Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 5. ПОНЯТТЯ РІВНЯННЯ ФІГУРИ. РІВНЯННЯ КОЛА

1. ЩО ТАКЕ РІВНЯННЯ ФІГУРИ

Ви знаєте, що геометричну фігуру ми уявляємо складеною з точок, а кожну точку можна задати її координатами в прямокутній декартовій системі координат. Установивши залежність між абсцисами й ординатами точок фігури, одержимо рівняння фігури. Якщо для фігури F відомо її рівняння в деякій системі координат, то говорять: фігура F задана рівнянням у даній системі координат.

Чи кожне рівняння з двома змінними задає певну фігуру? Ні.

Рівняння з двома змінними x і у є рівнянням фігури в заданій системі координат, якщо виконуються дві умови: 1) координати будь-якої точки фігури задовольняють дане рівняння; 2) будь-які два числа, що задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки фігури.

Щоб установити, що в даній системі координат фігуру F задано певним рівнянням, потрібно довести два взаємно обернені твердження:

1) якщо точка належить фігурі F, то її координати задовольняють рівняння фігури F;

2) якщо координати деякої точки задовольняють рівняння фігури F, то ця точка належить фігурі F.

2. РІВНЯННЯ КОЛА

ТЕОРЕМА

(про рівняння кола).

Коло із центром С (х ₀; y ₀) і радіусом R задає рівняння:

(х - x ₀) ² + (у — y ₀) ² = R ².

Д а н о: ХОY — прямокутна декартова система координат (мал. 38), коло із центром С (х ₀; y ₀) і радіусом R.

Д о в е с т и: дане коло задає рівняння (х - х ₀) ² + (y - y ₀) ² = R ².

Д о в е д е н н я. Візьмемо довільну точку М (х; y) на колі. За означенням кола, СМ = R або СМ ² = R ². Виразивши СМ ² через координати точок С і М, одержимо:

(х - х ₀) ² + (y - y ₀) ² = R ².     (1)

Оскільки точка М — довільна точка кола, то можна стверджувати, що координати будь-якої точки кола задовольняють рівняння (1). Навпаки, нехай координати деякої точки М ₁(х ₁; y ₁) задовольняють рівняння (1). Тоді справджується рівність (х ₁ - х ₀) ² + (y ₁ - y ₀) ²= R ² або

Мал. 38

Остання рівність показує, що точка М ₁ (х ₁; у ₁) віддалена від центра кола — точки С (х ₀; у ₀) на відстань R, тобто точка М ₁ (х ₁; y ₁) належить цьому колу.

НАСЛІДОК. Якщо центр кола міститься в початку координат, то рівняння кола має вигляд: х ² + y ² = R ².

Справді, початок координат О має координати (0; 0), тому x ₀ = 0, y ₀ = 0 і рівняння (1) набуває вигляду: х ² + y ² = R ².

Відомості про особливості рівняння кола наведено в таблиці 8.

Таблиця 8

Задача Коло, яке задано рівнянням (х + 1) ² + (y - 2) ² = R ², дотикається до осі ОХ. Який радіус даного кола?

Розв’язання Нехай С — центр кола. За рівнянням кола визначимо координати його центра: С (-1; 2). За властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до цієї дотичної. Тому перпендикуляр СА до осі ОХ є радіусом даного кола (мал. 39). Оскільки СА II OY, то довжина перпендикуляра СА дорівнює ординаті центра кола С. Тому R = 2.

Мал. 39

Дізнайтеся більше

1. Ви вже знаєте, що коло є геометричним місцем точок, рівновіддалених від заданої точки. Раніше ви дізналися, що коло є окремим випадком еліпса.

Еліпс визначають як геометричне місце точок, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів еліпса F ₁ і F ₂) є сталою й дорівнює 2а, де 2а > F ₁F ₂ = 2с (мал. 40).

Канонічне (найпростіше) рівняння еліпса:

Числа

а і b є довжинами півосей еліпса (мал. 40). Якщо а = b, то еліпс є колом. Справді, якщо і b = а, то х ² + у ² = а ².

Одержали рівняння кола із центром у початку координат і радіусом R = а.

