Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 1. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

§ 8. Розв’язування задач координатно-векторним методом

Завдання 6

1.

1) Введемо прямокутну систему координат із початком у точці В і спрямуємо вісь Оx вздовж ребра BA, Oz — вздовж ВВ_1. Довжину ребра куба позначимо як а.

Тоді координати точок: А(а; 0; 0;); С(0; а; 0); R(а; а; 0); C₁(0; а; а).

Знайдемо координати векторів і

Знайдемо довжини векторів:

Знайдемо кут між векторами:

Кут між векторами і порівнює

2) Введемо прямокутну систему координат із початком у точці В і

спрямуємо вісь Ох вздовж ребра BА, Oz —- вздовж BВ₁.

Довжину ребра куба позначимо як а.

Тоді координати точок: А(а; 0; 0); D₁(а; а; а); В(0; 0; 0); D(а; а; 0);

Знайдемо координати точки Р — середини ребра DD₁:

Знайдемо координати векторів і

Знайдемо довжини векторів і і скалярний добуток:

Знайдемо кут між векторами:

Кут між векторами і дорівнює

Відповідь: 1) 60°; 2) 135°.

2.

Введемо прямокутну систему координат із початком у точці В

і спрямуємо вісь Ох вздовж ребра ВА, Оz — вздовж ВВ_1,

AB = a, AD = 2a, AA₁ = 3a.

Координати точок: В(0; 0; 0); D(a; 2а; 0); А(а; 0; 0); В₁(0; 0; За).

Знайдемо координати векторів і

Знайдемо довжини векторів і скалярний добуток:

Знайдемо кут між векторами

Оскільки кут між прямими не може бути тупим, то кут дорівнює

Відповідь;

3.

Знайдемо кут ОАС.

Для цього знайдемо координати векторів і та їх скалярний добуток

і довжини:

Тоді косинус кута між векторами

Скористаємось основною тригонометричною тотожністю cos²α + sin²α = 1, тоді

Відстань від точки А до прямої, що проходить через точки О і С,

це висота трикутника ОАС. Позначимо її AH.

Площа трикутника виражається формулою

З іншого боку

Знайдемо довжину вектора :

Маємо

Відповідь: 6.

4.

Знайдемо координати векторів

Знайдемо довжини векторів:

Та скалярний добуток

Знайдемо косинус кута ABC

Скористаємось основною тригонометричною тотожністю

cos² α + sin² α = 1

Площа ААВС: з іншого боку

Маємо

Відповідь: