Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Границя
Границя функції

Нехай функція визначена на проміжку (можливо, що ). Число A називається границею функції у точці , якщо для будь-якого числа існує таке число , що для всіх , і таких, що , виконується нерівність .

Позначення: , або .

Нехай — внутрішня точка проміжку .

Функція називається нескінченно малою в точці , якщо для будь-якого числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність .

Теорема 1. Сума (різниця) двох нескінченно малих функцій в даній точці є нескінченно малою функцією в даній точці.

Функція називається обмеженою на проміжку , якщо існує таке число , що для всіх значень x із цього проміжку виконується нерівність .

Теорема 2. Добуток нескінченно малої функції та обмеженої функції є функцією нескінченно малою в даній точці.

Теорема 3. Щоб функція у точці мала границею число A, необхідно і достатньо, щоб різниця була нескінченно малою функцією в цій точці.

Можна ввести означення, еквівалентне даному раніше. Число A називається границею функції в точці , якщо різниця між цією функцією та числом A є нескінченно малою функцією в цій точці.