Мал. 40

Мал. 41

2. Стародавні греки для обчислення площі еліпса використовували складні розрахунки. Вони досліджували площу квадрата, побудованого на відрізку CD (довжина цього відрізка залежить від положення точки С на відрізку АО, де О — середина АВ). Площу квадрата порівнювали з площею прямокутникаACMN (мал. 41): CD ² = AN ∙ AC - ∙ AC ². Оскільки в обчисленнях для еліпса площа прямокутника ACMN використовується з недостачею (у формулі для CD ² другий доданок береться зі знаком «-»), то еліпс так і назвали — д, що в перекладі з грецької означає «недостача». Цікавим є те, що назви гіперболи й параболи мають таке саме походження: — перевищення, надлишок (у формулі для CD ² другий доданок береться зі знаком «+»); пара — зіставлення площ, порівняння (у формулі для CD ² другий доданок дорівнює нулю).

Гіпатія (370-415) — дочка відомого грецького вченого Теона. Вона народилася й жила в Александрії, була однією з найбільш ерудованих у математиці й астрономії людей у світі. її легендарне знання, скромність, красномовство розквітло в період знаменитої Александрійської Бібліотеки.

Вона була настільки всебічно освіченою, що на її думку зважали всі вчені того часу. Гіпатія зробила певний внесок у геометрію й астрометрію, зіграла важливу роль у створенні астролябії, написала коментарі до праць Діофанта й Аполлонія. Але, на жаль, наукові праці Гіпатії не збереглися.

Після смерті Гіпатії Александрійської протягом 1000 років в історії математики ми не зустрічаємо імен жінок.

Гіпатія

Пригадайте головне

1. Поясніть, що таке рівняння фігури.

2. Як установити, що фігура в даній системі координат задається певним рівнянням?

3. Яке рівняння задає коло в прямокутній декартовій системі координат?

4. Яким є рівняння кола із центром у початку координат?

Розв'яжіть задачі

171'. Чи правильно, що рівнянням фігури в даній системі координат є:

1) рівняння з однією змінною х;

2) рівняння з однією змінною у;

3) рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати будь-якої точки координатної площини;

4) рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати кожної точки даної фігури й не задовольняють координати будь- якої іншої точки?

172'. Чи правильно, що коло із центром С (х ₀; у ₀) і радіусом R задає рівняння:

1) (х - x ₀) + (у - y ₀) = R;

2) (х - х ₀) ² + (у - y ₀) ² = R;

3) (х - х ₀) ² + (у - y ₀) ² = R ²?

173'. Чи правильно, що коло із центром О (0; 0) і радіусом R задає рівняння:

1) х + у = R;

2) х ² + у ² = R;

3) х ² + у ² = R ²?

174°. За даними на малюнках 42, 43 визначте координати центра С і радіус R кола.

175°. Визначте координати центра С і радіус R кола на малюнку 44?

176°. Побудуйте коло з даним центром С і радіусом R:

1) С (-1; 1), R = 3;

2) С (2; -1), R= 1.

177°. Побудуйте коло із центром С (-2; -3) і радіусом 4.

178°. Визначте координати центра й радіус кола, заданого рівнянням:

1) (х - 2) ² + (y - 1) ² = 16;

2) (х - 1) ² + (y - 3) ² = 3;

3) х ² + (y - 3) ² = 2;

4) (х + 1) ² + у ² = 49.

179°. Визначте координати центра й радіус кола, заданого рівнянням:

1) (х + З) ² + (у - 4) ² = 5;

2) (х + 4) ² + (y - 1) ² = 25.

180°. Чи лежать дані точки А (-1; 2), В (2; -3), С (-6; -4), D (-5; 0) на колі:

1) (х + 4) ² + (y + 1) ² = 25;

2) х ² + (y - 3) ² = 2;

3) (х + 1) ² + (у - 2) ² = 36?

181 °. Чи лежать точки О (0; 0) і Т (-2; 5) на колі (х + 2) ² + (у - 1) ² = 16?

182°. Складіть рівняння кола з радіусом R і центром у точці С, якщо:

Мал. 42

Мал. 43

183°. Складіть рівняння кола з радіусом 4 і центром у точці С(2; -2).

184°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 9.

Таблиця 9

185°. Коло проходить через точки А і В, а його центр лежить на прямій АВ. Складіть рівняння кола, якщо:

1) А (-5; 2), В (1; -4);

2) А(5; -2), В (-1; 4).

186°. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки А(5; 2) і В(-1; -4), якщо його центр лежить на прямій АВ.

Мал. 44

187°. Коло дотикається до осі абсцис, а його центр має координати:

1) (2; -1);

2) (-3; 2).

