Розв’язання вправ та завдань до підручника «МАТЕМАТИКА» О. М. Афанасьєва 11 клас - 2011 рік

Розділ 3. Похідна та її застосування

127.

1)

2)

3)

4)

128.

1)

y = φ(x),

2)

у = φ(x), не існує;

3)

φ(1) = 0.

129.

1) f(x) = x² + 1, x₀ = -1, Δx = 0,1; Δy — ?

Δy = у(х₀ + Δх) - у(х₀) = f( -0,9) - f(-1) = (-0,9)² + 1 - ((-1)² + 1) = 0,81 + 1 - 1 -1 = -0,19;

2)f(x) = x³, x₀ = 2, Δx = -1; Δy — ?

Δy = y(x₀ + Δx) — y(x₀) = у(1) - у(2) = 1 — 2³ = -7;

3) x₀ = 10, Δx = -5; Δy — ?

130.

f(x) = x².

1) f'(x) = 2x; y(5) = 2 × 5 = 10; f' (-3) = -6;

2) x — ? f'(х) = f(x); 2х = х²; х² - 2х = 0; х(х - 2) = 0; x₁ = 0, x₂ = 2.

131.

y = sin х; у' = cos х;

1) cos 0 = 1;

2)

3) cos π = -1.

132.

x₁ = 3t, x₂ = t², t ≥ο.

1) t —? x₁' = 3; x₂' = 2t; 3 = 2t;

2) 3 < 2t; t ϵ (1,5; +∞);

3) v₁ = 3; v₂ = 2t.

133.

x = t² + 1; x^' = 2t; x'(1) = 2; x'(2) = 4;

t₀ —? v = 3; 2t = 3; t₀ = 1,5.

134.

t ≥ 0; t₀ = 4c;

Після 4 c точка рухається за законом x = kt + m,

х(4) = 2, m — ?

135.

1) A(1; 1).

2) B(4; 2).

3) x₀ > 0.

136.

1) x₀ = -1. tgα = -1, α = 135°;

2) α = -30° або α = 150°.

137.

у = x², у' = 2х. Рівняння дотичної до графіка функції у = y'(х₀) × (х - х₀) + y₀.

y'(х₀) = 2х₀,

1) x₀ = 2, y₀ = 4; у = 4(х - 2) = 4; у = 4х - 4;

2) x² = х; x² - x = 0; х(х - 1) = 0;

x₁ = 0; x₂ = 1; y'(x₁) = 0; y'(x₁) = 0; у₁ = 0; у'(x₂) = 2.

у = 0 × (х - 0) + 0, y = 0 — рівняння першої дотичної;

y = 2 × (х - 1) + 1, у = 2х - 1 — рівняння другої дотичної.

3)y'(x₀) = Ig 135° = - 1; x₀ - ?

2х = -1;

4) у = 1 - х, k = -1; y'(х₀) = -1;

138.

1) v₁ > k; k > 0, v₂(2) = 0,v₁(2) > v₂(2); v₁(3) < v₂(3);

2) v_1сер. = v_2сер.

3) друга точка змінила напрям руху в момент t= 2 с.

4) v ₁(t) > 0, t > 2; .v₂(t) > 0, t > 2; t ϵ (2; +∞).

139.

x₀ = 4, y₀ = 2·

1)

Рівняння дотичної

4y = x + 4.

Дана пряма 4у - x = 4. Дотична і пряма збігаються.

2) Пряма у= 4х + 1, k = 4. Дотична

Пряма: і дотична перетинаються.

142.

1)

2)

143.

y = 2х⁴ - 5x³ + 2х - 5.

1) y = 8х³- 15х² + 2;

2)

3) y = х(х³ + 4х² + х - 2) = x⁴ + 4х³ + x² - 2х; у' = 4х³ + 12х² + 2х - 2;

4)

5)

6) у = (х² + 1) × (5х - 3) = 5х³ - 3х² + 5х - 3; y' = 15x² - 6х + 5;

7)

у' = -6Х² + 3х + 1;

8)

9) х₀ = 0;

y'(0) = -2;

10)

11)

12)

13) у = x × (cos x + 1); у' = 1 × (cos х + 1) + х × (-sin х) = cosx - х sin х + 1;

14)

15)

16) у = In 3 × 3^x; y' = In 3 × 3² × In 3 = (In 3)² × 3²;

17)

18)

19) x₀ = 1;

In 1 = 0, f'(x₀) = 1;

20) у = Ig x + 2х;

21) у = ln(-х);

22) у = log₂(3- 2х), x₀ = 1;

23) y = 10^2x-1; у' = 2 × 10^2x-1 × In 10.

144.

y = 2х³ - 2х² + x - 1.

1) x₀ — ? у'(х₀) = 1; y' = 6х² - 4х + 1; 6х² - 4х + 1 = 0 + 1; 6х² - 4х = 0; x₁ = 0,

А(0; -1).

2)x — ? у'(х₀) = 3; 6х² - 4х + 1 = 3; 6х² - 4х - 2 = 0; Зх² - 2х - 1 = 0; x = 1,

А(1; 0),

145.

1) х = 1- 0,1^t, t₀ = 3. x'(t) = -(0,1)t × In 0,1;

х'(3) = -(0,1)³ × (-In 10) = In10 × 0,001 = 0,0023;

2)

146.

у = x² × In х.

у'(1) = 1; tg α = у'(1) =1; tg α = 1;

147.

y = 3 cos x + 2 sin х; у' = -3 sin х + 2 cos х, x₀ = 0, у₀ = 3;

1) у'(0) = 2. Рівняння дотичної: у = y'(0) × (х - x₀) + y₀;

y = 2 × х + 3; у = 2х + 3;

2) у' = -3 sin x + 2 cos х; y₀ = 2,

Рівняння дотичної:

3).

Рівняння дотичної:

148.

α = 135°, tg 135° = -1; tg 135° = y'(x₀); -1 = y'(x₀); x₀ - ?

(x - 2)² = 4; x - 2 = 2; x₁ = 4, x₂ = 0;

A(4;3); y₂ = -1,B(0; -1).

149.

у = x² - 3х + 2; y' = 2x- 3.

1) y'(0) = -3; x = 0, у = 2. Рівняння дотичної: у = -3 × x + 2.

2) x — ? x² - 3х + 2 = 0; х ₁ = 1, x₂ = 2, у₁ = 0, у₂ = 0.

у'(x ₁) = -1, рівняння дотичної; у = -(х - 1) = -х + 1.

у'(x₂) = 1, рівняння дотичної у = x- 2.

3) у = x² - 3х + 2; у' = 2х- 3.

x — ? x² - 3х + 2 = x² - 1; -3х + 2 = -1; -3х = -3; x₀ = 1,

у₀ = 0; у'(1) = -1; у = -(х -1). Рівняння дотичної: у = -х + 1.

150.

t ≥> о.

1) x'(t) = 2t³ — 2t (м/с) = v(t);

2) t — ? х'(t) = 0; t³ - t = 0; t(t - 1)(t +1)=0; t₁ = 0 с, t₂ = 1 с, t₃ ≠ -1, t > о.

3) х = о, t —?, t²(t² - 2) = 0; t₁ = 0,

v(0) = 0 м/с;

4) v''(t) = 6t² - 2; t₀ =1; v''(t₀) = 6 - 2 = 4; v"(1) = 4 м/с².

151.

x = 2 sin πt, t ≥ 0.

1) v = 2π cos πt;

v(1) = 2πcosπ = -2π м/с.

2) t— ? v(t) = 0; 2π cos πt = 0; cos πt = 0;

n = 0,1,2,3,4,...

3) v(t) = 2π cos πt ≤ 2π, якщо cos πt =1; πt = 2πk, t = 2k,k = 0, 1, 2, 3, ...

4) v'(t) = -2π² sin πt = (-π²) × 2 sin πt; v'(t) = (-π²) × x(t), k =-π².

152.

x = 2t³ — 3t² - 12t + 1, t ≥ 0.

1) v = x'(t) = 6t² - 6t - 12 = 6(t² - t - 2);

v'(t) = (6 × (t² -t - 12))' = 6 × (2t - 1);

v'(3) = 6 × (0 - 1) = 30 м/c²;

2) t—? v'(t) = 0; 6 × (2t - 1) = 0;

153.

1)

2)

3) x ≥ -2; x ϵ [-2; +∞);

4) x ϵ [-1; 0) (0; +∞).

154.

1) функція непарна;

2) функція непарна;

3)у = е^-2х + е^2х; у(-х) = е^2х + e^-2x = у(х), функція парна;

4) у = x² + 1; y(-x) = (-х)³ + 1= -х³+ 1 ≠ ± у(х), функція ні парна, ні непарна.

155.

1) у = sin 2х; T = π;

2) T= 3π;

3) Τ=2π:

4) y = tg x ×ctg x; у = 1,якщо

156.

y = log_0,5x,y = e^x, y= 1 - x,

Серед цих функцій зростаючі — це у = е^x та

у своїй області визначення.

157.

1) f(x) = x³ + 2x + 1, D(f): x ϵ R.

Функція зростає, якщо її похідна є невід’ємною.

Знайдемо f'(x). f'(x) = 3х² + 2 > 0, x ϵ R, тобто f(x) — зростаюча.

2) f(x) = 1 + 2x + sin х, D(f): х ϵ R.

f'(x) = 2 + cos x > 0, тому що |cos х| ≤ 1. f(x) зростає всюди.

158.

1) у = 2х³ - 3х² - 72х + 6, D(f): х ϵ R. у' = 6х² -6х - 72.

Знайдемо нулі похідної: 6(x² - х - 12) = 0; x₁ = 4, x₂ = -3.

Розіб^’ємо область визначення функції на інтервали і

визначимо знаки похідної на кожному з інтервалів.

Функція зростає на проміжках (-∞; -3] і [4; +∞) (f'(x) ≥ 0).

Функція спадає на проміжку [-3; 4] (f'(x) ≤ 0).

2) у = 9х⁴ — 16x³ + 6х² + 3, D(y): х ϵ (-∞; +∞),

у' = 36x³ — 48x² + 12x = 0; 12x(3x² — 4x + 1) = 0; x₁ = 0;

x₂ = 1;

Функція зростає на проміжках

і [1;+∞) (y' ≥ 0).

Функція спадає на проміжках (-∞; 0] і

3) D(y): x ϵ R. x = ±1.

Функція спадає на проміжках (-∞; -1] і [1;.+ ∞) (у' ≤ 0).

Функція спадає на проміжку [-1; 1] (y' ≥ 0).

4) у = x³ + 2х² - 4х +1, D(y): x ϵ R.

у' = 3х² + 4х - 4 = 0;

x₁ = -2;

Функція зростає на проміжках (-∞; -2] і (у' ≤ 0).

Функція спадає на проміжку (y' ≤ 0).

5) y = 3x⁴ - 5x³ + 2, x ϵ R. у' = 12х³ - 15x² = 3х²(4х - 5) = 0;

x₁ = 0;

Функція спадає на проміжку (y' ≤ 0).

Функція зростає на проміжку(y' ≥ 0).

6) у = (х + 3)(x — 1), D(y): x ϵ R. у = (х + 3)(x² - 2х + 1) = x³ + х² - 5х + 3;

у' = 3х² + 2х - 5 = 0; x₁ = 1;

Функція зростає на проміжках і [1;+ ∞) (у' ≥ 0).

Функція спадає на проміжку (у' ≤ 0).

7) у = 1-(х - 5)х³ = 1 + 5х³ — x⁴, D(y): х ϵ R.

y' = 15x³ - 4х³ = x²(15 - 4х) = 0; x₁ = 0;

Функція зростає на проміжку (y' ≥ 0).

Функція спадає на проміжку (у' ≤ 0).

8) у = е^х - x + 1, D(y) ϵ R. у' = e^x - 1 = 0; х = 0.

Функція спадає на проміжку (-∞; 0] (у' ≤ 0).

Функція зростає на проміжку [0; +∞») (y' ≥ 0).

9) у = xe^x, D(y): x ϵ R. у' = е^x + хе^х = е^x(х + 1) = 0; x = -1.

Функція спадає на проміжку (-∞; -1] (у' ≤ 0).

Функція зростає на проміжку [-1; +∞) (у' ≥ 0).

10) у = x(ln x - 2), D(y): x ϵ (0; +∞).

x = e.

Функція спадає на проміжку (0; е) (у' ≤ 0).

Функція зростає на проміжку (е; +±) (y' ≥ 0).

11). D(y): t ϵ R. t² + 2t - 3 = 0;

t² + 2t -3 = 0; t₁ = -3, t₂ = 1.

Функція спадає на проміжках (-∞; -3] і [1; +∞).

Функція зростає на проміжку [-3; 1] (y' ≥ 0).

159.

1) 3 малюнка 123 видно, що f(x) = 0 при x = 0 I x = 1. (Дотична до графіка функції

в цих точках горизонтальна.) Тобто 2 корені: x₁ = 0, x₂ = 1.

2) f(x) < 0 (функція спадає). З малюнка видно, що ця умова виконується на проміжках (-2; 0) (1; 3).

160.

Функція зростає на проміжку [-2; 1] (y' ≥ 0) і спадає на проміжку [1; 2] (у' ≤ 0).

161.

1) Наприклад, f'(x) < 0, f(x) — спадає; f'(x) = 0, f(x) — стала.

2) Дивись рисунок

162.

4х⁵ + x³ + 5 = 0.

Розглянемо функцію у = 4x⁵ + x³ + 5, D(y): х ϵ R. Її похідна у' = 20х⁴ + 3x² ≥ 0 (x ϵ R), тобто функція монотонна (зростаюча), отже, рівняння 4х⁵ + х³ + 5 = 0 має не більше, ніж один корінь. Неважко перевірити, що х = -1 є коренем даного рівняння.

163.

1) f'(x) > 0, х ϵ (-4; -3) і (-1; 4);

2) f'(x) < 0, x ϵ (-3; -1) і (4; 6);

3) f'(x) = 0, x = -3, х =-1, x = 4.

4) Точку екстремуму: x₁ = -3, у_max = -1; x₂ = -1, y_min = -3; x₃ = 4, y_max = 1.

5) Таких точок немає.

1) f'(x) > 0, х ϵ (0; 2);

2) f'(x) < 0, х ϵ (-3; 0) і (2, 4)

3) f'(x) = 0,x = 0.

4) Точки екстремуму: x₁ = 0, у_min = -2; x₂ = 2, у = 0.

5) y'(x) нe існує, x = 2.

164.

1) у = x³ - 2х² + 7x + 3, D(у): х ϵ R.

y' = 3х² - 4х - 7=0;

x₂ = -1.

2) у = x³ + x² - 5x + 4, D(y): x ϵ R.

у' = 3х + 2х - 5 = 0;

x₂ =1.

3) y = x⁴ - x³ + 7. D(y): x ϵ R.

у' = 4х³ - 3х² = 0; х²(4х - 3) = 0;

x_1,2 = 0

4) у-(1 + х)е^х, x ϵ R. у' = е^х + (1 + х)е^x = е^х(х + 2) = 0; x = -2.

5) у = In x - 3x, D(y): х ϵ (0; +∞).

6) x є (-∞; 0) (0; +∞).

x = -1.

7) x ϵ (-∞; 0) (0; +∞).

x = ±2.

8) у = 2х In x, D(y): x ϵ (0; +∞). у' = 2(ln х + 1) = 0; In х = -1;

9) x ϵ R. x = 1.

165.

1) D(y): х ϵ R.

у' = 5х² + 4x + 1 = 0;

D< 0, дійсних коренів немає і 5х² + 4x + 1 > 0, x ϵ R.

Функція всюди зростає, екстремумів немає,

2) у = 2 x + sin х, x ϵ R. у' = 2 + cos х > 0 всюди, тому |cos x| < 1.

Екстремумів нема. Функція всюди зростає.

166.

1) Критичні точки x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = 3.

2) g(3), тему що x = 3 — точка максимуму.

На проміжку [2; 3] у' > 0, тому функція зростає і g(3) > g(2).

167.

1) у = х³- 3х.

1. D(y): x ϵ R.

2. Непарна, у(-х) = -х³ + 3x = -(х³- 3) →симетрія відносно начала координат.

3. Неперіодична.

4. у = 0, х(х² - 3) = 0, x₁ = 0,

5. y' = 3х² - 3 = 3(х² - 1) = 0О, x = ±1.

2) у = 3x² - x³.

1 .D(y): x ϵ R.

2. Загального виду.

3. Неперіодична.

4. у = 0, х²(3 - х) = 0, x₁ =0,x₂ = 3.

5. у' = 6x - 3х² = 0,3х(2 - х) = 0, x = 0, х = 2.

4) y = x⁴ - 2x² + 1, у = (x² - 1)².

1. D(y): x ϵ R.

2. Парна, f(-x) = f(х), графік симетричний відносно вісі Oy_.

3. Неперіодична.

4. у = 0, x = ±1, у ≥ 0.

5. y' = 2(х² - 1) × 2x = 4x(x² - 1) = 0, x₁ = 0, x_{2 3} = ±1.

5) у = 2x⁴ - 8х.

1. D(y): x ϵ R.

2. Загального виду.

3. Неперіодична.

4. у = 0, 2х(х³ - 4) = 0, x₁ = 0,

5. у' = 8х³ - 8 = 8(x³ -1) = 0, x = 1.

6) у = х³(3х - 4) = 3х⁴ - 4х³.

1. D(y): x ϵ R.

2. Загального виду.

3. Неперіодична.

4. у = 0, x₁ = 0,

5. у' = 12x³ — 12x² = 12x²(x -1) = 0, x₁ = 0, x₂ = 1.

168.

x = (t - 3³)(t - 1) - 1, t ≥ o.

v(t) = x'(t) = 3(t - 3)²(t - 1) + (t - 3)³ × 1 = (t - 3)²(3t - 3 + t - 3) = 2(t - 3)²(2t -3);

v(t) = 2(t - 3)²(2t - 3), t ≥ 0;

v'(t) = 2; (2(t - 3)(2t - 3) + (t - 3)² × 2) = 4(t - 3)(2t - 3 + t - 3) = 12(t - 3)(t - 2);

v'(tί) = 0; t = 2, t = 3.

168.

x = (t - 3)³(t - 1)- 1.

t = 0, x = 26.

x' = 3(t - 3)²(t - 1) + (t - 3)² × 1 = 2(t - 3)(2t - 3) = 0; t₁ = 3,

169.

X³ - 6X² + 9X = 4.

Розглянемо функцію у(х) = x³- 6x² + 9x.

Побудуємо її графік. у = 0: х(х² - 6х + 9) = 0, x₁ = 0, x₂ = 3.

у(х) = х(х - 3)².

у' = 3x² - 12х + 9 = 3(х² - 4х + 3) = 0, x₁ = 1, х₂ = 3.

Графік правої частини рівняння є пряма у = 4.

Вона перетинає графік лівої частини рівняння

у = x³ — 6x² + 9x в двох точках x = 1і x = 4.

Отже, рівняння має 2 корені: х = 1, x = 4.

170.

1) y _найб. = 1 при x = 1, y _найм. = 0 при x = 0;

2) y _найб = 2 при 2 ≤ х ≤ 3, y _найм. =1 при х = 4;

3) y _найб = 5 при x = 8, y _найм. = 3 при х = 5 і х = 7;

4) y _найб. = 4 при x = 6, y _найм. =0 при X = 0.

171.

1) у = 3х - 2, y' = 3 ≠ 0, y _найм. = y(-1) = -5, y _найб = y(3) = 7;

2) y = 2 - 3х, у' = -3 ≠ 0, y _найм. = y(3) = -7, y _найб = y(-1) = 5;

3) y = x² - 6x + 8, y' = 2х - 6 = 0, х = 3 ϵ [1,4].

y _найб = 3 при x = 1, y _найм.= -1 при x = 3.

4) у = х² - 6х+ 8, y' = 2х - 6 = 0,

y _найб = 3 при x = 1. y _найм. = 0 при x = 2.

5) y' = х² + 2х - 3 = 0, x₁ =-3, x₂= 1.

при x = 4; при x = 1.

6)

y' = x²+ 2x - 3 = 0, x₁ = -3 ϵ [-4; 0],

y _найб = 10 при x = -3, y _найм. = 1 при х = 0.

7) y = cos x + sin х; y' = -sin х + cos х = 0| : cos х; tg х= 1;

y _найм. = 1 при x = 0,

8) y = tg x +2x;

при

при

9) y = xe^x. y' = e^x(1 + x) = 0,x = -1 ϵ [-2; 0].

y _найб = 0; при x = 0; при х = -1.

172.

t ≥ о

1) x(0) =-5;

x _найм. = -5.

2) v = x'(t) = -2t² + 3t + 2. t — ?

v(t) = 0. -2t² + 3t+ 2 = 0; 2t² — 3t - 2 = 0; t₁ = 2,

— не задовольняє умові.

v' = -4t + 3. t — ? v'=0,

173.

1)

S = x × (160 - x) =- x² + 160х. S _найб. - ?

S' = -2x + 160; 160 - 2x = 0; x = 180. Розмір ділянки: 80 x 80.