Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Системи лінійних рівнянь
Системи лінійних рівнянь з двома невідомими

Якщо треба знайти спільні розв’язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь.

Розв’язок системи рівнянь з двома невідомими — пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь системи й знайти їхні спільні точки. Координати цих точок і є розв’язками системи рівнянь.

Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв’язок, не мати розв’язків, мати безліч розв’язків.

Приклади

Розв’яжіть графічно системи лінійних рівнянь.

1)  

Визначимо точки для побудови графіків кожного з рівнянь системи:

Побудуємо графіки й знайдемо точку їх перетину (рисунок нижче).

Відповідь: .

2)  

Побудуємо графіки (рисунок на с. 45).

Відповідь: розв’язків немає.

3)  

Прямі будуть збігатися.

Відповідь: система має безліч розв’язків, котрі описуються рівнянням .

Спосіб підстановки

При розв’язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:

1)  виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;

2)  підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;

3)  розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;

4)  знайти відповідне значення іншого невідомого.

Приклади

1)  

Відповідь: .

2)  

Відповідь: .

Спосіб додавання

При розв’язуванні системи рівнянь способом додавання треба:

1)  помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;

2)  почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;

3)  розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;

4)  знайти відповідне значення іншого невідомого.

Приклади

1)  

Відповідь: .

2)  

Відповідь: .

3)  

Відповідь: .

4)  

Додамо та віднімемо почленно рівняння системи:

Відповідь: .