Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Границя
Основні теореми про границі числової послідовності

Теорема 1. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю .

.

Теорема 2. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю, яка дорівнює ab:

.

Наслідки

1)  Сталий множник можна виносити за знак границі. Якщо С — сonst і має границю, то .

2)  Якщо , а k — натуральне число, то .

Теорема 3. Нехай послідовності і мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює :

.

Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого n Є N виконується нерівність .

Неспадні та незростаючі послідовності називають монотонними.

Якщо значення членів монотонної послідовності для будь-якого n Є N задовольняють строгу нерівність , то послідовність називають зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називають також строго монотонними.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Приклади границь послідовностей

1)  

.

2)  

.

Зверніть увагу на таку границю:

.

Число е є основою натурального логарифма. Позначення: . Число е є ірраціональним, його наближене значення .

Показникова функція з основою е називається експонентою.