ФОРМУЛА ЕЙЛЕРА ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ВІДСТАНІ МІЖ ЦЕНТРАМИ ВПИСАНОГО Й ОПИСАНОГО КІЛ ТРИКУТНИКА

Теорема. Відстань d між центрами вписаного й описаного кіл трикутника обчислюється за формулою

де r і R — відповідно радіуси його вписаного й описаного кіл.

Доведення. Нехай точки О₁ і O — центри вписаного й описаного кіл трикутника ABC відповідно (рис. 4.14). Бісектриса кута B перетинає описане коло в точці D. Згідно з ключовою задачею 18.25 підручника «Геометрія, 8 клас»:

BO₁ ∙ O₁D = R² - O₁O² = R² - d².    (*)

Нехай вписане коло дотикається до сторони BC у точці K. Тоді

з трикутника O₁BK отримуємо:

За лемою п. 4 маємо: DC = 2R sin ∠DBC. Згідно з ключовою задачею 11.25 підручника «Геометрія, 8 клас» O₁D = DC = 2R sin ∠DBC. Отримані результати підставимо у формулу (*):

Звідси d² = R² - 2Rr.

Оскільки d² = R² - 2Rr, то R² - 2Rr ≥ 10. Звідси отримуємо, що для будь-якого трикутника виконується нерівність

R ≥ 2r.

У цій нерівності рівність досягається тоді й тільки тоді, коли центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються. Така властивість притаманна лише рівносторонньому трикутнику.