Розв’язання усіх вправ і завдань до підручника «МАТЕМАТИКА. 6 клас» Тарасенкова Н. А. - 2016 рік

РОЗДІЛ 3. ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ

§ 13. Пропорція та її властивості

552. Рівність двох відношень, тобто пропорція, подана лише у випадках

553. 1) 24 : 8 = 9 : 3 — 24 відноситься до 8, як 9 відноситься до 3. Крайні члени пропорції — 24 і 3, середні члени — 8 і 9;

2) 3 : 2 = 0,15 : 0,1 — 3 відноситься до 2, як 0,15 відноситься до 0,1. Крайні члени пропорції — 3 і 0,1, середні члени — 2 і 0,15;

3) відноситься до 15, як 0,4 відноситься до 3. Крайні члени пропорції — 2 і 3, середні члени — 15 і 0,4;

4) відноситься до 5, як 9 відноситься до 10. Крайні члени пропорції — 4,5 і 10, середні члени — 5 і 9.

554. 1) Рівність 5 : 4 = 1,5 : 1,2 є пропорцією, бо значення відношення 1,5 : 1,2 = 15 : 12 = 5 : 4 дорівнює значенню відношення 5 : 4;

2) рівність 5 : 4 = 1,5 : 1,2 є пропорцією, бо добуток крайніх її членів 5 ∙ 1,2 = 6 дорівнює добутку середніх її членів 4 ∙ 1,5 = 6.

555. 1) Значення відношень пропорції дорівнює і дорівнює оберненому до значення 3 відношень пропорції тому задані пропорції є взаємно оберненими;

2) значення відношень пропорції 3 : 9 = 2 : 6 дорівнює і дорівнює оберненому до значення 3 відношень пропорції 6 : 2 = 9 : 3, тому задані пропорції є взаємно оберненими.

556. 1) 6 : 18 = 11 : 33. Пропорції 6 : 18 = 11 : 33 і 33 : 11 = 18 : 6 є взаємно оберненими, бо значення їх відношень є взаємно оберненими;

2) 12 : 1,5 = 4 : 0,5. Пропорції 12 : 1,5 = 4 : 0,5 і 0,5 : 4 = 1,5 : 12 є взаємно оберненими, бо значення їх відношень є взаємно оберненими.

557. Пропорцію можна скласти з відношень

558. Пропорцію можна скласти з відношень

559. 1) 3 чисел 3, 6, 9, 12 скласти пропорцію не можна, бо добуток найменшого і найбільшого з них не дорівнює добутку двох інших: 3 ∙ 12 ≠ 6 ∙ 9;

2) з чисел 1, 2, 4, 8 скласти пропорцію можна, бо добуток двох з них дорівнює добутку двох інших: 1 ∙ 8 = 2 ∙ 4;

3) з чисел 0, 1, 2, 3 скласти пропорцію не можна, бо серед них є число 0;

4) з чисел 4, 0, 5, 1 скласти пропорцію не можна, бо серед них є число 0.

562. 1) Для пропорції 18 : 9 = 30 : 15 основна властивість виконується, бо 18 ∙ 15 = 9 ∙ 30 = 270;

2) для пропорції 2 : 25 = 3 : 37,5 основна властивість виконується, бо 2 ∙ 37,5 = 25 ∙ 3 = 75;

3) для пропорції 0,5 : 3 = 10 : 60 основна властивість виконується, бо 0,5 ∙ 60 = 3 ∙ 10 = 30;

4) для пропорції основна властивість виконується, бо 2 ∙ 31,5 = 9 ∙ 7 = 63;

5) для пропорції основна властивість виконується, бо 0,2 ∙ 3 = 4 ∙ 0,15 = 0,6;

6) для пропорції основна властивість виконується, бо 8 ∙ 1,5 = 0,2 ∙ 60 = 12.

563. 1) Для пропорції 40 : 8 = 15 : 3 основна властивість виконується, бо 40 ∙ 3 = 8 ∙ 15 = 120;

2) для пропорції 5 : 0,4 = 25 : 2 основна властивість виконується, бо 5 ∙ 2 = 0,4 ∙ 25 = 10;

3) для пропорції основна властивість виконується, бо 4,5 ∙ 7 = 9 ∙ 3,5 = 31,5;

4) для пропорції основна властивість виконується, бо 2,4 ∙ 0,5 = 0,2 ∙ 6 = 1,2.

564. 1) Якщо 3 ∙ 6 = 2 ∙ 9, то можна утворити пропорцію 3 : 2 = 9 : 6;

2) якщо 5 ∙ 2 = 0,4 ∙ 25, то можна утворити пропорцію 5 : 0,4 = 25 : 2;

3) якщо то можна утворити пропорцію

Якщо, наприклад, з рівності 3 ∙ 6 = 2 ∙ 9 крайніми членами пропорції вважати числа 3 і 6, то з ними можна скласти 4 пропорції: 3 : 2 = 9 : 6; 3 : 9 = 2 : 6; 6 : 2 = 9 : 3; 6 : 9 = 2 : 3. Якщо ж ці числа 3 і 6 вважати середніми членами пропорції, то можна буде скласти ще 4 пропорції, а всього 8 пропорцій.

565. 1) 3 рівності 8 ∙ 0,2 = 0,4 ∙ 4 можна утворити такі пропорції: 8 : 0,4 = 4 : 0,2; 8 : 4 = 0,4 : 0,2; 0,2 : 0,4 = 4 : 8; 0,2 : 4 = 0,4 : 8;

2) з рівності можна утворити такі пропорції:

566. 1) Рівність 18 : 3 = 30 : 5 є пропорцією, бо: а) 18 : 3 = 6, 30 : 5 = 6,6 = 6; б) виконується основна властивість пропорції 18 ∙ 5 = 3 ∙ 30 = 90;

2) рівність 2,5 : 6,25 = 3 : 7,5 є пропорцією, бо: а) 2,5 : 6,25 = 0,4, 3 : 7,5 = 0,4, 0,4 = 0,4; б) виконується основна властивість пропорції 2,5 ∙ 7,5 = 6,25 ∙ 3 = 18,75;

3) рівність не є пропорцією, бо: а) б) не виконується основна властивість пропорції 16 ∙ 12 = 192,14 ∙ 14 = 196, 192 ≠ 196;

4) рівність не є пропорцією, бо: а) б) не виконується основна властивість пропорції 0,8 ∙ 2 = 1,6,4 ∙ 4 = 16, 1,6 ≠ 16;

5) рівність є пропорцією, бо: а) б) виконується основна властивість пропорції 3 ∙ 0,2 = 0,4 ∙ 1,5 = 0,6;

6) рівність є пропорцією, бо: а) б) виконується основна властивість пропорції 2 ∙ 3 = 1,2 ∙ 5 = 6.

567. 1) Рівність 28 : 7 = 2 : 0,5 є пропорцією, бо: а) 28 : 7 = 4,2 : 0,5 = 4,4 = 4; б) виконується основна властивість пропорції 28 ∙ 0,5 = 7 ∙ 2 = 14;

2) рівність є пропорцією, бо: а) б) виконується основна властивість пропорції

3) рівність не є пропорцією, бо: a) б) не виконується основна властивість пропорції 3,2 ∙ 3 = 9,6,24 ∙ 2 = 48, 9,6 ≠ 48;

4) рівність є пропорцією, бо: а) б) виконується основна властивість пропорції 2,5 ∙ 4 = 20 ∙ 0,5 = 10.

568. 1) Пропорції 15 : 3 = 2 : 0,4 і 3 : 15 = 0,4 : 2 є взаємно оберненими, бо значення їх відношень є взаємно оберненими;

2) пропорції 15 : 3 = 2 : 0,4 і 15 : 10 = 3 : 2 не є взаємно оберненими, бо значення їх відношень не є взаємно оберненими;

3) пропорції не є взаємно оберненими, бо значення їх відношень не є взаємно оберненими;

4) пропорції є взаємно оберненими, бо значення їх відношень є взаємно оберненими.

569. 1) Пропорції 4 : 0,5 = 16 : 2 і 4 : 16 = 0,5 : 2 не є взаємно оберненими, бо значення їх відношень не є взаємно оберненими;

2) пропорції не є взаємно оберненими, бо значення їх відношень 8 і 4 не є взаємно оберненими.

570. 1) Пропорція має значення відношення 3, а пропорція — обернена до неї;

2) пропорція має значення відношення 0,2, а пропорція — обернена до неї.

571. Пропорція має значення відношення 5, а пропорція — обернена до неї.

574. 1) Рівність a : c = b : d є пропорцією, бо вона отримана від переставляння середніх членів правильної пропорції а : b = c : d;

2) рівність d : b = c : a є пропорцією, бо вона отримана від переставляння крайніх членів правильної пропорції a : b = c : d;

3) рівність 5а : 5b = с : d є пропорцією, бо вона отримана з правильної пропорції a : b = c : d шляхом заміни її першого відношення рівним йому відношенням;

4) рівність 4а : 2b = 8с : 4d є пропорцією, бо вона отримана з правильної пропорції a : b = c : d шляхом збільшення значення кожного її відношення удвічі.