Чи перетинає дане коло вісь ординат? Відповідь поясніть.

188°. Коло дотикається до осі абсцис, а його центр має координати (4; 5).

Чи перетинає дане коло вісь ординат? Відповідь поясніть.

189°. Коло із центром у точці С перетинає вісь ординат у точці А. Складіть рівняння кола, якщо:

1) С (2; 3), А (0; 4);

2) С (-3; -2), А (0; 2).

190°. Складіть рівняння кола із центром у точці С (-4; 2), яке перетинає вісь ординат у точці А(0; 5).

191°. Коло із центром у точці С перетинає вісь абсцис у точці В. Складіть рівняння кола, якщо:

1) С (3; 2), В (4; 0);

2) С (-2; -3), В (2; 0).

192°. Складіть рівняння кола із центром у точці С(2; -4), яке перетинає вісь абсцис у точці В(5; 0).

193. Коло із центром у точці (-2; 3) проходить через точку з координатами:

1) (0; 3);

2) (-2; 4).

Чи проходить дане коло через точки А (-4; 3), В (-2; 4), С (1; 3)?

194. Складіть рівняння кола із центром на прямій у = 4, що дотикається до осі абсцис у точці:

1) (-1; 0);

2) (2; 0).

195. Поясніть, чому прямі х = -5 і у = 5 не перетинають коло:

1) (х - 4) ² + (у + 5) ² = 25;

2) х ² + (у + 2) ² = 16.

196. Відстань від центра кола, заданого рівнянням (х - 1) ² + (у + 2) ² = 9, до прямої а дорівнює:

1) 1;

2) 3.

Що можна сказати про взаємне розміщення прямої та кола?

197. Коло з діаметром AВ задано рівнянням (х + 2) ² + (у - 2) ² = 16. Знайдіть координати точки В, якщо:

1) А (2; 2);

2) А (-2; 6).

198. Складіть рівняння кола, що проходить через точки А (2; 3) і В (-2; 3), якщо його радіус дорівнює:

199. Дано коло х ² + у ² = 25 і дві точки:

Доведіть, що АВ — хорда даного кола.

200. Складіть рівняння геометричного місця точок, віддалених на 5 одиниць від центра кола:

1) (х - 1) ² + (у + 2) ² = 9;

2) (х + 3) ² + (у + 1) ² = 36.

201. Складіть рівняння кола, що дотикається до осей координат і прямої:

1) х = 2;

2) У = 5.

202. Складіть рівняння кола, що проходить через точку (3; 3) і дотикається до осі абсцис та прямої:

1) y = 6;

2) х = -3.

203*. Складіть рівняння кола, що проходить через початок координат і точки:

1) (8; 0) і (0; 6);

2) (0; 16) і (12; 0).

204*. Складіть рівняння кола, що проходить через точки:

1) (4; 0), (0; 2), (4; 2);

2) (-1; 5), (-2; -2), (5; 5).

205*. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, перетинає його у двох точках. Доведіть.

206*. Визначте довжини хорд кола з кінцями на осях координат, якщо коло задано рівнянням:

1) (х - 3) ² + (у - 1) ² = 9;

2) (х - 1) ² + (у + 2) ² = 25.

207*. Яке рівняння задає коло, описане навколо прямокутника з вершинами в точках:

1) (0; 0), (24; 0), (24; 10) і (0; 10);

2) (0; 5), (8; 5), (8; -2) і (0; -2)?

208*. У коло х ² + у ² = 16 вписано рівносторонній трикутник. Знайдіть координати його вершин, якщо одна з них лежить у точці:

1) (0; 4);

2) (-4; 0).

209*. Знайдіть радіус і центр кола:

1) х ² + 8х + у ² - 10у - 41 = 0;

2) х ² - 10х + у ² + 6у = 0;

3) х ² - 4х + у ² + 4у = 16;

4) у ² = (х - 2)(6 - х).

Проявіть компетентність

210. Доведіть, що коло із центром у вузлі сітки й радіусом 5 клітинок проходить через 12 вузлів сітки.

211. Через яку кількість вузлів сітки проходить коло, центр якого міститься в її вузлі, а радіус дорівнює 25 клітинкам?

212. Де на подвір’ї потрібно розмістити ліхтар, щоб хвіртка, криниця та вхід до будинку освітлювались однаково?