Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Послідовності

Розглянемо яку-небудь множину, що містить дійсних чисел і кожний елемент якої відповідає одному з натуральних чисел від 1 до , або нескінченну множину дійсних чисел, кожному елементу якої можна поставити у відповідність натуральне число. Такі числа можна записати в певному порядку. Кажуть, що вони утворюють послідовність. На­при­клад:

2; 4; 6; 8; ... — послідовність парних чисел;

1; 3; 5; .... — послідовність непарних чисел;

; ; ; ... — послідовність чисел ви­гл­яду ;

3; 6; 9; ... — послідовність чисел, кратних 3.

Числа, що утворюють послідовність, називаються її членами і позначаються буквою з індексом. Наприклад, — восьмий член послідовності, — третій член і т. д.

Послідовності можуть бути скінченні і нескінченні.

Приклад скінченної послідовності: 12; 14; 16; 18; 20 — послідовність парних чисел, більших від 10, але не більших, ніж 20. Тобто:

; ; ; ; .

Послідовність можна задавати описом, таблицею.

Найзручніший спосіб — це задати послідовність формулою n-го члена.

Наприклад, послідовність чисел, кратних 5, можна задати формулою .

Щоб знайти, наприклад, 20-й член послідовності, треба замість n підставити у формулу число 20:

.

Навпаки, щоб дізнатися, який номер має в цій послідовності число 80, треба скласти рівняння , звідки , тобто .

У випадку рівняння робимо висновок, що числа 81 серед членів цієї по­слі­дов­но­сті немає, тому що рівняння не має натуральних коренів.

Послідовність можна також задавати формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого, через один чи кілька попередніх.

Наприклад, нехай , тоді .

Послідовність називають зростаючою, якщо кожний її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Послідовність називається спадною, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього.