Розв’язання вправ та завдань до підручника «МАТЕМАТИКА» О. М. Афанасьєва 11 клас - 2011 рік

Розділ 4. Інтеграл та його застосування

175.

1) F(x) = 9x² - 2х +1?

F(x) — первісна для функції у = f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується співвідношення F'(x) = f(x).

Дійсно, F'(x) = 18х - 2 = 2(9х - 1) = f(x), -∞ < х < +∞, що й треба було довести.

2) аналогічно. 0 < х < +∞.

3) 1< x < +∞

4) F(x) = х × е^х; F'(x) = 1 × е^х + х × е^х = е^х(1 + х) = f(x), -∞< x < +∞·

5)

176.

1) y = 5; F(x) = 5x + С, тому що F'(x) = (5х + C)'= 5 = у(х);

2) аналогічно, у = х⁷;

3) y = x^-3;

4)

5) F(x) = In |х| + С;

6)

7)

8)

9) y = 3^x;

10) у = 3^-x;

11) у = е^x; F(x) = е^x + С.

177.

За даним графіком функціональна залежність є F(x) = -2x + 2.

Вся множина первісних F(x) = -2х + С.

178.

1) g(x) = x + с|_x=1 = 1 → С = 0; g(x) = x

2)

3)

4) g(x) = е^x - 3;·

5) g(x) = In |x| + 2.

Відповідь: 1) x; 2) 3) 4) е^х -3; 5) In |x| + 2.

179.

1)

2) f(x) = In |x| - 1.

180.

1) v(t) = t² = x(t);

2) аналогічно,

181.

v(t) = sin t = x'(t);

182.

Первісні:

Для першої первісної х = 4, у = 1:

Для другої первісної x = 1,

Графік другої первісної розташований вище графіка першої первісної.

Графік першої первісної можна одержати із графіка другої паралельним перенесенням на 1,5 одиниці у від’ємному напрямі вздовж осі Oy.

183.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) F(x) = x⁴- 2x² + С;

8)

9) F(x) = -4 sin x - 5 cos x + 0,3x + С;

10)

11)

12) y = 3^x + 1;

13)

14)

15)

16)

184.

1)

2) F(x) = -3 ctg x;

3) F(x) = x² - 5e^x + 7;

4)

5) F(x) = x³-In |x| + 1;

6) F(x) = e^x + sin x, F(x) = e^x — cosx - 3;

7) f(x) = cos x;

185.

1) y = 1.

2) y = 2x + 1.

186.

F' = 2 — 3x = 0; F _найм. на [0; 1].

F_найм. = C = 5 (з умови задачі), тому

187.

1) v(t) = x'(t) = t² - 3t + 2;

2) x(t) = t - 3 cos t - 2π;

3)

188.

1) Із малюнка 133

a) v(t) = kt + 6; t = 0, v = 30 → b = 30;

t = 5. v = 0 → 0 = 5k + 30 → k = -6 i v(t) = -6t + 30 = x'(t);

x(t) = -3t² + 30t - 1.

2) Із малюнка 133

б) t = 0, v = 20 → b = 20;

t = 4,v = 40 →40 = 4tk + 20, k = 5 i v(t) = 5t + 20 = x'(t);

I

189.

1) (з умови), тоді у = x² - In |x| + Cl_x=1 = 5 → C = 4;

y = x²- ln |x| + 4;

2)

3)

190.

191.

1) Приріст функції Δf = f(x₀ + Δх) - f(x₀) = (1 + 2)³ + 1 - (1² + 1) = 8; Δf= 8.

2) Δf = -1,5.

192.

F(X) = sin x + С.

1)

2)

3)

Прирости однакові.

193.

v(t) = 2t + 1 (з умови). Прискорення a = v'. a = 2 м/с².

194.

Рисунки.

1)

2)

3)

195.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

196.

1) x = 1, x = е, у = 0,

2) у = 2^x,у = 0, х = -1, x = 1.

3) у = x², x = -1, x = 2, у = 0.

4) у = sin х, у = 0, x = 0, x = π.

197.

198.

в даному випадку

Відповідь: s = 2 м.

199.

Із графіка

1)

Відповідь: 1) 3 м; 0,75 м; 2 м; 2)

200.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

201.

1)

2)

3) v(t) = 4t -t² = 0,t(4 - t) = 0, t₁ = 0, t₂ = 4,

тому

202. v = 20 - 4t = 0 → t = 5, тому

203.

1)

2) v₁ = 2 cos t = 0,

204.

1) x² —x + 1 = 1; х² - x = 0; х(х - 1) = 0;

A(0; 1), B(1; 1);

2) |2х - 3| = 3; 2х -3 = ± 3;

A(0; 3), B(3; 3);

3)

A(0; 0), B(1; 1);

4) 2^х = х + 1.

Графічно знайдемо корені:

A(0; 1), B(1; 2).

205.

1) у = |2х - 3|.

2)

206.

1)

2)

Використовуючи симетрію фігури

3)

Згідно з симетрією фігури

4)

5)

6)

7)

207.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Враховуючи симетрію фігури

7)

Враховуючи симетрію

8)

9)

Згідно симетрії фігури

10)

11)

1 спосіб:

2 спосіб:

12)

Згідно симетрії фігури

208.

Рівняння дотичної у = у₀ = у'(х₀)(х - х₀); x₀ = 1, y₀ = -1.

y +1 = х - 1, у = х - 2.

209.

Первісна F(x) для функції f(x) = 2х - 4; F(x) = (2х - 4)dx = x² - 4х + С.

Графік F(x) проходить через т. А(0; 4), тому C = 4. F(х) = x² — 4x + 4 = (х - 2)².

210.

Рівняння параболи: y = ax² + bx + T; x₁ = -0,5; x₂ = 0,5;

а = 2,4. x = 0, у = 0, y =-0,6; у=2,4 х² - 0,6.

Друга парабола: х = 0, у = с = 2, b = 0,

Площа

211.

Знайдемо рівняння параболи. у = ах² + bх + Т.

х = 0,у = Т= 1. Корені x₁ = -6, x₂ = 6.

Маса опори за приведеною формулою:

m = р × S × d = 7,8 × 10³ × 8 × 0,01 = 624.

212.

1)

2)

Пояснення: швидкість руху змінюється за законом

Графік приведено на малюнку, з якого видно, що на інтервалі [1; 2]

швидкість додатна, а на інтервалі [2; 3] — від’ємна

і тіло рухається в протилежному напрямі, а пройдені шляхи складаються.

213.

214.

215.

216.

Швидкість гармонічного коливання змінюється за законом

Графік приведено на малюнку.

1) Неважко помітити, що на проміжку |0; 8] швидкість додатна і точка рухається в одному напрямі, а на проміжку [8; 16] швидкість від’ємна і в момент t = 16 с точка повернеться в початкове положення, тобто переміщення дорівнює нулю.

2)

217.

Згідно із законом Гука F = kx. Для знаходження коефіцієнта k скористаємось

умовою задачі, тобто

Робота для розтягування пружини на 3 см дорівнює

218.

1)

2)