Підручник Геометрія 9 клас - Г П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 1 Синуси, косинуси і тангенси кутів від 0° до 180°

У фізиці та механіці тригонометричні функції використовують для дослідження періодичних процесів та обертальних рухів. А оскільки колесо (мал. 1) чи вал турбіни (мал. 2) може повернутися на будь-який великий кут в одному або протилежному напрямах, то розглядають тригонометричні функції кута а, де а може дорівнювати, наприклад, 500°, 700°, -600° і бути дуже великим додатним чи від’ємним числом. Із такими тригонометричними функціями ви ознайомитеся в 10 класі.

Мал. 1

Мал. 2

У геометрії для розв’язування трикутників досить розглядати тригонометричні функції кутів від 0° до 180°.

Ви вже знаєте, що таке синус, косинус, тангенс гострого кута прямокутного трикутника.

Якщо в прямокутному ∆ ABC C = 90°, A = а, AB = c, BC = a, AC = b (мал. 3), то sin а = , cos а= , tg а= .

Користуючись цими формулами, можна розв’язувати прямокутні трикутники.

Щоб розв’язувати не тільки прямокутні, а й довільні трикутники, потрібно використовувати тригонометричні функції не тільки гострих, а й тупих кутів.

Пояснимо, що означають вирази sin а, cos а і tg а, де а — такий кут, що 0 ≤ а ≤ 180°.

Накреслимо на координатній площині коло радіуса r = 1 із центром у початку координат (мал. 4). Це — одиничне коло. Позначимо точку перетину додатної півосі OX з одиничним колом буквою A і домовимося відкладати кути від променя OA проти руху годинникової стрілки.

Мал. 3

Мал. 4

Кути та їх міри позначатимемо грецькими літерами (альфа), (бета), (гамма) тощо.

Якщо M — така точка одиничного кола, що AOM = а, то абсцису точки M називають косинусом кута а, а ординату — синусом кута а. На малюнку 4 OH = cos а, MH = sin а.

Наприклад, якщо а = 30° (мал. 5), то ордината точки M дорівнює , бо катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Тому якщо OM = 1, то MH = . Таким чином, sin 30° = . За теоремою Піфагора

Отже, cos 30° = .

Мал. 5

Мал. 6

Якщо а = 120° (мал. 6), тобто AOM = 120°, то MOB = 60° а OMB = 30°. Тоді, за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, OB = 0,5 OM = 0,5. Оскільки точка M лежить у другій чверті, то її абсциса — від’ємне число. У даному випадку вона дорівнює -0,5, а тому cos 120° = -0,5. За теоремою Піфагора MB = = = .

Ордината точки M дорівнює корінь , а тому sin 120° = .

Тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса: tg а = .

Зрозуміло, що tg а має зміст тільки при таких значеннях а, при яких cos а 0, бо на нуль ділити не можна. Оскільки для кутів від 0° до 180° cos а = 0, якщо а = 90°, то у даному випадку tg а визначений для кутів а 90°.

Розглянемо, як обчислювати тангенси кутів від 0° до 180°.

Наприклад,

tg 30° = ;

tg 120° = = : =- .

Точні значення sin a, cos а і tg а для деяких кутів а наведено в таблиці 1.

Зміна sin a при зміні a*

Таблиця 1

Функції sin a, cos a і tg a називають тригонометричними функціями кута a. Сформульовані у 8 класі означення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника не суперечать новим.

Зверніть увагу!

1. Синуси, косинуси і тангенси гострих кутів набувають лише додатних значень, а косинуси і тангенси тупих кутів — від’ємних (мал. 7).

Мал. 7

2. Якщо кут а збільшувати від 0° до 90°, то його синус збільшуватиметься від 0 до 1, а косинус зменшуватиметься від 1 до 0. Якщо кут а продовжувати збільшувати від 90° до 180°, то його синус зменшуватиметься від 1 до 0, а косинус — від 0 до -1.

3. Якщо кут а збільшувати від 0° до 90°, то його тангенс збільшуватиметься від 0 до нескінченності; tg 90° не існує. Якщо кут а збільшувати від 90° до 180°, то tg а збільшуватиметься від мінус нескінченності до 0.

Щоб скористатися QR-кодом, необхідно встановити спеціальне програмне забезпечення на смартфоні-планшеті. Наприклад, для пристроїв з операційною системою Android потрібно запустити застосунок Google Play Market та завантажити програму Powerful QR Code Scaner A+ т або будь-яку аналогічну. Завантажити програми для зчитування QR-кодів для інших операційних систем допоможуть відповідні застосунки: Windows Mobile — Windows Store, iOS — App Store.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Задачі, які ми відносимо до тригонометрії, почали розв’язувати ще давні греки. Вони обчислювали довжини хорд у колі на основі відомих співвідношень між елементами правильних многокутників і радіусом кола, описаного навколо цих многокутників. Видатний давньогрецький вчений Клавдій Птолемей (100-178) у творі «Альмагест» склав таблицю хорд через півградуса від 0° до 180°, яка, із сучасної точки зору, є таблицею синусів для кутів від 0° до 90° через кожну чверть градуса. Радіус кола у Птолемея дорівнював 60 одиницям, що суттєво ускладнювало обчислення.

Хорезмський вчений-енциклопедист Абу Рейхан Аль-Біруні (973-1048) запропонував використовувати одиничне коло для введення поняття синуса і косинуса. У роботі «Канон Масуда» він писав так: «Ми вважаємо за краще для числа діаметра таке, щоб воно було з двох частин, тобто одиниць, щоб половина діаметра, яка називається найбільшим синусом, а іноді — повним синусом, була одиницею. Тоді в наших діях відпаде необхідність згадувати множення на нього і ділити на нього, а також перетворювати його у хвилини або понижати на розряд, як все це було б необхідним, якби він мав шістдесят частин».

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що називається одиничним колом?

2. Що називається синусом кута? Чому дорівнює sin 30°; sin 90°?

3. Що називається косинусом кута? Чому дорівнює cos 45°; cos 60°?

4. Як зміниться синус кута, якщо кут збільшити: а) від 0° до 90°; б) від 90° до 180°?

5. Як зміниться косинус кута, якщо кут збільшувати: а) від 0° до 90°; б) від 90° до 180°?

6. Що називається тангенсом кута? Чому дорівнює tg 30°; tg 90°?

7. Як зміниться тангенс кута, якщо кут збільшувати: а) від 0° до 90°; б) від 90° до 180°?

8. Які знаки мають тригонометричні функції гострого кута? А тупого?

9. Сформулюйте означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямокутного трикутника.

Виконаємо разом

Користуючись одиничним колом, знайдіть sin 135° і cos 135°.

На малюнку 8 зображено одиничне коло (коло радіуса r = 1 із центром у початку координат). Якщо на цьому малюнку POB = 135° і ONB = 90°, то NOB = 45° і NBO = 45°. Тоді ∆ONB — рівнобедрений і NO = NB. За теоремою Піфагора:

OB²= NO²+ NB², або 1 = 2NO², звідси NO²= , а NO =.

Оскільки NO = NB, то точка B має координати .

Отже, sin 135° = ; cos 135° = -.

Мал. 8

Мал. 9

Побудуйте кут, косинус якого дорівнює -0,25. Побудуємо в системі координат одиничне коло (мал. 9). Поділимо радіус ОК на чотири рівні частини. Тоді ОН = 0К = 0,25. Проведемо НМ ОК. Точка М належить одиничному колу і лежить у другій чверті, тому її абсциса дорівнює -0,25. Отже, соs АОМ = -0,25 і AОМ — той, що потрібно було побудувати.

Мал. 10

Доведіть, що sin 150° = cos 60°.

Нехай MOA = 150°, а TOA = 60° (мал. 10). Тоді MOH = 30°, а HMO = 60°. За гіпотенузою і гострим кутом ∆MOH =∆OTP, а тому PO = MH.

Оскільки PO = cos 60°, а MH = sin 150°, то sin 150° = cos 60°. Що і треба було довести.

Якщо задача має недостатню кількість даних, то її називають відкритою. Ви маєте на свій розсуд доповнити її умову і розв’язати отриману задачу. Бажано розглянути якомога більшу кількість можливих варіантів задачі та її розв’язання.

Відкрита задача. Установіть вид трикутника ABC, якщо cos A = , а sin B = ….

Доповнимо умову кількома різними способами, наприклад: 1) sin B = 0, 2) sin B = 1, 3) sin B = , 4) sin B = a, де 0 < a < . З’ясуємо вид трикутника для кожного з цих випадків.

1) Якщо sin В = 0, то В = 0° або В = 180°. Трикутника з такими кутами не існує.

2) Якщо sin В = 1, то В = 90°. Маємо: А = 30°, В = 90°, С = 60°. Отже, ∆АВС — прямокутний, але не рівнобедрений.

3) Якщо sin B = то B = 30° або B = 150°. Розглянемо кожен з цих випадків. У першому випадку маємо А = 30°, В = 30°, С = 120°. Отже, ∆АВС — тупокутний і рівнобедрений. У другому випадку маємо А = 30°, В = 150°, С = 0°. Трикутника з такими кутами не існує.

4) Якщо sin В = а, де 0 < а < , то 0 < В < 30° або 150° < В < 180°. У першому випадку маємо А + В < 60°, а тому С > 120°. Отже, ∆AВС — тупокутний, але не рівнобедрений. У другому випадку: А + В > 180°. Трикутника з такими кутами не існує.

Інші випадки розгляньте самостійно.

Задачі і вправи

Виконайте усно

1. Чи може абсциса або ордината точки одиничного кола дорівнювати 2?

2. Чи може синус або косинус кута дорівнювати 2? А -2?

3. Чи може синус кута, меншого від 180°, бути числом від’ємним? А косинус?

4. Тангенс якого кута дорівнює 1? А якого -1?

5. Знайдіть sin а і cos а, якщо: а) tg а = 1; б) tg а = -1.

6. Знайдіть sin а і tg а, якщо cos а = 0,5.

7. Які числа мають бути в порожніх клітинках таблиці?

8. Дано три точки: O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1). Знайдіть синус і косинус кута AOB.

9. Знайдіть синус і косинус кута AOK, якщо A(1; 0), O(0; 0), K(0; 1).

10. Знайдіть, користуючись одиничним колом: sin 60°, cos 60°, sin 150°, cos 150°.

11. Доведіть, що sin 45° = cos 45°.

12. Побудуйте кут, косинус якого дорівнює: а) ; б) -0,5.

13. Побудуйте кут, синус якого дорівнює 0,75. Скільки розв’язків має задача?

14. Що більше: а) sin 10° чи cos 10°; б) cos 45° чи sin 45°?

15. Який із кутів більший — а чи , якщо:

а) cos а = , cos = ;

б) sin а = 0,75, sin = 0,93 (кути а і — гострі);

в) sin а = 0,75, sin = (кути а і — тупі).

16. Користуючись малюнком 11, знайдіть синус, косинус і тангенс кута B трикутника ABC.

Мал. 11

17. Визначте знак добутку:

а) cos 30° · sin 15° · cos 125° · tg 35°;

б) sin 137° · cos 150° · tg 22° · cos 35°;

в) tg 143° · sin 165° · tg 87° · cos 126°;

г) cos 32° · sin 132° · cos 135° · tg 92°.

18. Запишіть кути у три колонки: I — гострі кути; II — тупі кути; III — вид кута не можна встановити: sin A = 0,6; cos B = -0,8; sin C= = ; tg D = -2; cos E = ; cos L = ; tg R = ; sin O = ; cos Q = .

19. Замість * поставте знаки > або <:

а) cos 5° * cos 7°;

б) sin 82° * sin 79°;

в) tg 29° * tg 32°;

г) cos 113° * cos 115°;

ґ) sin 178° * sin 108°;

д) tg 97° * tg 107°.

20. Обчисліть значення виразів:

а) sin 45° - cos 60° · cos 90° + cos 135°;

б) sin 30° · cos 150° - sin² 135° · tg 120°.

21. Обчисліть значення виразів:

а) sin 30° · cos 60° - cos²120° + sin 135° · cos 90°;

б) tg 30° · tg 60° - tg² 135° + cos 150°.

22. Знайдіть кути ∆ABC, якщо sin A = 0,5, a cos B = -0,5.

23. Знайдіть кути ∆ABC, якщо tg A = -1, а sin C = .

24. Знайдіть кути ромба ABCD, якщо cosD = -.

25. Установіть відповідність між значеннями виразів (1-4) та рівними їм значеннями виразів (А-Д).

26. Знайдіть, користуючись калькулятором: a) sin 3°, sin 4,8°, sin 56,7°; б) cos 64,25°, cos 25°, cos 45,8°; в) tg 15°, tg 23,5°, tg 81,1°; г) sin 25°1', cos 3°7', tg 56°36'.

27. Користуючись калькулятором чи таблицями, знайдіть кут, якщо відомо:

а) його косинус дорівнює: 0,325; 0,78; ; ;

б) його тангенс дорівнює: 0,726; 2,605; ; .

28. Знайдіть гострий кут, синус якого дорівнює:

а) 0,26;

б) ;

в) 0,685;

г) .

29. Користуючись малюнком 12, знайдіть синуси, косинуси, тангенси кутів А, В, С і В чотирикутника АВСВ, якщо ВС||АВ.

Мал. 12

30. Косинус одного з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює - .

Знайдіть кути трикутника.  

31. Синус одного з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 0,5. Знайдіть кути трикутника. Скільки розв’язків має задача?

32. Знайдіть синуси, косинуси і тангенси кутів рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 16 см, а бічна сторона 6 см.

33. Знайдіть синуси, косинуси і тангенси кутів ромба, периметр якого дорівнює 16 см, а площа 8 см².

34. Знайдіть бічні сторони прямокутної трапеції, якщо косинус одного з її кутів дорівнює - , а різниця основ дорівнює а.

35. Відкрита задача. Установіть вид трикутника ABC, якщо cos B … .

36. Побудуйте кут, косинус якого дорівнює - . Знайдіть синус і тангенс цього кута.

37. Побудуйте кут, синус якого вдвічі більший за косинус.

38. Побудуйте кут, косинус якого в три рази більший за синус.

39. Синус кута у 5 разів менший за його косинус. Знайдіть тангенс цього кута.

40. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть синуси, косинуси і тангенси найменшого і найбільшого кутів трикутника.

Практичне завдання

41. Накресліть на міліметровому папері півколо радіуса 100 мм і поділіть його транспортиром на 18 рівних частин. Користуючись цим малюнком:

а) покажіть, що у разі збільшення кута від 0° до 90° його синус збільшуватиметься від 0 до 1, а зі збільшенням кута від 90° до 180° його синус зменшуватиметься від 1 до 0;

б) покажіть, що у разі збільшення кута від 0° до 90° його косинус зменшуватиметься від 1 до 0, а зі збільшенням кута від 90° до 180° його косинус зменшуватиметься від 0 до -1;

в) складіть таблицю наближених значень синуса і косинуса для кутів 0°, 10°, 20°, 30°, …, 180°.

Задачі для повторення

42. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо вони пропорційні числам 2 і 3, а гіпотенуза дорівнює 4 см.

43. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть його периметр.

44. Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 120°. Знайдіть периметр трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює h.

45. У колі проведено два взаємно перпендикулярні діаметри АВ і СВ. Знайдіть радіус кола, якщо АС = m.