Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 6. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

Із курсу алгебри ви знаєте, що графіком функції у = 2х є пряма (мал. 45). Координати кожної точки цієї прямої, наприклад О (0; 0) і А (1; 2), задовольняють її рівняння. І навпаки, яку б точку М з координатами (х; 2х) ми не взяли, вона лежатиме на даній прямій. Це означає, що дану пряму задає рівняння у = 2х.

Узагалі, пряма, що проходить через початок координат (мал. 46), задається рівнянням у = kx. Коефіцієнт k в цьому рівнянні називають кутовим коефіцієнтом прямої. На малюнку 46 ви бачите, що пряма а нахилена до додатної півосі ОХ під кутом а. Із прямокутного трикутника

ОМ₁М (∠М₁ = 90°) одержуємо:

Отже, кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута між даною прямою й додатною піввіссю ОХ:

k = tg а.

Р Як розміщується пряма у = kх у системі координат залежно від знака кутового коефіцієнта? Поміркуємо.

Подивіться на малюнки 47 і 48. Ви бачите пряму у = 0,5х (мал. 47) і пряму у = - 0,5х (мал. 48). Перша пряма утворює з додатною піввіссю осі ОХ гострий кут, а друга — тупий. Рівняння, що задають ці прямі, відрізняються лише знаком коефіцієнта k: у першої прямої k > 0, а в другої — k < 0. Отже, якщо k > 0, то пряма розміщується в першій і третій координатних чвертях, а якщо k < 0 — то в другій і четвертій. Якщо ж k = 0, то рівняння прямої у = kх набуває вигляду: у = 0 ∙ х, тобто у = 0. А це — рівняння осі ОХ. Отже, дана пряма збігається з віссю ОХ (мал. 49).

Мал. 45

Мал. 46

Мал. 47

Мал. 48

Мал. 49

Пряма y = kx проходить через початок координат і розміщується:

— у І і ІІІ координатних чвертях, якщо k > 0;

— у ІІ і IV координатних чвертях, якщо k < 0;

— збігається з віссю ОХ, якщо k = 0.

Як задати пряму, що не проходить через початок координат і має кутовий коефіцієнт k? Дослідимо це.

Нехай пряма c (мал. 50) перетинає вісь OY у точці В (0; b) і має кутовий коефіцієнт k. Позначимо на прямій c довільну точку N з абсцисою х та знайдемо її ординату у. Для цього через початок координат проведемо пряму а || с. Вона має той самий кутовий коефіцієнт k, тому задається рівнянням у = kx. Нехай пряма, що проходить через точку Nпаралельно осі OY, перетинає пряму а в точці М, а вісь ОХ — у точці М₁. Тоді одержимо: ММ₁ = kx (оскільки М є а), NM = ОВ = b (оскільки чотирикутник NMOB — паралелограм за означенням), NM₁ = kx + b. Отже, ордината точки N виражається через її абсцису так: у = kx + b. Оскільки точка N — довільна точка прямої с, то можна стверджувати, що координати будь-якої точки цієї прямої задовольняють рівняння у = kx + b. Обернене твердження доведіть самостійно.

Мал. 50

Рівняння у = kx + b називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Як задати пряму, що проходить через дві точки? Дослідимо це.

Нехай точки A і B містяться в першій координатній чверті, причому х₁ < х₂ і y₁ > y₂ (мал. 51). Через ці точки проведемо пряму а і позначимо на ній довільну точку М (х; y). Через точки В і М проведемо прямі, паралельні осі ОХ, через точку А — пряму, паралельну осі ОY. Точки їх перетину позначимо С і D. Одержали два подібні трикутники АСМ і АDВ (у них кут А — спільний і ∠ABD = ∠AMC). З подібності трикутників випливає:

Мал. 51

Виразимо довжини цих відрізків:

СМ = х - х₁, DВ = х₂ - х₁, СА = y₁ - y, DА = y₁ - y₂.

Підставивши їх у пропорцію, одержимо рівність:

= або

Оскільки точка М — довільна точка прямої а, то можна стверджувати, що координати будь-якої точки цієї прямої задовольняють рівняння = .

Обернене твердження доведіть самостійно.

Інші випадки розміщення точок А і В в системі координат розгляньте самостійно.

Рівняння = називають рівнянням прямої, що проходить через дві точки.

Одержане рівняння можна звести до вигляду:

(y₂ — Y₁) х + (х₁ - х₂) y + (y₁ — х₂) = 0.

Позначивши y₂ - y₁ = а, х - х₂ = b, y₁x₂ - x₁y₂ = с, одержимо загальне рівняння прямої:

ах + by + с = 0.

Відомості про види рівнянь прямої наведено в таблиці 10.

Таблиця 10

Дізнайтеся більше

1. У вас могло виникнути запитання: Як аналітично задати відрізок; трикутник; квадрат? Розглянемо приклади.

Нехай потрібно задати відрізок АВ прямої у = х - 2 (мал. 52). Зрозуміло, що координати кожної точки відрізка АВ задовольняють рівняння даної прямої. Але не кожна точка цієї прямої належить відрізку АВ. Кінці відрізка мають координати: А(-1; -3), В(4; 2). Тому абсциси точок відрізка набувають значень від -1 до 4, а ординати — від -3 до 2.

Отже, даний відрізок АВ задають системою:

Трикутник і квадрат можна задати аналітично, відповідно — трьома та чотирма системами, що визначають їхні сторони. Особливим рівнянням задається квадрат, у якого вершини лежать на осях координат: |x| + |у| = а, де а — половина довжини діагоналі квадрата (дослідіть це самостійно). На малюнку 53 ви бачите квадрат АВСD, рівняння якого |x| + |у| =

Мал. 52

Мал. 53

2. Метод координат встановлює зв’язки між алгеброю та геометрією, надає допомогу й тій, і другій науці. Його основоположниками вважають французьких учених — Рене Декарта (15961650) і П’єра Ферма (1601-1655), які працювали незалежно один від одного.

Однак наукові роботи П. Ферма стали широко відомими лише після смерті вченого, коли в 1669 р. його син опублікував збірник «Різні твори». П. Ферма вивів рівняння прямої, а також еліпса, гіперболи, параболи та інших ліній, що задаються рівняннями другого степеня.

П’єр Ферма

Пригадайте головне

1. Яке рівняння задає пряму, що проходить через початок координат?

2. Що таке кутовий коефіцієнт прямої?

3. Як розміщується в системі координат пряма у = kx?

4. Запишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

5. Яким є рівняння прямої, що проходить через дві точки?

6. Який вигляд має загальне рівняння прямої?

Розв'яжіть задачі

213'. Чи правильно, що дана пряма проходить через початок координат:

214'. Нехай а — кут, який утворює пряма з додатною піввіссю осі ОХ. Чи правильно, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює:

1) cos а;    3)tg а?

2) sin а;

215'. Чи є дане рівняння рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом:

216'. Чи є дане рівняння рівнянням прямої, що проходить через дві точки:

217'. Чи є дане рівняння загальним рівнянням прямої:

218°. Який кут — тупий чи гострий — утворює з додатною піввіссю осі ОХ пряма:

1) у = 3х;    3) у = -0,6х;

2) у = -7х;    4) у =1,5х?

219°. Який кут — тупий чи гострий — утворює з додатною піввіссю осі ОХ пряма:

1) у = -2х;    2) у = 3,2x?

220°. Як розміщується в системі координат пряма:

1) у = 0,33х;   3) у = -6х;

2) у = -7,5х;   4) у = 5,їх?

221 °. Як розміщується в системі координат пряма:

1)у = -0,2х;    2) у = 2,3x7

222°. Назвіть кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої:

223°. Назвіть кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої:

1) y = 3x;

2)у = -3х.

224°. Яке рівняння:

1) осі абсцис;

2) осі ординат;

3) бісектриси першого й третього координатних кутів?

225°. Яке рівняння бісектриси другого й четвертого координатних кутів?

226°. Запишіть координати:

1) точки А, що лежить на осі абсцис;

2) точки B, що лежить на осі ординат;

3) точки C, що лежить на бісектрисі першого й третього координатних кутів.

227°. Запишіть координати точки А, що лежить на бісектрисі другого й четвертого координатних кутів.

228°. На якому з малюнків (54 чи 55) зображено пряму:

1) у = 3х - 1;

2) у = -2х + 1?

Який відрізок на осі ординат відтинає задана пряма? Який у неї кутовий коефіцієнт?

229°. На малюнку 56 зображено пряму у = х - 2. Який відрізок на осі ординат відтинає задана пряма? Який у неї кутовий коефіцієнт?

Мал. 54

Мал. 55

Мал. 56

230°. Складіть рівняння прямих а і b, що проходять через точку А паралельно вказаній осі координат. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 11 за зразком, наведеним у другому стовпчику.

Таблиця 11

231°. Побудуйте прямокутник, сторони якого лежать на прямих:

1) х = 2, х = 5, у = -2, у = 1;

2) х = -2, х = 6, у = 7, у = -1.

Знайдіть периметр і площу даного прямокутника.

232°. Побудуйте прямокутник, сторони якого лежать на прямих: х = -9, х = 4, у = 2, у = 8. Знайдіть периметр і площу даного прямокутника.

233'. Назвіть координати точок А і В (мал. 57, 58). Яке з наведених рівнянь (1 чи 2) задає пряму АВ:

234°. Назвіть координати точок А і Б на малюнку 59. Чи правильно записано рівняння, яке задає пряму АВ:

235°. Запишіть координати двох точок, через які проходить пряма:

Побудуйте дану пряму.

Мал. 57

236°. Запишіть координати двох точок, через які проходить пряма

Побудуйте дану пряму.

237°. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки:

1) (-1; 2) і (2; -1);  2) (-3; 1) і (2; -2).

238°. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки (2; -4) і (3; -1).

239°. Запишіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника з вершинами в точках:

1) А (2; -3), В (-2; 3) і С (6; -3);

2) А (1; -2), В (-1; 2) і С (5; 10).

240°. Запишіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника з вершинами в точках: М (-3; 5), Р (1; -3) і Т (2; 0).

241°. Чи лежать на одній прямій точки А, В і С, якщо:

1) А (-3; 2), В (2; 2), С (2; 14);

2) А (1; -2), В (5; -8), С (3; -5)?

242°. Чи лежать на одній прямій точки А, В і С, якщо: А (4; 2), В (0; -6), С (-4; -2)?

Мал. 58

243°. Зведіть дане рівняння прямої до іншого вигляду:

244°. Зведіть рівняння прямої 4х + 2у - 8 = 0 до іншого вигляду.

245°. Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями:

1) 4х - 2у - 3 = 0 і 3х + 2у - 9 = 0;

2) Зх - у - 5 = 0 і Зх + 4у + 7 = 0.

246°. Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями: x - 7y - 3 = 0 i x - y + 5 = 0.

247. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і нахилена до осі абсцис під кутом:

1) 45°; 

2) 30°.

Мал. 59

248. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і нахилена до осі абсцис під кутом 60°.

249. Доведіть, що прямі у = kx і у = kx + b — паралельні або збігаються.

250. Якщо дві прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти — рівні, 1 навпаки. Доведіть.

251. Яке рівняння задає пряму, що відтинає на осі ординат відрізок 5 одиниць і проходить паралельно прямій:

1)y = 5x + 2;  2)y = -х-15?

252. Складіть рівняння прямої, що відтинає на осі ординат відрізок 2 одиниці й проходить паралельно прямій: у = Зх - 1.

253. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 1) й утворює з віссю абсцис кут:

1)45°;

2)60°.

254. Яке рівняння задає пряму, що проходить через точку та утворює з віссю абсцис кут 30° ?

255. Складіть рівняння прямих, що містять середні лінії трикутника ABC, якщо:

1) А (2; -3), В (-2; 3), С (6; -3);

2) А (1; -2), Б (-1; 2), С (5; 10).

256. Складіть рівняння сторін рівнобедреного трикутника ABC, у якого: 1)А (-1; 2), В (3; 2), ∠BAC = ∠ABC = 45°;

2) А (-2; -3), В (6; -3), ∠АСB = 120°.

257. Складіть рівняння сторін квадрата, діагоналі якого лежать на осях координат і дорівнюють 2а.

258. Які кути утворює з осями координат пряма:

1) 3х - 3у + 1 = 0; 2) 2х + 2у - 5 = 0?

259. Знайдіть довжину відрізка АВ, який відтинають осі координат від прямої:

1) 5х - 12у + 3 = 0; 2) 4х + 3у - 6 = 0.

260. Знайдіть довжину відрізка ВС, який відтинають осі координат від прямої 4х - 2у - 3 = 0.

261. Знайдіть координати вершини D паралелограма АВСD, якщо:

1) А (-2; -3), В (3; 1), С (-1; 2);

2) А (2; 3), В (-3; -1), С (4; 2).

262. Яку площу має трикутник, сторони якого лежать на осях координат і прямій 3х + у - 2 = 0?

263. Знайдіть площу трикутника, сторони якого лежать на осях координат і прямій 5х - 12у + 24 = 0.

264*. Доведіть, що прямі 3х + 4у - 2 = 0 і 3х + 4у - 3 - m² = 0 не мають спільних точок.

265*. Дві прямі взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює —1. Доведіть.

266*. Вершини трикутника мають координати А (0; 13), В (2; -1) і С (10; 3). Доведіть, що його медіани, проведені з вершин В і С, взаємно перпендикулярні.

267*. Яка умова перпендикулярності відрізків АВ і CD, якщо відомі координати їхніх кінців: А (а₁; а₂), В (b₁; b₂), С (c₁; c₂), D (d₁; d₂)?

268*. Складіть рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних точок:

1) (0; 0) і (а₁; а₂);

2) (a1; а2) і (b1; b2).

269*. Які рівняння мають дотичні до кола х² + y² = R², що паралельні осі: 1) абсцис; 2) ординат?

270*. Складіть рівняння дотичної до кола х² + у² = R² в точці М (х₀; у₀).

271*. Пряма а, яку задано рівнянням 4х + 3у - 6 = 0, перетинає пряму b, паралельну осі ординат, у точці М(-1,5; 4). Знайдіть периметр трикутника, сторони якого лежать на прямих а, b й осі абсцис.

272*. На якій відстані від початку координат проходить пряма:

1) у = kx + b;

2) ах + by + с = 0?

273*. Як знайти відстань від точки М (х₀; у₀) до прямої, заданої рівнянням:

1) у = kx + b;

2) ах + by + с = 0?

Проявіть компетентність

274. Через заданий вузол сітки проведіть пряму, яка паралельна даній прямій і проходить через два дані вузли сітки.

275. Як через даний вузол сітки провести прямі з кутовими коефіцієнтами і відносно горизонтальної лінії сітки? А відносно вертикальної?

276. Яка лінія є графіком рівномірного прямолінійного руху, що визначається рівнянням s = s₀ + vt?

277. Населені пункти А і В розташовані на відстані 8 км один від одного. З пункту А вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год, а назустріч йому з пункту В виїхав велосипедист зі швидкістю 12 км/год. За малюнком 60 поясніть:

1) як дізнатися про те, який час до зустрічі були в дорозі пішохід і велосипедист;

2) на якій відстані від пункту А пішохід і велосипедист зустрілися.

Мал. 60