнутий кут ABC утворюють кути ABM, МВО, ОВС. ∠BOM = ∠MBA = 20°, ∠BOM = ∠OBC = 60°. ∠MBO + ∠BOM + ∠OMB = 100° + 60° + 20° = 180°.

347. Зовнішні кути; ∠PCA і ∠DCB.

348.

349. Мал. 211. ∠B = 180° - ∠А - ∠С = 180° - 70° - 55° = 55°.

Мал. 212. ∠B = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°.

350. 1) 180° - 20° - 40° = 120°;

2) 180° - 100° - 30° = 50°;

3) 180° - 80° - 60° = 40°.

351. 1) Оскільки 70° + 51° + 58° = 179° ≠ 180°, то кути трикутника не можуть дорівнювати 70°, 51°, 58°.

2) Оскільки 42° + 89° + 49° = 180°, то кути трикутника можуть дорівнювати 42°, 89°, 49°.

3) Оскільки 65° + 75° + 41° = 181° ≠ 180°, то кути трикутника не можуть дорівнювати 65°, 75°, 41°.

352. 1) 30° + n + n + 30° = 180°, 2n = 120°, n = 60°. Отже, ∠B = 60°, ∠С = 90°.

2) n + 2n + 72° = 180°, 3n = 108°, n = 36°. Отже, ∠А = 36°, ∠B = 72°.

3) 120° + n + 30° + n = 180°, 2n = 30°, n = 15°. Отже, ∠B = 45°, ∠C = 15°.

353. 1) Трикутник не може мати два прямих кути, оскільки сума трьох кутів була б більша за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

2) Трикутник не може мати два тупих кути, оскільки сума трьох кутів була б більша за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

3) Трикутник не може мати тупий і прямий кут, оскільки сума трьох кутів була б більша за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

354. 1) Кожний кут трикутника не може бути меншим від 60°, оскільки б тоді сума кутів трикутника була б меншою від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

2) Кожний кут трикутника не може бути більшим за 60°, оскільки б тоді сума кутів трикутника була б більшою за 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

355. 1) Третій кут трикутника дорівнює 180° - 30° - 60° = 90°. Отже, гострокутний трикутник не може мати кути 30° і 60°.

2) Третій кут трикутника дорівнює 180° - 25° - 55° = 100°. Отже, гострокутний трикутник не може мати кути 25° і 55°.

3) Третій кут трикутника дорівнює 180° - 43° - 52° = 85°. Отже, гострокутний трикутник може мати кути 43° і 52°.

356. Оскільки сума гострих кутів трикутника дорівнює 90°, то невідомий гострий кут дорівнює: 1) 90° - 52° = 38°; 2) 90° - 24° = 66°; 3) 90° - 65° = 25°.

Відповідь: 1) 38°; 2) 66°; 3) 25°.

357. 1) Якщо один із кутів трикутника дорівнює сумі двох інших кутів, то трикутник прямокутний, оскільки кут дорівнює 180° : 2 = 90°.

2) Якщо α > β + γ, тo 2α > α + β + γ = 180°. Отже, 2α > 180°, α > 90°. Отже, трикутник— тупокутний.

358. 1) Третій кут трикутника дорівнює 180° - 40° - 50° = 90°. Отже, трикутник — прямокутний.

2) Третій кут трикутника дорівнює 180° - 25° - 35° = 120°. Отже, трикутник — тупокутний.

3) Третій кут трикутника дорівнює 180° - 80° - 40° = 60°. Отже, трикутник — гострокутний.

359.

Нехай у трикутників ABC і KLM ∠А = ∠К = α, ∠B = ∠L = β. Доведемо, що ∠С = ∠M. Оскільки ∠С = 180° - ∠А - ∠В = 180° - α - β, ∠M = 180° - ∠K - ∠L = 180° - α - β. Отже, ∠С = ∠M.

360. Зовнішній кут при вершині М трикутника KLM дорівнює 180° - 50° = 130°.

361. 1) 180° - ∠A = 180° - 57° = 123°;

2) 180° - ∠B = 180° - 34° = 146°;

3) 180° - ∠C = 180° - 76° = 104°;.

362. Зовнішній кут при вершині К трикутника NOK дорівнює 80° + 60° = 140°.

363.

364. У трикутника шість зовнішніх кутів.

