Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

§5. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

З курсу алгебри ви знаєте, що пряма є графіком лінійної функції y = kx + l та графіком лінійного рівняння ax + by = c. Розглянемо рівняння прямої в геометрії.

Загальне рівняння прямої

Нехай а - довільна пряма на координатній площині (мал. 14).

Мал. 14

1) Виберемо дві точки A₁(a₁; b₁) і А₂(а₂; b₂) так, щоб пряма а була серединним перпендикуляром до відрізка A₁A₂. Нехай точка М(х; у) - довільна точка прямої а.

За властивістю серединного перпендикуляра маємо:

MA₁ = MA₂, а отже,

Тому для точки M(x; у) справджується рівність:

(х — а₁)² + (у — b₁)²= (х - а₂)² + (у - b₂)².  (1)

Розкривши дужки та звівши подібні доданки, матимемо:

Уведемо позначення

отримаємо, що будь-яка точка прямої а задовольняє рівняння

ах + bу + с = 0.     (2)

Оскільки A₁(a₁; b₁) і A₂(a₂; b₂) - різні точки, то хоча б один з виразів (а₂ - а₁) або (b₂ - b₁) відмінний від нуля. Отже, хоча б один з коефіцієнтів а або b у рівнянні (2) відмінний від нуля.

2) Розглянемо деяку точку N(x; у), координати якої задовольняють рівняння (2). Виконавши алгебраїчні перетворення, які є досить громіздкими, можна переконатися, що координати точки N задовольняють також і рівняння (1). Тому точка N рівновіддалена від точок A₁ і A₂.

Отже, точка N належить прямій, яка є серединним перпендикуляром до відрізка A₁A₂, а тому належить прямій а.

Рівняння прямої у прямокутній системі координат має вигляд

ax + by + с = 0,

де a, b, с - числа, причому а і b одночасно не дорівнюють нулю.

Рівняння ax + by + с = 0 ще називають загальним рівнянням прямої.

Задача 1. Знайти точки перетину прямої 3x - 5у - 15 = 0 з осями координат.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай точка А(х; 0) - точка перетину прямої з віссю абсцис. Тоді 3х - 5 ∙ 0 - 15 = 0, звідки х = 5. Отже, А(5; 0) - точка перетину прямої з віссю абсцис.

2) Нехай точка B(0; у) - точка перетину прямої з віссю ординат. Тоді 3 ∙ 0 - 5у - 15 = 0, звідки у = -3. Отже, B(0; -3) - точка перетину прямої з віссю ординат.

В і д п о в і д ь. А(5; 0), B(0; -3).

Розташування прямої відносно системи координат

Розглянемо розташування прямої відносно системи координат у деяких окремих випадках.

1) a = 0, b ≠ 0. Маємо by + c = 0, у = -.

Усі точки прямої мають одну й ту саму ординату (-).

Тому пряма у = - паралельна осі x (мал. 15).

Зокрема, якщо с = 0, то пряма у = 0 збігається з віссю х.

2) b = 0, а ≠ 0. Маємо ах + с = 0, х = -.

Точки прямої мають одну й ту саму абсцису (-).

Тому пряма х = - паралельна осі у (мал. 16).

Мал. 15

Мал. 16

Мал. 17

Зокрема, якщо с = 0, то пряма x = 0 збігається з віссю у.

3) с = 0. Координати точки (0; 0) задовольняють рівняння прямої. Тому пряма проходить через початок координат (мал. 17).

Систематизуємо отримані результати в таблицю.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки A(x₁; у₁) і В(х₂; у₂). Розглянемо випадки.

1) x₁ = x₂ = m. Усі точки прямої мають одну й ту саму абсцису, що дорівнює т (мал. 18). Рівняння прямої має вигляд:

x = m.

Мал. 18

Мал. 19

2) y₁ = y₂ = n. Усі точки прямої мають одну й ту саму ординату, що дорівнює n (мал. 19). Рівняння прямої має вигляд:

y = n.

3) x₁ ≠ x₂, у₁ ≠ у₂. Нехай М(х; у) - деяка точка прямої. Через точку A проведемо пряму, паралельну осі х, а через точки M і B - прямі, паралельні осі у. Тоді BK ± AP і MP ± AP (мал. 20). Позначимо ∠BAK = а.

Мал. 20

У трикутнику BAK:

У трикутнику МАР:

Отже, маємо:

(3)

Після застосування основної властивості пропорції і спрощення рівняння (3) зводиться до вигляду ах + by + с = 0.

Рівняння прямої, що проходить через точки A(x₁, y₁) і В(х₂; у₂), має вигляд:

Задача 2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(2; -3) і B(4; -5).

Р о з в’ я з а н н я. Використовуючи формулу (3), маємо:

звідки -1(х - 2) = у + 3, остаточно отримаємо: х + у +1 = 0.

В і д п о в і д ь. х + у + 1 = 0.

Відповідь легко перевірити, підставивши в отримане рівняння координати кожної із заданих точок.

Кутовий коефіцієнт прямої

Якщо в загальному рівнянні прямої ax + by + c = 0 коефіцієнт b не дорівнює нулю, то, виразивши із цього рівняння у, матимемо:

Позначивши отримаємо:

у = kx + l.

Отже, приходимо до висновку, що пряму можна задавати як рівнянням ax + by + c = 0, так і рівнянням y = kx + l, оскільки кожне з них є рівнянням прямої.

З’ясуємо геометричний зміст коефіцієнта k у рівнянні прямої. Нехай A(x₁; у₁) і В(х₂; у₂), де x₁ < x₂, дві точки прямої. Оскільки координати точок задовольняють рівняння у = kx + l, то y₁ = kx₁ + l і y₂ = kx₂ + l. Віднімемо почленно від другого рівняння перше, матимемо: у₂ - y₁ = k(x₂ - x₁), звідки

Але вище ми вже довели, що (с. 38, мал. 20).

Оскільки пряма AP паралельна осі х, то а - це кут, який утворює пряма AB з додатним напрямом осі х.

Отже, якщо кут а - гострий, то k = tga.

Розглянемо випадок, коли пряма утворює з додатним напрямом осі x тупий кут (мал. 21). Маємо:

Але а + = 180°, тоді

= 180° - а і tg = tg (180° - a) =

Мал. 21

За відомою формулою tg (180° - а) = -tg а. Тоді враховуючи, що знову отримаємо, що k = tg а, де кут а - тупий.

Отже, приходимо до висновку про геометричний зміст коефіцієнта k у рівнянні прямої.

Коефіцієнт k у рівнянні прямої у = kx + l дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі х.

Коефіцієнт k у рівнянні прямої у = kx + l називають кутовим коефіцієнтом прямої. Причому k > 0, якщо пряма утворює гострий кут з додатним напрямом осі х, і k < 0, якщо цей кут - тупий.

Задача 3. Довести, що рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, яка проходить через точку А(х₀; у₀), має вигляд у - у₀ = k(x - x₀).

Р о з в’ я з а н н я. Запишемо загальний вигляд прямої з кутовим коефіцієнтом k: у = kx + l. Знайдемо коефіцієнт l.

Оскільки пряма проходить через точку А(х₀; y₀), то координати цієї точки задовольняють рівняння прямої, тобто:

у₀ = kx₀ + l, звідки l = y₀ - kx₀.

Підставимо значення l в рівняння y = kx + l, матимемо: у = kx + (y₀ - kx₀), тобто у - у₀ = k(x - x₀).

Задача 4. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-3; 5) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 135°.

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки k = tga, то k = tg 135° = -1. Ураховуючи, що у - у₀ = k(x - x₀), маємо: у - 5 = -1(x - (-3)), тобто у - 5 = -х - 3, отже, маємо рівняння: x + у - 2 = 0.

В і д п о в і д ь. х + у - 2 = 0.

Умова паралельності прямих

Якщо прямі у = k₁x + l₁ і y = k₂x + l₂ паралельні, то кути, які вони утворюють з додатним напрямом осі x, між собою рівні (мал. 22). Тоді й тангенси цих кутів також рівні, а тому

k₁ = k₂.