575. 1) Рівність a : d = b : c не є пропорцією, бо, наприклад, якщо з пропорції 2 : 1 = 8 : 4 аналогічно утворити рівність 2 : 4 = 1 : 8, то ця рівність є хибною і не є пропорцією;

2) рівність d : с = b : а є пропорцією, бо вона отримана від переставляння крайніх і середніх членів правильної пропорції: a : b = c : d;

3) рівність а : 6b = 6с : d не є пропорцією, вона утворена з правильної пропорції a : b = c : d зменшенням значення першого відношення у 6 разів і збільшенням значення другого відношення у 6 разів;

4) рівність 4а : b = 12с : 3d є пропорцією, бо вона отримана з правильної пропорції а : b = с : d шляхом збільшення значення кожного її відношення у 4 рази.

576. За основною властивістю пропорції маємо: 15 ∙ 7 = 3 ∙ х; х = 15 ∙ 7 : 3; х = 35. Можливі пропорції: 15 : 3 = 35 : 7; 15 : 35 = 3 : 7; 7 : 3 = 35 : 15; 7 : 35 = 3 : 15; 3 : 15 = 7 : 35; 3 : 7 = 15 : 35; 35 : 15 = 7 : 3; 35 : 7 = 15 : 3.

577. За основною властивістю пропорції маємо: 9 ∙ 24 = 36 ∙ х; х = 9 ∙ 24 : 36; х = 6. Можливі пропорції: 24 : 6 = 36 : 9; 24 : 36 = 6 : 9; 9 : 6 = 36 : 24; 9 : 36 = 6 : 24; 6 : 24 = 9 : 36; 6 : 9 = 24 : 36; 36 : 24 = 9 : 6; 36 : 9 = 24 : 6.

578. 3а основною властивістю пропорції маємо: 1,25 ∙ 8 = 2,5 ∙ x; x = 1,25 ∙ 8 : 2,5; х = 4.

579. 3а основною властивістю пропорції маємо: 4,5 ∙ 4 = 12,5 ∙ x; х = 4,5 ∙ 4 : 12,5; x = 1,44.

Відповідь 3) у підручнику неправильна.

Відповідь 7) у підручнику неправильна.

582. Нехай задумали число х. Отримаємо рівняння: (2х - 6) : 9 = 4 : 4,5; 2х - 6 = 4 ∙ 9 : 4,5; 2х - 6 = 8; 2х = 14; х = 7.

583. Якщо x = 2,4, то: х : у = 5 : 8; 2,4 : у = 5 : 8; у = 2,4 ∙ 8 : 5; у = 3,84.

Якщо у = 3,84, то: у : z = 16 : 7; 3,84 : z = 16 : 7; z = 3,84 ∙ 7 : 16; z = 1,68.

584. Якщо y : z = 2, то у = 2z. Якщо y = 2z і x : у = 2, то: x : 2z = 2; x = 4z. Тоді х : z = 4z : z = 4.

585. 1) Якщо z : 1 = 1 : 0,25, то: z = 1 ∙ 1 : 0,25; z = 4. Якщо z = 4, то: у : z = 2 : 1; y : 4 = 2 : 1; у = 4 ∙ 2 : 1; y = 8. Якщо у = 8, то: x : y = 3 : 2; x : 8 = 3 : 2; x = 8 ∙ 3 : 2; x = 12;

2) Якщо то: Якщо то: Якщо то:

586. Висота верхньої частини голови (лоба) дорівнює 8 см, висота нижньої частини голови (від кінця лоба до шиї) дорівнює 13 см, висота всієї голови дорівнює 21 см. Із даних чисел наближено утвориться золотий переріз: 8 : 13 ≈ 13 : 21 ≈ 0,61;

Довжина середнього пальця до першого суглоба дорівнює 2,4 см, довжина середнього пальця від першого до другого суглоба дорівнює 3,9 см, довжина середнього пальця до другого суглоба дорівнює 6,3 см. Із даних чисел наближено утвориться золотий переріз: 2,4 : 3,9 ≈ 3,9 : 6,3 ≈ 0,62.

588. Нехай у класі навчається х учнів, де х — натуральне число, менше ніж 40. Встановимо, скільки учнів мешкає на бульварі Шевченка: Найменшим значенням х, за якого кількість учнів які мешкають на бульварі Шевченка, є натуральним числом, є число 42, яке не задовольняє умову х < 40. Отже, такого класу не існує.

Відповідь у підручнику неправильна.