Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

225.

l ⊥ AB; X — точка прямої l; О — середина AB.

∆АОХ = ∆BOX (за першою ознакою рівності трикутників).

1) АО = OB; 2) ∠3 = ∠4 = 90°; 3) ОХ — спільна сторона.

З цього випливає АХ = ВХ, отже, точка X рівновіддалена від кінців відрізка А і В.

226.

Три прямі кути: ∠AOC, ∠COB, ∠KOD.

227.

∠AMB = ∠AMC = 90°; ∆АМВ = ∆АМС; ∠1 = ∠2, ∠1 i ∠2 —суміжні рівні кути.

228. Два кути трикутника не можуть бути прямими.

229.

а) Одна пряма; б) один; в) ні.

230. а)

OB і OD — доповняльні промені;

б)

в)

г)

231. а) а || b;

б)

в)

г)

232. AC > AB.

233.

∆ABC = ∆ABD, AB — спільна, ∠3 = ∠4, BC = BD.

234.

∆АВС; ∠В = 90°.

а) Відстань від т. С до прямої AB — ВС;

б) відстань від т. А до прямої ВС — AB.

235.

AD — відстань від точки А до прямої ВС. Відстань від точки С до прямої AD — відрізок CD.

236. a)

б)

Чотири кути (б) або жодного кута (а).

237.

Точки А, В, С лежать на одній прямій. АС — відстань від точки А до прямої с. АС ⊥ с; ВС — відстань від точки В до прямої с. ВС ⊥ с.

238.

А лежить на прямій а, В лежить на прямій b. AB — відстань відточки А до прямої b і відстань від точки В до прямої а. а || b.

239.

ВD ⊥ AC, ED ⊥ BD.

240.

∆ABC = ∆KMN.

а) Відстань від точки М до прямої MN — це відрізок KN.

б) Відстань від точки М до прямої KN — це відрізок MN.

241.

∆ABC = ∆ABC₁.

а) Відстань від точки А до прямої СС₁ є відрізок AB.

б) Відстань від точки С до прямої AB є відрізок ВС.

242.

DA — відстань від точки D до сторони AB, DA ⊥ АВ; DC — відстань від точки D до сторони ВС, DC ⊥ ВС.

1) ВА = ВС за умовою; 2) DA = DC; 3) ∠BAD = ∠BCD = 90°.

∆ABD = ∆CBD, з їх рівності маємо: ∠ABD = ∠CBD, отже, BD — промінь є бісектрисою ∠АВС.

243.

Точка С — середина відрізка AB; DC — відстань від точки D до відрізка AB; DC ⊥ AB.

2) АС = ВС; 2) ∠ACD = ∠BCD = 90°; 3) DC — спільна сторона.

∆ADC = ∆BDC (за першою ознакою рівності трикутників). З цього маємо: ∠ADC = ∠BDC, DC — бісектриса ∠ADB.

244.

АС = 5 км, ВС = 7 км, ВС - АС = 2 км.

AB =АС + ВС = 5 + 7 = 12 (км).

Відповідь: AB = 2 км або 12 км.

245.

Якщо точки A₁ і В₁ збігаються, AB ⊥ с. Тобто AA₁ ⊥ АС і BB₁ ⊥ AC, перпендикуляри мають спільну основу.

246.

∆АВС; М — середина ВС; ∠AMB = ∠AMC; MB = MC; AM — спільна сторона.

∆ABM = ∆АСМ (за першою ознакою рівності трикутників). Отже, ∠AMB ≠ ∠ACM, бо ∠AMB = ∠AMC; AB = АС; AB і АС — сумістяться, ∠AMB і ∠ACM не сумістяться.

247.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁ = ∆АВМ = ∆А₁В₁М₁.

1) АС = А₁С₁; 2) ∠C = ∠C₁; 3) ВМ = B₁M₁ ⇒ CM = C₁M₁.

Отже, ∆AМС = ∆A₁M₁C₁ за першою ознакою рівності трикутників.

248.

∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, необхідно, щоб BC = B₁C₁.

249.

AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, необхідно, щоб ∠B = ∠B₁.

250.

AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠F. Що ∆ABC = ∆DEF не можна стверджувати.

251. Це твердження не зовсім правильне.

252.

AD — бісектриса, ∠3 = ∠4, ∠1 = ∠2. AD — спільна сторона.

∆ABD = ∆ACD за другою ознакою рівності трикутників.

253.

∆ABD = ∆ACD; ∠1 = ∠2, ∠ADB = ∠ADC = 90°, AD — спільна сторона.

Трикутники рівні за другою ознакою рівності трикутників.

254. АС = А₁С₁ = 6 см; ∠A = ∠A₁; ∠C = ∠C₁; ∆ABC = ∆А₁В₁С₁.

255.

∠B = ∠C; BO = CO; ∠BOA = ∠COA (вертикальні кути).

∆АОВ = ∆DОС за другою ознакою рівності трикутників.

256.

∠ABD = ∠CDB; ∠ADB = ∠CBD; BD - спільна сторона.

∆ABD = ∆CDB за другою ознакою рівності трикутників.

257.

∠ABC; BD — бісектриса; ∠ADB = ∠CDB; ∠ABD = ∠CBD за умовою; BD — спільна сторона.

∆ABD = ∆CDB за другою ознакою рівності трикутників. З цієї рівності маємо; AD = DC, DC = 8 см.

258.

а) ∆АВМ = ∆CBM. 1) AB = ВС; 2) ∠A = ∠C; 3) ∠ABM = ∠CBM, ВМ — бісектриса кута В.

б) AM = MC з рівності трикутників ∆АВМ і ∆СВМ. ∠BMA = ∠BMC, а це суміжні кути, отже, ∠BMA = ∠BMC = 90°, тому ВМ ⊥ АС.

260.

1) ∠BAD = ∠CDA; 2) ∠CAD = ∠BDA; 3) AD — спільна сторона.

∆ABD = ∆DCA за другою ознакою рівності трикутників.

261.

Дано: ∆ABC; ∠CAE = ∠CBD; АС = BC. ∆BDC = ∆АЕС.

1) ∠CAE = ∠CBD; 2) ВС = АС; 3) ∠C — спільний кут.

Трикутники рівні за другою ознакою рівності трикутників. АE = BD — з рівності трикутників.

262.

1) BO = OD; 2) ∠B = ∠D = 90°, AB ⊥ BD, DC ⊥ BD; 3) ∠AOB = ∠COD — вертикальні кути.

∆AOВ = ∆COD за другою ознакою рівності трикутників. АО = 4 см, АО = ОС = 4 см, АС = 8 дм.

263. АВ — бісектриса ∠A, ∠1 = ∠3, AK = AF, ВК ⊥ AB, ∠KBA = ∠FBA = 90°. ∆АВК = ∆ABF за стороною Aß (спільна сторона) і двома прилеглими кутами. З рівності трикутників маємо: AK = AF.

264.

Кути, прилеглі до сторони, повинні бути рівними, тоді трикутники рівні.

Ці трикутники не рівні.

266.

∆АВС = ∆A₁B₁C₁; ∠ABD = ∠ABD₁; 1) AB = A₁B₁; 2) ∠ABD = ∠A₁D₁; 3) ∠A = ∠A₁.

∆ABD = ∆A₁B₁D₁ за другою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників маємо: BD = В₁D₁.

267.

∆ABC = ∆DCB.

1) AB = CD з рівності трикутників ∆АВС і ∆DCB; 2) ∠A = ∠D; 3) ∠ABO = ∠DCO, ці кути доповнюють рівні кути ABC і DCВ. ∆ABO = ∆DCO за другою ознакою рівності трикутників.

268. ∆AOD = ∆COF. Доведемо, що ∆ABE = ∆CBD.

З рівності ∆AOD і ∆СОЕ маємо: ∠A = ∠C; EC = AD; OE = OD; AO = OC.

∆АВЕ = ∆CBD за другою ознакою рівності.

1) ∠A = ∠С; 2) ∠B — спільний кут; 3) АВ = ВС.

269. ∆ABC = ∆MNK; AB = BC; NK = MK; ∠A = ∠M; ∠B = ∠N; ∠C = ∠K; AB = MN; BC = NK; AC = KM. Із рівності трикутників випливає, що всі сторони рівні.

270. ∆ACD, ∆BCD.

271. Будь -який рівносторонній трикутник є рівнобедреним.

Будь-який рівнобедрений трикутник не завжди є рівностороннім.

272.

∆DEF; DE = EF. Рівні кути: ∠D = ∠F.

273.

∆KMN; ∠M = ∠N. Рівні сторони ∆KMN; NK = МК.