Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

150.

∠1 = 90°, ∠2 = ∠1 = 90° — вертикальні кути; ∠3 — суміжний куту ∠1. ∠3 = 180° - 90° = 90°, ∠3 = ∠4 = 90° (вертикальні кути).

151.

∠(ac) = 70°; ∠(ab) = 90°; ∠(bc) = 90° - ∠(ac) = 90° - 70° = 20°.

152. а ⊥ с; ∠(ab) = 25°, ∠(ac) = 90°, ∠(bc) = 90° - ∠(ab) = 90° - 25°, ∠(bc) = 65°.

Відповідь: 65°.

153.

а) ∠AOD + ∠BOD + ∠COB = 295°; ∠AOD + ∠BOD = 180° (суміжні кути);

∠COB = 295° - 180° - 115°; ∠COA = ∠COB = 115° (вертикальні кути).

∠AOD = ∠BOC = 180° - 115° = 65°.

Відповідь: 65°, 65°, 115°, 115°.

б) ∠AOD : ∠AOC = 4 : 5; ∠AOC і ∠AOC — суміжні кути, х — спільна міра цих кутів; ∠AOD = 4х, ∠AOC = 5х; 4х + 5х = 180°; 9х = 180°; х = 20°; ∠AOD = 80°, ∠AOC = 100°, ∠BOC = ∠AOD = 80°(вертикальні кути), ∠AOC = ∠BOD = 110° (вертикальні кути).

Відповідь: 80°, 80°, 100°, 100°.

154.

а) Ці кути — вертикальні. АОС і ∠DOB,

∠AOC = ∠DOB, ∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + 80°;

∠3 = ∠4; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 + 40°;

∠1 + ∠3 = 180°; ∠3 - ∠1 = 40°;

2∠3 = 220°; ∠3 = 110°, ∠A = 70°.

Відповідь: 70°.

б) 2∠3 = ∠1 + ∠4 + ∠2; ∠1 + ∠4 = 180°;

2∠3 = 180° + ∠2; ∠2 = 180° - ∠3;

2∠3 = 180° + 180° - ∠3; 3∠3∠ = 360°;

∠3 = 360°: 3; ∠3 = 120°; ∠2 = 60°.

Відповідь: 60°.

155.

∠1 = 56°, ∠2 = 39°, ∠3 = 180° - 39° - 56° = 85°, ∠4 = ∠3 = 85°.

156.

OK — бісектриса; ∠DOK = 72°, ∠DOB = 72° x 2 = 144°, ∠AOD = 180° - 144° = 36°.

Відповідь: прямі перетинаються під кутом 36°.

157.

a ⊥ c, b ⊥ c, a || d, a || d, a ⊥ c, отже, b || d.

158.

а і b перетинаються, c ⊥ a;A — точка перетину прямих а і b. Якщо b ⊥ с, то b || a, a за умовою а і b перетинаються.

159.

Нехай ∠1 = ∠2 + ∠3, ∠2 = ∠3 — вертикальні кути, ∠1 + ∠3 = 180° (суміжні кути); ∠1 = 2∠3. Нехай ∠3 = х, тоді ∠1 = 2х; х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°; ∠2 = ∠3 = 60°

Відповідь: 60°.

160.

∠DON і ∠MOK — вертикальні кути; ОС — бісектриса ∠MOK; OB — бісектриса ∠DON; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4.

Промені ОС і OB мають спільний початок і лежать на одній прямій, тому є доповняльними.

161.

∠AOB = ∠COD, О — спільна вершина; ОK i ОМ — бісектриси кутів є доповняльними променями, отже, ці кути є вертикальними.

162.

a ⊥ b, ∠AOC = 165°, ∠POC = 180°- ∠АОС = 180° - 165° = 15°, ∠POD = ∠POC + ∠COD, ∠POD = 15° + 90° = 105°.

Відповідь: 105°.

163.

a ⊥ b, d ⊥ с. Серед цих прямих 2 пари перпендикулярних прямих.

164.

АО = 4 см, АС = 12 CM, CD = АО + АС + OB + BD; AO = OB = 4 см; AC = BD = 12 см; CD = 4 + 12 + 4 + 12 = 32 (см).

Відповідь: 32 см.

OA = OB = 4 см; АС = 12 см; ВD = 12 см; ОС = OD = 12 - 4 = 8 см; AD = OD - OA = 8 - 4 = 4 (см); CD = CA + AD = 12 + 4 = 16 (см).

Відповідь: CD = 16 см.

165.

l — спільна бісектриса кутів ∠(ab) і ∠(cd). ∠(ab) = 50°, ∠(dl) = 10°; ∠(cb) = ∠(cl) + ∠(ld) + (db) = 10° + 10° + 25° = 45°.

Задачі для підготовки для контрольної роботи № 1

1.

АС = 5 см, AB = 8 см.

а) Точка С лежить між точками А і В.

б) ВС = 8 - 5 = 3 (см).

2.

∠MOL = 84°, ∠LON = 18°. ОК — бісектриса ∠MON.

∠MON = ∠MOL + ∠LON = 84° + 18° = 102°; ∠MOK = ∠KON = 102° : 2 = 51°; ∠KOL = ∠KON - ∠LON = 51° - 18° = 33°.

Відповідь: 33°.

3.

a і b перетинаються, c || a.

Нехай b || c, тоді через точку А проведено дві прямі а і b, паралельні прямій с, що неможливо. Отже, b і с перетинаються.

4.

∠AOC - ∠COB = ∠COB; ∠AOC = 2∠COB; ∠COB = х, ∠AOC = 2х; х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 180° : 3; х = 60°; ∠COB = 60°, ∠AOC = 120°.

5.

∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + 60°; ∠2 + ∠3 = 180°; ∠1 + 180° = ∠4 + 60°; ∠4 — ∠1 = 180° - 60°; ∠4 - ∠1 = 120°; ∠4 + ∠1 = 180°; 2∠4 = 300°; ∠4 = 150°; ∠1 = 180° - 150° = 30°.

Відповідь: 30°.

6.

∠AOВ і ∠COB — суміжні, ∠DOC = 126°; ∠AOD = 180° - 126° = 54°; ∠AOD = ∠DOB = 108° - 54° = 54°.

Додаткові вправи

166.

AD + BD = CD. AB : BC = 2 : 1, AС = 3 см, AB = 2х; ВС = х; 3х = 3; x = 1; ВС = 1 см, AB = 2 CM; AD = ВС = 1 см.

167.

С — середина AB; А переміститься на З одиниці, а точка В — на 7 одиниць, точка С переміститься на 5 одиниць.

168. Тричі відкласти по 2 см.

169.

1) ∠AOB = 35° х 4 = 140°; б) ∠BOC = 40°.

170.

∠AOB = 17° х 10 = 170°;

∠BOC = 180° - 170° = 10°.

∠COD = ∠BOD - ∠BOC;

∠COD = 17° - 10° = 7°.

171. 27° х 10 - 180° = 270° - 180° = 90°.

172. ∠(ab), ∠(bc), ∠(cd), ∠(ad), ∠(ac), ∠(bd).

Відповідь: 6 кутів.

173.

OK — бісектриса кута ∠(bc);

∠(ab) = ∠(bc) = ∠(cd).

∠(ak) = ∠(ab) + ∠1; ∠(dk) = ∠(dc) + ∠2, але ∠2 = ∠1, ∠(ab) = ∠(dc) за умовою, отже, OK — бісектриса ∠(ad) і ∠(bc).

174.

∠AOB, ОС — бісектриса кута; ∠AOC = ∠COB; M лежить поза внутрішньою областю кута АОВ. Промінь ОС — бісектриса цього кута. Нехай ∠AOC = ∠1, ∠COB = ∠2, ∠1 = ∠2, ∠MOA = ∠3, ∠MOC = ∠1 + ∠3; ∠AOM + ∠BOM = ∠3 + ∠3 + ∠1 + ∠2 = 2∠1 + 2∠3 = 2(∠1 + ∠3);

∠MOC = 1/2(∠AOM + ∠BOM), що й треба було довести.

175.

∠AOB, ОС — бісектриса кута. ∠AOC = ∠BOC; ∠AOC = ∠1, ∠BOC = ∠2.

Точка М лежить у внутрішній області ∠AOB.

що й треба було довести.