ТРИГОНОМЕТРИЧНА ФОРМА ТЕОРЕМИ ЧЕВИ

У 8 класі ви вивчали теорему Чеви. Нагадаємо її.

Теорема Чеви. Для того щоб чевіани AA₁, BB₁ і CC₁ трикутника ABC перетиналися в одній точці (рис. 4.11), необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність

(*)

Теорема синусів дає змогу записати критерій конкурентності прямих AA₁, BB₁ і CC₁ в іншій формі.

Позначимо кути, утворені чевіанами AA₁, BB₁ і CC₁ зі сторонами трикутника ABC, так, як показано на рисунку 4.11.

Із трикутника AC₁C отримуємо:

Із трикутника BC₁C отримуємо:

Звідси

(1)

Аналогічно можна показати, що

(2)

Перемноживши рівності (1), (2) і (3), отримаємо:

Задача. Шестикутник ABCDEF вписано в коло. Доведіть, що діагоналі AD, BE і CF перетинаються в одній точці тоді й тільки тоді, коли AB ∙ CD ∙ EF = BC ∙ DE ∙ FA.

Розв’язання. Розглянемо трикутник ACE. Введемо позначення кутів так, як показано на рисунку 4.12. Нехай радіус кола дорівнює R. Тоді:

AB = 2R sin ∠1;

BC = 2R sin ∠2;

CD = 2R sin ∠3;

DE = 2R sin ∠4;

EF = 2R sin ∠5;

FA = 2R sin ∠6.

Рис. 4.12

Звідси

Діагоналі AD, BE і CF є конкурентними тоді й тільки тоді, коли ліва частина записаної рівності дорівнює 1. Звідси випливає справедливість твердження, що доводиться.

ВПРАВИ

1. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно точки C₁, A₁ і B₁ так, що прямі AA₁, BB₁ і CC₁ конкурентні. Доведіть, що прямі AA₂, BB₂ і CC₂, симетричні прямим AA₁, BB₁ і CC₁ відносно бісектрис кутів A, B і C відповідно, також конкурентні.

2. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно точки C₁, A₁ і B₁ так, що прямі AA₁, BB₁ і CC₁ конкурентні (рис. 4.13). На сторонах A₁B₁, B₁C₁ і C₁A₁ трикутника A₁B₁C₁ позначили відповідно точки C₂, A₂ і B₂ так, що прямі A₁A₂, B₁B₂ і C₁C₂ конкурентні. Доведіть, що прямі AA₂, BB₂ і CC₂ також конкурентні.

Вказівка. Доведіть, що

Рис. 4.13

Рис. 4.14