Розв’язання вправ та завдань до підручника «МАТЕМАТИКА» О. М. Афанасьєва 11 клас - 2011 рік

Розділ 2. Вектори і координати

74.

1)

2) B i C, A i D;

3)

4)

75.

76.

I — паралелограм.

77.

— паралелограм

80.

1)

2)

3)

81.

1)

2)

3)

4)

82.

1) φ = 60°.

2) φ = 180°, cos 180^° = -1.

3) φ = 42°.

4) φ = 17°12'.

83.

α ≈ 34°.

84.

1)

2)

3)

4)

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх сторін паралелограма.

85.

ΔАСD: довжина сторони AC не більше суми сторін AD i DC:

Довжина відрізка AC не менше різниці відрізків AD i DC:

86.

1) рівнобедрений, тоді

BD — медіана і

2) Нехай Тоді діагоналі паралелограма, побудованого на векторах

перпендикулярні. Отже це — ромб, в нього сторони рівні

Інше доведення:

1.

Маємо:

2.

87.

ABCDA₁B₁С₁D₁ — куб, AB = а.

1)

а)

б)

в)

2)

3) ∠ (AC₁, CB₁) = φ

Додаткова побудова: продовжимо BB₁ за точку B₁ на відрізок, рівний BB₁,

де BB₁ = α. ΔABB₂: BB₂= 2а,

ΔAB₂C₁:

ΔAC₁B₂ = 90°.

Кут дорівнює 90°.

88.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — паралелепіпед. AB = AD = AA₁ = 1. AA₁ ┴ (ABC), ∠BAD = 60°. DB -? φ = ∠ (DB1, BD) = ?

BB₁D₁D — квадрат. DB₁ ┴ BD₁, ∠ DOD₁ = 90°,

ABCD — ромб. BD =AD = AB = 1.

89.

1)

2)

90.

1)

2) α = 22°, β = 570°.

3) α = 26°, β= 146°.

91. де

1)

де

2)

92.

- довільний вектор площини α.

Довести:

Доведено: якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині і проходять через точку перетину даної прямої з площиною, то ця пряма перпендикулярна до площини.

93.

BP = PC.

1)

2)

94.

M ϵ DD₁, DM = D₁M; N ϵ CC₁, CN = C₁N; P ϵ BC₁,

BP = PC₁;

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

95.

Α(1;-3).

1) А ϵ IV;

2) -3;

3) 3;

4)

5) точка А₁ симетрична точці А( 1; -.3) відносно осі Ох, А(1; 3).

точка А₂ симетрична точці А(1;-3) відносно осі Oy, А₂(-1; -3).

точка А3₁ симетрична точці А(1;-3) відносно точки О(0; 0; 0).

6) Точка В симетрична точці А(1; -3) відносно бісектриси третього квадрата,

В(- 3; 1).

96.

1)

2)

3)

4)

5)

97.

a)

ABCD — паралелограм. ∠ DAB = 60°, AD = 4, AB = 3.

А(0; 0); D(4; 0).

б)

AB = 6, AD = 5, DC = 2, ∠ DAB = 45°, ∠ ADC = 120°.

А(0; 0); D(5; 0).

98.

А(-3; 1; 2).

1) Пр_Ох A = -3; Пр_Оy A = 1; Пр_Ох А = 2.

2) (-3; 1),(-3; 2),(1; 2);

3) Р_А,_хy = 2, Р_А,_хz = 3.

99.

ABCDA₁B₁C_iD₁ — куб. DA = DC = DD₁ = 1.

1) В(1; 1; 0), С( 1; 0; 0), C₁(1; 0: 1);

2) CE = EC₁,

3) В₁(1; 1; 1). Точка D найбільш віддалена від точки В.

4) M(1; 0; 5) зовні куба. усередині куба.

на поверхні куба.

100.

Розглянемо всі точки координатного простору, у яких х = а, а — число, у і z — задовільні числа.

x = а незалежно від у і z. Всі такі точки простору знаходяться на відстані а від координатної площини уz, вони заповнюють площину, паралельну площині уz, або збігаються з площиною уz, якщо х = 0, а = 0.

101.

A(-1;3; 1)

В(-3; 2; 4)

С( 1; 1; 4)

1)

2)

3) М(х; у; z) — ?

М(- 5; 4; 1).

102.

А(1; -2; -1)

В(-2; 1; 1)

C(1; -2,-3)

1)

2)

3) N(x; у; z) — ?

N(4; -1; 1).

103.

А(-1; 3; 2), В(-2; 4; 0), М(1; 1; -3), N(0; 5; 0), Р(-3; 0; 2), Q(2; -1: 4):

1)

2)

104.

А(5; 1;- 2)→В(6; 3; 3)

1) С(1; 0; 1), C ₁ (x;y;z);

2) D(-3; 2; 1), D₁(x; у; z);

D₁(-2; 4; 2).

105.

1)

2)

3)

Х² + у² + z²= 1.

-2х + 4у + 2z = 0;

-x - 12у — 6z = 0;

або

106.

1)

2)

107.

1) φ = 30°,

3) φ = 90°, OA = 8 × cos 90° = 0;

4) φ = 120°, OA = 8 × cos 120° = -4.

108.

109. Паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, А(3; 0,; 2), В(2; 4; 5),

А ₁ (0; 3; 1), D₁(7; 1; 2); D(x;y; z).

1) D(5; -2; 3);

2) В₁(х; у; z);

y = 7; z = 4, В ₁ (4; 7; 4).

3) С₁(х; у; z); А(3; 0; 2).

С ₁ (6; 5; -1).

110.

А(4; 0; -3), В(8; 0; 1), С(2; 0; -1), D(-2; 0; 3);

1)

φ = 135°.

2)

3)

Колінеарні.

4) М(х; 0; 0). або

BM² = CM²; (х - 8)² + 0² + (-1)² = (х — 2) + 0² + 1²;

x2 - 16х + 64 + 1 = x² - 4х + 4 + 1; 12х = 60; x = 5, M(5: 0; 0).

5)

6) ABND — паралелограм.

N(х; у; z).

M(2; 0; 7).

111.

А(-2; 2; 0), В(0; 1; 1), C(4; 2; 0),D(1; 1; 1).

1)

cos φ = -1; φ = π; φ = 180°;

2)

не є перпендикулярними.

3)

не є колінеарними.

4) М(0; у·, 0), AM = CM, у — ?

AM² = CM²; 4 + (у - 2)² = (-4)² + (у - 2)² неможливо.

На осі ординат не існує точки, рівновіддаленої від точок А і С,

5)

3 = α × 6,

6) ABCM — паралелограм.

Μ(2; 3; -1).

112.

1) або

2) де

3) р - ? де p = 3.

4) р - ? p = -2·

113.

1) A(-3; 1), В(1; 3), С(2; 1), D(-2; -1);

ABCD — паралелограм, ABCD — прямокутник.

2) А(-1: 2; 4), В(1; 0; 2), С(2; -3; 0), D(0; -1; 2);

— паралелограм.

114.

А(1; -1; 1), В(1; 3; 1), С(4; 3; 1), D(4; -1; 1);

ABCD - прямокутник.

115.

Сфера (х + 3)² + у² + (z - 1)² = 16.

1) А(-3; 1; 5), 0²+ 1² + 4² ≠ 16.Точка А не лежить на сфері.

2) Центр сфери С(-3; 0; 1). В(-5; 2; 0),

3) (х + 5) + (y — 2)² + z² = 16.

4) C₁ симетрична точці С(-3; 0; 1) відносно площини yz.

С₁(3; 0; 1). (х - 3)² + у² + (z - 1)² = 16.

116.

х² + (y + z) + (z - 3)² = 16.

1) A(0; -2; 7); 0 + (-2 + 2)² + (7 - 3)² = 16. Точка А лежить на сфері.

2) Центр сфери С(0: -2; 3), M(1; 0; -2).

3) x² + (у + 2)² + (z - 3)² = 9.

4) z² + (y + 2)² + (z + 3)² = 16.

117.

α: 3x + 4y - z = 1. A(1; -1; 2), B(2; 3; -5), C(-1; 3; -2).

1) 3 × 1 + 4 × (-1) - 2 = -3; -3 ≠ 1. Точка не лежить з площині α.

2)

С(0; 0; -1). С(0; 0; -1).

3) B(2; 3; -5),

β: -2x + 4y - 4z + k = 0, k — ?

B ϵ β → -2 × 2 + 4 × 3 - 4 × (-5) + k = 0; k = -28;

β: -2x + 4y — 4z - 80 = 0 | : (-2); x — 2y + 2z + 14 = 0;

4) α та β перетинаються.

5)

118.

α: x — 2y + 3z = 2. А(2;-1; 3), B(1; 0; -1), C(-1; 2; 1).

1) -1-2 × 2 + 3 × 1 = -2. Точка C не лежить в площині α.

2) A(2; 0; 0); B(0; -1; 0);

3)

β: -2x + 2y + 2z + m = 0; - 2 × 2 + 2 × (-1) + 2 × З + m = 0, m = 0;

β: -2x + 2у + 2x = 0 | : (-2);

β: x — y - z = 0.

4) Площини а і β перетинаються.

5)

кут між площинами α ί β дорівнює 90°.

119.

α: A × x + B × y + C × z + D = 0. Α(a; 0; 0), B(0; b; 0), С(0; 0; с).

A — ? В — ? C — ? D — ?

А × a + D= 0; B × b + D = 0;

C × c + D = 0;

120.

x = t²*+1.

1) t ϵ [1; 1,1]. x₂ = (1,1)² + 1; x₁ = 1² + 1.

t ϵ [1; 1,01]. x₂ = (1,01)² + 1; t₂ = 1,01; x₁ = 1² + 1; t₁, = 1.

t ϵ є [I; 1,001]. t₂ = 1,001; t₁ = 1; x₂ = (1,001)² + 1; х ₁ = 1² + 1.

2) v = x' = 2t, v(1) = 2.

121.

122.

123.

x = 5t + 1, v₁' = 5; х =7t - 3, v₂' = 7;

124.

1)

2) v = s' = gt. v(1) = g, v(1) = 9,8 м/с; v(10)= 10g, v(10) = 98 м/с.

126.

Функція не існує в точці х = 0.

Функція не існує в точці х = 0.