365. 1) Оскільки кути трикутника пропорційні числам 1, 2, 3, маємо:

Отже, кути трикутника дорівнюють 30°, 60°, 90°.

2) Оскільки кути трикутника пропорційні числам 4, 5, 6, маємо:

Отже, кути трикутника дорівнюють 48°, 50°, 72°.

3) Оскільки кути трикутника пропорційні числам 5, 5, 8, маємо:

Отже, кути трикутника дорівнюють 50°, 50°, 80°.

Відповідь: 1) 30°, 60°, 90°; 2) 48°, 60°, 72°; 3) 50°, 50°, 80°.

366.

1) Нехай β = 2α, тоді, оскільки α + β = 90°, маємо: α + 2α = 90°, 3α = 90°, α = 30°, β = 2 x 30° = 60°.

2) Нехай α = β - 20°, тоді, оскільки α + β = 90°, маємо: β - 20° + β = 90°, 2β = 110°, β = 55°, α = 55° - 20° = 35°.

3) Нехай α = 2m, β = 3m, тоді, оскільки α + β = 90°, маємо: 2m + 3m = 90°, 5m = 90°, n = 18°. Отже, α = 18° x 2 = 36°, β = 18° x 3 = 54°.

Відповідь: 1)30°, 60°; 2) 35°, 55°; 3) 36°, 54°.

367. Мал. 215. Оскільки BD || AC, то ∠ACB = ∠CBD — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BD і АС і січній ВС. ∠A + ∠B + ∠С = ∠A + ∠ABC + ∠CBD = ∠A + ∠ABD = 180°, оскільки ∠A і ∠ABD — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих BD і АС і січній AB. Отже, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Мал. 216. Оскільки AE || BD, то ∠EAB = ∠DBA — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АЕ і BD і січній AB. Оскільки BD || CF, то ∠DBC = ∠FCB — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BD i CF i січній ВС. Тоді ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠ABD + ∠DBC + ∠BAC + ∠ACB = ∠EAB + ∠FCB + ∠BAC + ∠ACB = (∠EAB + ∠BAC) + (∠FCB + ∠ACB) = ∠EAC + ∠ACD = 180° (оскільки кути EAC і ACD — внутрішні односторонні при паралельних прямих АЕ і FC і січній AС, то ∠EAC + ∠ACD = 180°).

368. Нехай в прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = γ, α + β = 90°. ∠MAB = ∠CAB : 2 = α/2, ∠MBA = ∠ABC : 2 = β/2.

Тоді

Відповідь: 135°.

369.

Нехай ∠A = 64°, ∠B = 106°. Оскільки AM і ВК — бісектриси кутів ∠A і ∠B, то

З ∆АВО: ∠AOB = 180° - 32° - 53° = 95°.

Відповідь: 95°.

370.

Нехай а || b, тоді ∠BAC + ∠ABD = 180° — як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а і b і січній AB. АО — бісектриса кута ВАС, ∠BAO = 1/2∠BAC. BO — бісектриса кута ABD, ∠ABO = 1/2∠ABD.

Відповідь: 90°.

371.

З прямокутного ∆DBC:

∠DBC = 90° - 40° = 50°.

∠ADB = 90° - 50° = 40°.

Відповідь: 40°.

372.

Нехай ∠ABD = ∠CBD = 90°/2 = 45.

З прямокутного ∆BCD маємо:

∠BCD = 90° - ∠CBD = 90° - 45° = 45°.

З прямокутного ∆ABD маємо:

∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 45° = 45°.

373.

З прямокутного ∆АВН:

∠A = 90° - ∠ABH = 90° - 30° = 60°.

3 прямокутного ∆HBC:

∠C = 90° - ∠HBC = 90° - 40° = 50°.

∠B = ∠ABH + ∠HBC = 30° + 40° = 70°.

Отже, кути трикутника дорівнюють 60°, 50°, 70°.

Відповідь: 60°, 50°, 70°.

374.

З прямокутного ∆АВD:

∠ABD = 90° - ∠A = 90° - 75° = 15°.

З прямокутного ∆DBC:

∠DBC = 90° - ∠C = 90° - 35° = 55°.

Відповідь: 15°, 55°.

375.

Нехай у прямокутному ∆ABC (∠A = 90°) ∠C = 80°, AH — висота, AL — бісектриса кута A, ∠BAL = ∠CAL = 90° : 2 = 45°.

З прямокутного ∆АНС:

∠HAC = 90° - 80° = 10°.

Тоді ∠LAH = ∠CAL - ∠HAC = 45° - 10° = 35°.

Відповідь: 35°.

376.

Нехай у прямокутному ∆ABC (∠A = 90°) AH ⊥ CD, AL — бісектриса,

∠CAL = ∠BAL = 90°/2 = 45°. ∠LAH = 30°.

∠HAB = ∠BAL - ∠LAH = 45° - 30° = 15°.

З прямокутного ∆AHB: ∠B = 90° - ∠HAB = 90° - 15° = 75°.

∠CAH = ∠CAL + ∠LAH = 45° + 30° = 75°.

З прямокутного ∆CAH: ∠C = 90° - ∠CAH = 90° - 75° = 15°.

Відповідь: 15°, 75°.

377. Мал. 217.

∠1 = 180° - 140°= 40°, ∠2 = 180° - 70° = 110°, ∠3 = 140° - ∠2 = 140° - 110° = 30°.

Мал. 218.

∠3 = 180° - 120° = 60°, ∠2 = 120° - 50° = 70°, ∠1 = ∠B + ∠3 = 50° + 60° = 110°.

Відповідь: 60°, 70°, 110°.

378. 1)

∠B = 180° - 100° = 80°, ∠C = 180° - 40° - 80° = 60°. Отже, кути трикутника дорівнюють 40°, 80°, 60°.

2)

∠B = 180° - 100° = 80°, ∠C = 180° - 55° - 80° = 45°. Отже, кути трикутника дорівнюють 55°, 80°, 45°.

3)

∠B = 180° - 100° = 80°, ∠C = 100° - 30° = 70°. Отже, кути трикутника дорівнюють 30°, 80°, 70°.

Відповідь: 1) 40°, 80°, 60°; 2) 55°, 80°, 45°; 3) 30°, 80°, 70°.

379. 1)

∠A = 120° - 90° = 30°,

∠C = 180° - 120° = 60°.

2)

∠A = 132° - 90° = 42°,

∠C = 180° - 132° = 48°.

3)

∠A = 180° - 144° = 36°,

∠C = 144° - 90° = 54°.

380. Оскільки зовнішній кут дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним, то розділимо 80° пропорційно числам З і 5 і знайдемо кути трикутника: Знайдемо третій кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом: 180° - 80° = 100°.

Відповідь: 30°, 50°, 100°.

381. Якщо один із зовнішніх кутів гострий, то суміжний з ним внутрішній кут, — тупий, а два інші кути трикутника — гострі, отже, два інших зовнішніх кути будуть тупими.

382. 1) Якщо один із зовнішніх кутів дорівнює 90°, то кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом, теж буде прямим. Отже, трикутник — прямокутний.

2) Якщо один із зовнішніх кутів дорівнює 32°, то кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом, дорівнює 180° - 32° = 148°. Отже, трикутник — тупокутний.

3) Якщо один із зовнішніх кутів дорівнює 89°, то кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом, дорівнює 180° - 88° = 91°. Отже, трикутник — тупокутний.

383. Якщо зовнішній кут трикутника дорівнює 70°, то кожний кут трикутника, не суміжний з ним, повинен бути меншим 70°, тому:

1) не може, бо 85° > 70°;

2) може, бо 55° < 70°;

3) може, бо 69° < 70°.

384.

∠BCD = 128°, ∠BAC = 90°, AH ⊥ BD,AL — бісектриса кута A, ∠BAL = ∠CAL = 45°. Оскільки ∠BCD = 128°, то ∠ACB = 180° - 128° = 52°.

З ∆АНС: ∠HAC = 90° - 52° = 38°, тоді ∠LAH = ∠CAL - ∠HAC = 45° - 38° = 7°.

Відповідь: 7°.

385.

Нехай ∠ABC = 60°, АР — бісектриса кута А, СК — бісектриса кута С.

∠BAP = ∠CAP, ∠ACK = ∠BCK. Тоді

Знайдемо гострий кут між бісектрисами АР і КС: ∠KOA = 180° - 120° = 60°.

Відповідь: 60°.

386.

Нехай СК — бісектриса кута С. ∠ACK = ∠BCK, BL — бісектриса кута В, ∠ABL = ∠CBL. ∠BOC = 128°.

