Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 1. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

§ 7. Координати вектора. Дії над векторами, що задані координатами

Завдання 5

1.

Запишемо координати вектора:

1)

2)

3)

4)

2.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3.

1)

Запишемо розклад за координатними векторами:

2)

Запишемо розклад за координатними векторами:

3)

Запишемо розклад за координатними векторами:

4) Знайдемо координати векторів :

Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад за координатними векторами:

5) Знайдемо координати векторів

Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад за координатними векторами:

4.

1) Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад вектора за координатними векторами:

2) Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад вектора за координатними векторами:

3) Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад вектора за координатними векторами:

4) Знайдемо координати векторів

Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад вектора за координатними векторами:

5) Знайдемо координати векторів

Знайдемо координати вектора

Запишемо розклад вектора за координатними векторами:

5.

1) Розглянемо трикутник ADC — прямокутний рівнобедрений.

DK - висота, а оскільки трикутник рівнобедрений, то DK є медіаною.

Знайдемо координати точки К — середини відрізка АС:

Знайдемо координати вектора

2) Основою піраміди є правильний трикутник ABC.

AD = BD = CD. Точка M є центром правильного трикутника ABC.

Скористаємось тим, що М — точка перетину медіан, а медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1.

Знайдемо координати точки L — середини відрізка АВ:

Знайдемо координати точки М:

Знайдемо координати вектора

3) DM — висота піраміди, DM перпендикулярна до площини ARC.

Отже вектор перпендикулярний До площини трикутника.

Знайдемо координати вектора

Отже вектор перпендикулярний площині ABC, а отже пряма,

проходить через точки D i Н перпендикулярна площині ABC.

6.

1) Знайдемо довжину вектора

координати вектора.

2) Знайдемо довжину вектора

координати вектора.

3) Знайдемо довжину вектора

координати вектора.

7.

1) Знайдемо

2) Знайдемо

3) Знайдемо

4) Знайдемо

5) Знайдемо

6) Знайдемо

8.

З’ясуємо, при якому значенні п довжина вектора буде дорівнювати 1.

n² + 0,25 + 0,25 = 1; n² = 0,5;

За умовами задачі

9.

Знайдемо довжину вектора

16 + 4 + m² > 36; m² > 16.

Оскільки треба знайти натуральне значення, то m > 4.

Найменше натуральне m = 5, при якому довжина вектора

буде більша за число 6.

10.

Знайдемо довжину вектора

m = 3 — найбільше натуральне значення m, при якому довжина

вектора буде менша за число 5.

11.

Щоб перевірити колінеарність, перевіримо пропорційність відповідних координат.

1) — вектори колінеарні;

2) — вектори не колінеарні;

3) — вектори не колінеарні;

4) — вектори колінеарні;

5)— вектори не колінеарні.

12.

Задані вектори колінеарні за умови пропорційності їхніх координат:

n = -1; m = -1.

13.

1) Вектори компланарні, оскільки

2) Вектори не компланарні, оскільки не існує таких чисел m і n,

щоб

3) Вектори компланарні, оскільки

4) З’ясуємо чи існують такі числа m і n, щоб

Запишемо рівність через координати векторів:

Вектори компланарні,

5) З’ясуємо чи існують такі числа m і n, щоб

Запишемо рівність через координати векторів:

Вектори компланарні.

6) З’ясуємо чи існують такі числа m і n, щоб

Запишемо рівність через координати векторів:

Вектори не є компланарними.

14.

1) Знайдемо

2) Знайдемо

3) Знайдемо

4) Знайдемо

15.

Знайдемо скалярний добуток векторів

1) З’ясуємо при якому m він дорівнює 1; m - 2 = 1; m = 3;

2) З’ясуємо при якому m він дорівнює 2: m - 2 = 2; m = 4;

3) З’ясуємо при якому m він дорівнює 0: m - 2 = 0; m = 2;

4) З’ясуємо при якому m він дорівнює -1: m - 2 = -1; m = 1.

16.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

17.

Знайдемо скалярні добутки

— отже вектор з віссю Ох утворює гострий кут;

— отже вектор з віссю Oу утворює тупий кут;

— отже вектор перпендикулярний до осі Oz.

18.

1) З’ясуємо при якому значенні n вектори будуть перпендикулярні, тобто їх

скалярний добуток буде дорівнювати 0.

-1 × 1 + 2n × (-1) + 0 × 2 = 0; 1 — 2 = 0; 2n = -1; n = -0,5;

2) Задані вектори колінеарні за умови пропорційності

їхніх координат:

Такого значення n, при якому вектори будуть колінеарні не існує.

3) З’ясуємо, чи існують такі значення m і р, при яких

Запишемо рівність через координати:

При вектори будуть компланарні.

19.

З’ясуємо при якому значенні m вектори будуть перпендикулярні, тобто

при якому m > 0 скалярний добуток буде дорівнювати 0:

m = -3, m = 2.

Оскільки за умовами m > 0, то при m = 2 вектори перпендикулярні.

20.

З’ясуємо при якому значенні m < 0 вектори будуть перпендикулярні,

тобто при якому m < 0 скалярний добуток буде дорівнювати 0.

m² + m - 6 = 0; m = -3, m = 2.

Оскільки за умовами m < 0, то при m = -3 вектори перпендикулярні.

21.

1) Знайдемо косинус кута між векторами i

Оскільки та маємо

2) Знайдемо косинус кута між векторами i

Оскільки та маємо

3) Знайдемо косинус кута між векторами i

Оскільки та маємо = 0. Отже вектори i перпендикулярні.

4) Знайдемо косинус кута між векторами i

Оскільки та маємо

22.

1) З’ясуємо при якому значенні n вектори і перпендикулярні,

тобто при якому n скалярний добуток дорівнює 0.

17n - 680 = 0; n = 40;

2) З’ясуємо при якому значенні n вектори і перпендикулярні,

тобто при якому n скалярний добуток дорівнює 0.

23.

та — числа, тому рівність буде виконуватися,

якщо вектори і колінеарні і ненульові.

24.

Розглянемо скалярні добутки:

с₁b₁ + с₂b₂ + с₃b₃ = с₁a₁ + с₂a₂ + с₃a₃ значить, b₁ = a_1, b₂ = a₂, b₃ = а₃, тобто

25.

Знайдемо кут між векторами і

Обчислимо

Тоді

Кут між векторами дорівнює

26.

Знайдемо скалярний добуток векторів і

Оскільки вектори рівні тоді оскільки вектори перпендикулярні

Знайдемо кут між векторами і

Отже кут між векторами і дорівнює 60°.

27.

Знайдемо кут між векторами і

Знайдемо скалярний добуток

тоді Куτ гострий.

З основної тригонометричної тотожності

Площу паралелограма обчислимо за формулою

2) Знайдемо кут між векторами і

Знайдемо скалярний добуток вектори перпендикулярні.

Обчислимо площу за формулою

28.

Розглянемо скалярний квадрат

29.

Розглянемо скалярний квадрат

Отже

Тоді

30.

Спростимо вираз

Оскільки ABCD правильний тетраедр

Отримуємо:

Оскільки ABCD — правильний тетраедр

а отже