Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

176. Якщо три точки лежать на прямій, вони не можуть бути вершинами трикутника.

177.

а) Кути прилеглі до сторони МР: ∠KMP і ∠KPM;

б) ∠KMP — протилежний стороні KP;

в) сторона протилежна куту K — МР;

в) сторони прилеглі до кута Р — KP і РМ.

178. Якщо два трикутники рівні, то їх периметри рівні.

179. Якщо периметри рівні, то трикутники не обов’язково рівні.

180.

∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

а) ∆САВ = ∆С₁А₁В₁, так; б) ∆АВС = ∆А₁С₁В₁, ні, не обов’язково.

181. ∆АВС = ∆DEF.

1) 3 кутом Е суміститься ∠B;

2) зі стороною АС суміститься сторона DF;

3) ∠C = ∠F;

4) DE = AB.

184.

АС = 6 см, AB менша ВС на 2 см, АС = ВС, АС = ВС = 6 см; AB = 6 см - 2 см = 4 см. P_∆ABC = AB + ВС + АС = 4 см + 6 см + 6 см = 16 см.

Відповідь: 16 см.

185.

Р_∆ABC = 24 м; АВ = 10 м; ВС = х м, АС = 3х м;

x + 3х + 10 = 24; 4х = 24 - 10; 4х = 14; х = 3,5; ВС = 3,5 м, АС = 10,5 м. АС — найбільша сторона. Протилежний стороні АС — кут ∠ABC.

186. ∆АВС = ∆KMN. 1) N = ∠C = 125°;

2) АВ = КМ = 11 см;

3) АВ = 11 см, MN = 8 см, KN = 7 см;

Р_∆КМN = КМ + MN + KN; КМ = АВ = 11 см;

Р_∆KMN = 11 см + 8 см + 7 см = 26 (см).

187. ∆BAC = ∆EFK.

1) EF = AB; ∠K = ∠C; ∠C — найбільший кут;

2) АВ > ВС > АС; АС — найменша сторона; AC = FK; FK — найбільша сторона ∆EFK;

3) ∆АВС = ∆FEK.

188. ∆ABC = ∆QPR; ∠A = ∠Q, ∠B = ∠P, ∠C = ∠R.

189. ∆АВС = ∆YZX;AB = YZ, ВС = ZX, AC = YX.

190. ∆ABD, ∆BDC, ∆ADC.

191. ∆ABC; AB : ВС : AC = 3 : 5 : 7; BC = 5 мм.

Нехай АВ = 3x, BC = 5x, AC = 7x; 5x = 15; x = 3. AB = 9 мм, BC = 15 мм, AC = 21 мм.

а) P_∆ABC = 9 + 15 + 21 = 45 (мм);

б) 3x + 5x + 7x = 60; 15x = 60; x = 4; найменша сторона AB = 3 x 4 = 12 мм;

в) BC - AB = 4 мм; 5х - 3х = 4 мм; 2x = 4 мм; x = 2 мм; найбільша сторона AB = 7x; АС = 7 x 2 = 14 мм.

192.

Р_∆ABC = 18 см; AB + ВС = 12 см, ВС + АС = 13 см;

АВ + ВС + АС = 18; AB + ВС + ВС + АС = 25 см; ВС = 25 - 18 = 7 см; AB = 12 - 7 = 5 см; АС = 18 — 7 - 5 = 6 (см). ВС — найбільша сторона ∆ABC. Прилеглі кути: ∠B і ∠C.

193. ∆АВС = ∆DEF = ∆KMN; ∠A = ∠D = ∠K = 45°, ∠F = ∠C = ∠N = 80°, ∠M = ∠B = ∠E = 55°.

194. ∆АВС = ∆DEF = ∆KMN; AB = DE = KM = 9 CM; MN = EF = ВС = 8 см; AC = DF = KN = 7 CM; P_∆DEF = 24; DE + DF + EF = 24; 9 + DF + 8 = 24; DF = 24 — 9 - 8 = 7 (см).

196. У рівних трикутників усі відповідні сторони рівні, отже, і периметри рівних трикутників — рівні.

197. ∆АВС = ∆KMN; ∠A = ∠N, ∠A = ∠K, ∠C = ∠K, отже, ∠A = ∠C.

198.

∆ABC = ∆KMN, ∠K > ∠N; ∠N > ∠M; ∠M — найменший кут; ∠B = ∠M, отже, в ∆АВС ∠B — найменший кут.

199. ∆АВС = ∆YXZ.

200. ∆ABC = ∆ZYX.

201.

ZB = ZB₁, BA = B₁A₁, BC = B₁C₁. Відрізки ВС і B₁C₁ при накладанні сумістяться.

202.

ОР і ОК — бісектриси суміжних кутів ∠AOC і ∠COB. ∠POK — кут між бісектрисами кутів ∠COB і ∠AOC.

∠1 = ∠2, ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, отже, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4; ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°; ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = 90°. Отже, дані кути — прямі.

203.

АС = A₁C₁, ВС = B₁C₁, ∠BCA = ∠B₁C₁A₁.

204. BC = B₁C₁.

205.

AB = DE, AC = DF, ∠A = ∠E. Що ∆ABC = ∆DEF — не можна стверджувати.

206.

Це твердження неправильне. 10 + 12 = 9 + 13. Суми рівні, а сторони — ні.

207.

ОА = ОВ, ОС = OD. ∆AOC = ∆BOD, ∠AOD = ∠BOC за І ознакою рівності трикутників; ∠AOD = ∠COD, ∠AOC = ∠BOD.

208.

1) AB = AD; 2) ∠CAD = ∠CAB; 3) AC — спільна сторона.

∆ABC = ∆ADC за першою ознакою рівності трикутників.

209. АВ = А₁В₁ = 3 см; АС =А₁С₁ = 8 см; ∠A = ∠A₁; ∆ABC = ∆А₁В₁С₁ за першою ознакою рівності трикутників.

210. 1) AB = AD; 2) ∠BAC = ∠DAC; 3) АС — спільна сторона. ∆АВС = ∆АDC.

211.

∠ABD = ∠CBD; AB = CD; BD — спільна сторона. ∆ABD = ∆CBD за першою ознакою рівності трикутників.

212.

CD ⊥ AB; AD = BD; AD = BD, D — середина відрізка AB; ∠CDA = ∠CDB = 90°; CD — спільна сторона. ∆ADC = ∆BDC за першою ознакою рівності трикутників.

213.

AB = CB; ∠A = ∠C; M — середина AC.

а) AM = MC. ∆ABM = ∆CBM за першою ознакою рівності трикутників;

б) ∠CBM = ∠ABM = 25°.

214.

а) Точка С не лежить між точками А і В.

б) ∠ABC і ∠MBD мають спільну вершину В.

215. а)

Промінь ОС поділив тупий кут на прямий кут ∠COB і гострий кут ∠AOC.

б)

Промені OB і MN не перетинаються і не паралельні.

216.

AD = AE; BD = СЕ. Довести: ∠B = ∠C. Доведемо, що ∆ADC = ∆АЕВ.

1) AD = АЕ; 2) AB = АС, AB = AD + BD, АС = АЕ + ЕС; 3) ∠A — спільний кут.

∆АDС = ∆АЕВ за першою ознакою рівності трикутників.

З рівності трикутників маємо, що всі відповідні елементи рівні, отже, ∠B = ∠C.

217.

C — середина відрізка AE; AB = DE; ∠1 = ∠2. Доведемо, що BC = DC.

1) AB = DE; 2) AC = CE; 3) ∠3 = ∠4 (кути суміжні рівним кутам ∠1 і ∠2).

∆АВС = ∆EDC за першою ознакою рівності трикутників. З їхньої рівності маємо: ВС = DС.

218.

∆АВС; ∠A = ∠C; AA₁ = СС₁; СA₁ = 14 см. ∆АС₁С = СA₁A.

1) AС — спільна сторона; 2) AA₁ = СС₁; 3) ∠A = ∠С. ∆AC₁С = ∆СA₁A за першою ознакою рівності трикутників. З їхньої рівності маємо: AC₁= СA₁ = 14 см.

219.

АВ = СВ; ∠ABD = ∠CBD; АС = 8 см. ∆ABD = ∆CBD (за першою ознакою рівності трикутників). AВ = BC; BD — спільна сторона; ∠1 = ∠2. З рівності трикутників маємо: AD = DC = 4 см.

220.

∆АВС = ∆A₁В₁С₁ (за першою ознакою рівності трикутників). AD = A₁D₁.

1) AС = AС₁; 2) AD = A₁D₁; 3) ∠A = ∠A₁. ∆ACD = ∆A₁С₁D₁ (за першою ознакою рівності трикутників).

221.

∆AВС = ∆A₁В₁С₁; BD = A₁D₁; B₁D₁ = D₁A₁; ВЕ = В₁Е₁; ЕС = Е₁С₁.

1) BD = B₁D₁; 2) ВE = В₁Е₁; ∠В = ∠В₁.

∆DBE = ∠D₁В₁E₁, за першою ознакою рівності трикутників. Отже, DE = D₁Е₁.

222. а) МN || AВ;

б) ∠COD + ∠MON = 180°.

223. а)

OB || ВK; а перетинає OB, але не перетинає ВК;

б)

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠MON ≠ ∠BOC.

224. ∆АВС; AB = ВС; ∠1 = ∠2; ∆ABD = ∆CBD за першою ознакою рівності трикутників.

1) АВ = ВС; 2) BD — спільна сторона; 3) ∠1 = ∠2. 3 цієї рівності маємо: ∠3 = ∠4, а це суміжні кути, ∠3 = ∠4 = 90°. Отже, BD ⊥ AC.