∠OBC + ∠OCB = 180° - 128° = 52°, тоді ∠B + ∠C = 2 х 52° = 104°. Отже. ∠A = 180° - 104° = 76°.

Відповідь: 76°.

387.

∠B = 180° - 70° - 60° = 50°, ∠ABD = ∠CBD = 50° : 2 = 25° (оскільки BD — бісектриса кута В).

З ∆ABD: ∠ADB = 180° - 70° - 25° = 85°. Отже, кути трикутника ABD: 70°, 25°, 85°.

З ∆BDC: ∠BDC = 180° - 60° - 25° = 95°. Отже, кути трикутника DBC: 60°, 25°, 95°.

Відповідь: 70°, 25°, 85° і 60°, 25°, 95°.

388.

AD ⊥ ВС, ∠C = 50°, ∠B = 110°, ∠DBA — суміжний з кутом В, ∠DBA = 180° - 110° = 70°.

З ∆DBA: ∠DAB - 90° - 70° = 20°. З ∆CDA: ∠CAD = 90° - ∠C = 90° - 50° = 40°.

Отже, ∠CAD = 2∠BAD.

389. 1)

Нехай ВН ⊥ АС, BL — бісектриса.

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 80° - 56° = 44°, тоді ∠ABL = ∠CBL = 44° : 2 = 22°.

Із ∆АВН: ∠ABH = 90° - 80° = 10°. Тоді ∠HBL = ∠ABL - ∠ABH = 22° - 10° = 12°.

2)

Нехай ВН ⊥ AC, BL — бісектриса кута В. ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°.

Із ∆СВН: ∠CBH = 90° - 80° = 10°.

∠HBL = ∠CBL - ∠CBH = 1/2∠B- ∠CBH = 30° - 10° = 20°.

3)

Нехай ВН ⊥ AC, BL — бісектриса кута В. ∠A= 180° - 80° - 70° = 30°.

Із ∆АВН: ∠ABH = 90° - 30° = 60°.

∠LBH = ∠ABH - ∠ABL = 60° - 1/2 ∙ 80° = 60° - 40° = 20°.

Відповідь: 1) 12°; 2) 20°; 3) 20°.

390.

Нехай KM || АС, LM ⊥ CB, KL || AB. ∠A = 35°, ∠B = 62°, тоді ∠C = 180° - 35° - 62° = 83°. ∠KBC = 83° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих КМ і СА і січній CB). ∠MBA = 35° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих КМ і СА і січній AB). ∠KCB = 62° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих KL і ВА і січній CB), ∠ACL = ∠BAC = 35° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих KL і ВА і січній СА). Аналогічно ∠CAL = 83°, ∠BAH = 62°, ∠K = 180° - 83° - 62° = 35°, ∠M = 180° - 35° - 62° = 83°, ∠B = 180° - 35° - 83° = 62°.

391. Існує, наприклад прямокутний трикутник з кутами 90°, 60°, 30°, у якому 30° = 90° - 60°.

392.

∠1 = 180° - ∠A, ∠2 = 180° = ∠A, ∠3 = 180° - ∠B, ∠4 = 180° - ∠B, ∠5 = 180° - ∠C, ∠6 = 180° - ∠C.

Додамо почленно всі шість рівностей, матимемо: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180° х 6 х 2(∠A + ∠B + ∠C) = 180° х 6 - 2 х 180° = 4 х 180°. Отже, оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то сума суміжних кутів трикутника в чотири рази більше суми кутів трикутника.

393.

Оскільки зовнішній кут більший від кута трикутника, не суміжного з ним, то ∠BAC ≠ ∠BCK і тоді половини цих кутів теж нерівні, тобто ∠LАС ≠ ∠DCK. Оскільки ∠LAC і ∠DCK — відповідні кути при прямих АА і DC і січній АС і вони нерівні, то прямі AL і DC не паралельні.

Застосуйте на практиці

394.

Побудуємо зовнішній кут трикутника, не суміжний з тими кутами, суму яких треба знайти ∠DCB = ∠A + ∠B.

395. Оскільки в ∆АВС ∠C = 45°, ∠B = 90° - 45° = 45°, тобто ∆АВС — рівнобедрений, то AB = АС.

396. Оскільки в ∆АВС ∠A = 45°, ∠B = 90° - 45° = 45°, тобто ∆АВС — рівнобедрений, то АС = AB.