Мал. 22

І навпаки, якщо k₁ = k₂, то тангенси кутів, які утворюють прямі з додатним напрямом осі х, рівні, а тому прямі паралельні.

Прямі у = k₁x + l₁ і у = k₂x + l₂ паралельні тоді і тільки тоді, коли k₁ = k₂.

Наприклад, паралельними є прямі у = 0,1х + 5 і у = х - 1, у яких k = 0,1 і k = відповідно, тобто k₁ = k₂.

Координати точки перетину двох прямих

Нехай дано рівняння двох прямих у загальному вигляді: a₁x + b₁у + с₁ = 0 і а₂х + b₂у + с₂ = 0.

Знайдемо координати (х; у) точки їх перетину. Оскільки ця точка належить кожній з прямих, то її координати задовольняють кожне з двох рівнянь. Тому координати точки перетину є розв’язком системи рівнянь, якими задано ці прямі.

Задача 5. Знайти точку перетину прямих 2х - у - 5 = 0 і 4х + 3у - 15 = 0.

Р о з в’ я з а н н я. Розв’язавши систему

отримаємо x = 3, у = 1. Отже, (3; 1) - точка перетину прямих. В і д п о в і д ь. (3; 1).

1. Покажіть, як скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

2. Як розташована пряма ax + by + c = 0 у координатній площині, якщо a = 0? b = 0? c = 0?

3. Який вигляд має рівняння прямої, що проходить через точки A(x₁; у₁) і B(x₂; у₂)?

4. Що таке кутовий коефіцієнт прямої і який його геометричний зміст?

5. За якої умови прямі у = k₁x + l₁ і у = k₂x + l₂ будуть паралельними?

6. Як знайти координати точки перетину прямих, які задано в загальному вигляді?

1. Початковий рівень

154. (Усно.) Яке з рівнянь є рівнянням прямої:

1) х² + у² = 4; 2) 2х - 3у + 7 = 0; 3) х³ - 2у - 13 = 0;

4) х - 2у = 0; 5) 2х - 9 = 0; 6) х + у² = 0?

155. Яке з рівнянь є рівнянням прямої:

1) 2х - 3у = 0;  2) 4х² - 9у² = 5;

3) 2х - у⁴ - 15 = 0; 4) 3х + 7у - 10 = 0;

5) 3у - 12 = 0;  6) 2х² - у = 0?

156. Чи належить прямій x + у - 7 = 0 точка:

1) A(3; 4); 2) В(5; 1); 3) С(2; 5); 4) 0 (0; 8)?

157. Чи належить прямій х - у = 0 точка:

1) М(5; 5); 2) N(-4; 4); 3) L(0; 0); 4) K(-2; -2)?

158. Яка з прямих проходить через початок координат:

1) 2х - 3у = 0; 2) 3x - 2у - 5 = 0;

3) 3х + 2у = 0; 4) 2х + 3у - 7 = 0?

159. (Усно.) Чи перетинаються прямі:

1) у = 2х - 7 і у = 2x + 3; 2) у = 3х + 7 і у = 4x - 9?

160. Чи паралельні прямі:

1) у = 3x - 7 і у = -2х + 9; 2) у = -4x + 3 і у = -4x?

2. Середній рівень

161. Запишіть рівняння прямих а і b (мал. 23).

Мал. 23

Мал. 24

162. Запишіть рівняння прямих т і n (мал. 24).

163. Знайдіть координати точок перетину прямої 2х - 5у - 10 = 0 з осями координат.

164. Знайдіть координати точок перетину прямої 3x - 4у + 12 = 0 з осями координат.

165. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку А(-2; 3) і паралельна:

1) осі абсцис;

2) осі ординат.

166. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку B(4; -1) і паралельна:

1) осі абсцис;

2) осі ординат.

167. Які з точок належать прямій у = 7:

1) А(7; 1); 2) B(1; 7);  3) С(2; 5); 4) D(-10; 7)?

168. Які з точок належать прямій x = 3:

1) K(1; 3); 2) L(3; 1); 3) М(1; 2); 4) N(3; -8)?

169. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої MN, якщо:

1) M(-1; 2), N(0; 9); 2) M(1; 4), N(-1; 6).

170. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої AB, якщо:

1) А(3; -1), В(5; -7); 2) А(2; 9), В(3; 4).

171. Запишіть рівняння прямої у вигляді y = kx + l та знайдіть її кутовий коефіцієнт:

1) 2х - у - 5 = 0; 2) 4х + 3у + 7 = 0.

172. Запишіть рівняння прямої у вигляді y = kx + l та знайдіть її кутовий коефіцієнт:

1) 3х + у + 7 = 0; 2) 5x - 2у - 9 = 0.

3. Достатній рівень

173. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки:

1) А(2; 7) і Б(-3; 7); 2) М(-2; 1) і N(-2; -5);

3) C(3; 8) і D(1; 6); 4) K(-2; 5) і L(3; -1).

174. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки:

1) А(4; 7) і B(4; 0); 2) С(5; -2) і D(7; -2);

3) М(-1; 2) і N(-3; 4); 4) K(-1; 5) і L(7; 1).

175. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану AM трикутника ABC, якщо A(0; -2), B(-7; 5), С(9; 11).

176. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану CN трикутника ABC, якщо А(2; -3), B(8; -7), С(4; 0).

177. Знайдіть точку перетину прямих 2х - 3у = 0 і 3х + 4у + 17 = 0.

178. Знайдіть точку перетину прямих 5х - 4у = 0 і 2х + 3у + 23 = 0.

179. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(2; -1) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює:

1) 3; 2) -2; 3) 0; 4)

180. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(-3; 2) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює:

1) 4; 2) -1; 3) 0; 4) .

181. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку N (-4; -1) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 135°; 2) 60°.

182. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку B(2; 5) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 45°; 2) 120°.

183. Серед даних прямих укажіть пари паралельних:

1) 2х - 3у + 7 = 0; 2) 3х - у + 9 = 0;

3) х + 2у - 19 = 0; 4) 6х - 2у + 5 = 0;

5) 4х - 6у + 9 = 0; 6) 4х + 8у - 1 = 0.

184. Серед даних прямих укажіть пари паралельних:

1) 3х + у + 7 = 0; 2) 2х - у + 7 = 0;

3) х - 5у - 1 = 0; 4) 6х - 3у - 1 = 0;

5) 9х + 3у - 11 = 0; 6) 2х - 10у - 3 = 0.

4. Високий рівень

185. При якому значенні а точки A(1; 2), B(-2; 3) і С(а; 4) лежать на одній прямій?

186. При якому значенні b точки М(4; -1), K(5; 2) і N(3; b) лежать на одній прямій?

187. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(-1; 2) паралельно прямій 4x - 2у + 7 = 0.

188. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку N(2; -3) паралельно прямій 6х + 2у - 5 = 0.

189. Доведіть, що прямі у = k₁x + l₁ і y = k₂x + l₂ взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k₁k₂= -1 (умова перпендикулярності прямих).

190. Використавши результат задачі № 189, складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(-1; 3) перпендикулярно до прямої х - 7.

191. Використавши результат задачі № 189, складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(2; -1) перпендикулярно до прямої у = - х + 8.

Вправи для повторення

192. Обчисліть:

1) tg²30° + cos 60°; 2) sin 30° + cos²45°.

193. Чи є чотирикутник з вершинами в точках А(-3; 4), В(5; 2), С(7; -4), D(-1; -2) паралелограмом?

194. Складіть рівняння кола радіуса 13, що проходить через точку А(-7; 5), якщо його центр належить осі абсцис.

195. Чи дотикаються кола

(х - 2)² + у² = 16 і (х + 1)² + (у + 4)² = 1?

Цікаві задачі для учнів неледачих

196. (Київська міська математична олімпіада, 1990 р.). Бісектриси AA₁ і BB₁ трикутника ABC перетинаються в точці O. Доведіть, що коли кут Cдорівнює 60°, то OA₁ = OB₁.