Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 1. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

§ 5. Алгебра векторів

Завдання 3

1.

Побудуємо вектори

— одиничний вектор

2.

Побудуємо вектори

3.

Побудуємо вектори

4.

Побудуємо вектори

5.

6.

1) Побудуємо вектори

2) Побудуємо вектори

7.

Побудуємо вектори

8.

1) 2)

9.

Побудуємо вектори

Вектори та рівні.

10.

Накреслимо два ненульові вектори

Побудуємо

Побудуємо Таким чином,

11.

Побудуємо вектори

Вектори протилежно напрямлені.

12.

Побудуємо вектори

13.

1) Побудуємо паралелепіпед на векторах

Його діагональ — це вектор

2) Сумістимо вектори та побудуємо на них паралелограм,

його діагональ — це сума векторів.

3) Сумістимо вектори та побудуємо на них паралелепіпед,

його діагональ — це сума векторів.

4) Сумістимо вектори та побудуємо на них паралелограм,

його діагональ — це сума векторів.

14.

Отримані вектори рівні.

15.

1)Так, може. Якщо — довільні неколінеарні вектори або колінеарні однаково напрямлені ненульові вектори.

2) Так, може. Якщо — довільні колінеарні протилежно напрямлені.

3) Ні, не може.

16.

1) Якщо і вектори співнапрямлені, то х = 3.

2) Якщо і вектори протилежно напрямлені, то х = -3.

17.

1) Щоб вектори були рівними, повинні виконуватися умови:

Вектори рівні, якщо х = 1,5 і у = 0,5.

2) Щоб вектори були рівними, повинні виконуватися умови:

Розв’яжемо систему:

Вектори рівні, якщо х = 4 і у = -2.

18.

1) Щоб вектори були колінеарні, повинні виконуватися умови:

х² - x = 6; х² - x - 6 = 0; x₁ = 3, х₂ = -2.

2) Щоб вектори були співнапрямлені, повинні виконуватися умови:

Розв’яжемо рівняння: 6 = -Зх(1 - x);

6 = -3х + 3x²; 3x² - Зх - 6 = 0; х² - х - 2 = 0: х₁ = 2, х₂ = -1;

х = 2 — не задовольняє умові х < 0,

Отже, при х — -1 вектори співнапрямлені.

19.

Оскільки виконується рівність то

Вектор не можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів,

оскільки задані вектори компланарні.

20.

1) Вектори є компланарними.

2) Вектори не є компланарними.

3) Вектори є компланарними.

4) Вектори є компланарними.

21.

Оскільки то вектори компланарні.

22.

1)

2)

3)

4)

5)

23.

Тоді

24.

тоді

тоді

25.

Розкладемо вектор

тоді

Розкладемо вектор

тоді

Розкладемо вектор

26.

Розкладемо вектортоді

27.

1)

тоді

2)