Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

1. ДІЯ СКАЛЯРНОГО МНОЖЕННЯ ВЕКТОРІВ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Ви вже знаєте дві дії над векторами — додавання та множення вектора на число. Розглянемо нову дію над векторами — скалярне множення. Спочатку введемо поняття кута між векторами.

На малюнку 124 ви бачите два вектори i . Відкладемо від точки О вектори

Промені ОА і ОВ утворюють кут АОВ, який називають кутом між векторами i

Коротко записуємо: і читаємо: кут між векторами i .

Якщо вектори i півнапрямлені, то , а якщо протилежно напрямлені, то

Мал. 124

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.

Назва скалярного добутку зумовлена тим, що результатом цієї дії є число.

Скалярний добуток записують так: .

Отже, за означенням:

Добуток називають скалярним квадратом вектора і позначають

Отже, тобто скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Властивості скалярного множення векторів наведено в таблиці 16.

Таблиця 16

Мал. 125

Мал. 126

2. СКАЛЯРНЕ МНОЖЕННЯ ВЕКТОРІВ, ЗАДАНИХ СВОЇМИ КООРДИНАТАМИ

Якщо вектори задано своїми координатами:

то їх скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат даних векторів:

Звідси одержимо такі факти:

1) умова перпендикулярності векторів (мал. 127):

а₁b₁ + а₂b₂ = 0;

2) формула для обчислення кута між векторами

Мал. 127

Дізнайтеся більше

1. У вас могло виникнути запитання: Як вивести формулу скалярного добутку двох векторів, заданих своїми координатами?

Нехай дано вектори

Розкладемо їх за координатними векторами

Застосовуючи відповідні властивості скалярного добутку, одержимо:

Ураховуючи, що маємо:

2. Термін «скалярний» походить від латинського слова scalaris, що означає — східчастий. Уперше його став уживати У. Гамільтон.

3. Осиповський Тимофій Федорович (1766-1832) — відомий математик, професор, був одним із засновників Харківського університету, а згодом став його ректором. Навчався у Володимирівській та Санкт-Петербурзькій учительських семінаріях. Наукові праці вченого є окрасою нашої математичної літератури початку ХІХ ст., а його «Курс математики» може займати достойне місце серед найкращих іноземних посібників того часу.

Т. Ф. Осиповський

Пригадайте головне

1. Поясніть, що таке кут між двома векторами.

2. Сформулюйте означення скалярного добутку двох векторів.

3. Чим зумовлена назва скалярного множення?

4. Які властивості скалярного множення?

5. Чому дорівнює скалярний квадрат вектора?

6. Як знайти скалярний добуток векторів за їхніми координатами?

7. Яка умова перпендикулярності двох векторів?

8. За якою формулою знаходять кут між векторами?

Розв'яжіть задачі

445'. За допомогою транспортира з’ясуйте, який кут між векторами i на малюнках 128-130.

446'. За наведеним записом сформулюйте твердження для даних векторів:

447'. Чи правильно, що скалярним добутком двох векторів є:

1) вектор;

2) скаляр (число)?

448'. Прочитайте формулу:

Мал. 128

Мал. 129

Мал. 130

449'. Чи правильно підставлено координати векторів i у формулу їх скалярного добутку:

450'. Чи правильно, що два вектори є взаємно перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює:

1) 1;

2) -1;

3) 0?

451°. За даними на малюнках 131, 132 назвіть кут між векторами i . Яка його градусна міра?

452°. За даними на малюнку 133 назвіть кут між векторами i . Яка його градусна міра?

453°. Обчисліть скалярний добуток векторів i , якщо:

454°. Обчисліть скалярний добуток векторів i , якщо:

455°. Чому дорівнює скалярний квадрат вектора, якщо вектор має довжину:

Зробіть відповідний запис.

456°. Знайдіть скалярний квадрат вектора, якщо:

457. Зробіть відповідний запис. 457°. Знайдіть кут між векторами i якщо:

Мал. 131

Мал. 132

Мал. 133

458°. Знайдіть кут між векторами i , якщо

459°. Знайдіть довжину вектора , якщо:

460°. Знайдіть довжину вектора , якщо

461°. Яка довжина вектора якщо його скалярний квадрат дорівнює:

1) 2;

2) 8;

3) 9;

4) 12?

Відповідь поясніть.

462°. Яка довжина вектора , якщо його скалярний квадрат дорівнює:

1) 3;    2) 4?

Відповідь поясніть.

463°. Знайдіть скалярний добуток векторів i якщо:

464°. Знайдіть скалярний добуток векторів i , якщо:

465°. Доведіть, що вектори i взаємно перпендикулярні:

466°. Що можна стверджувати про дані вектори, якщо:

Зробіть відповідний запис.

467°. Що можна стверджувати про дані вектори, якщо:

Зробіть відповідний запис.

468°. Знайдіть кут між даними векторами:

469°. Знайдіть кут між даними векторами:

470°. Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо А (1; 1), В (5; 3), С (1; 7).

471 °. Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо А (1; 2), В (-1; 3), С (0; 0).

472. Побудуйте вектори i , скалярний добуток яких обчислюється за формулою:

Скільки розв’язків має задача?

473. Яка особливість розміщення векторів i , якщо:

474. Дано квадрат ABCD зі стороною 1. Знайдіть:

475. На двох сусідніх сторонах паралелограма задано вектори i . Знайдіть довжини його діагоналей, якщо:

476. Знайдіть якщо:

477. Вектори i взаємно перпендикулярні. Знайдіть якщо:

478. Доведіть, що чотирикутник ABCD — квадрат, якщо:

1) А (1; 2), В (4; 5), С (7; 2), D (4; -1);

2) А (3; -2), В (1; 1), С (4; 3), D (6; 0).

479. Виконайте обчислення в заданому виразі та з’ясуйте, які координати мають дані вектори, яка їхня довжина, який кут між ними:

480*. Знайдіть кут між векторами + i - :

481*. За відомими модулями векторів i та кутом між ними знайдіть скалярний добуток векторів якщо:

482*. Обчисліть скалярний добуток векторів i , якщо = 3 - 2, = 4, де , — одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

483*. Який кут утворюють одиничні вектори i якщо вектори взаємно перпендикулярні?

484*. Яким є кут між векторами i (гострим, прямим чи тупим), якщо:

485*. Доведіть нерівність

486*. Дано вектори Знайдіть таке число , щоб вектор був перпендикулярним до вектора:

487*. Знайдіть кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах:

488*. Вершини трикутника містяться в точках A (0; 0), B (6; 0) і C (-3; 3).

Знайдіть кут між стороною АВ та медіаною АМ.

489*. У рівнобічній трапеції ОАСВ: ВС = АС = 2, точки M і N — середини основ трапеції ОВ і АС відповідно. Гострий кут трапеції дорівнює 60°.

Знайдіть кут між векторами i .

490*. Одиничні вектори , i задовольняють умову: Обчисліть

Проявіть компетентність

491. Знайдіть, яку роботу виконує сила (4; 7), якщо її точка прикладання переміщується на вектор (-1; 10).

492. Силу, яка діє на матеріальну точку, розкладено на дві складові за напрямами, що утворюють кути а і Р з напрямом дії сили. Знайдіть модулі складових, якщо модуль даної сили дорівнює 3Н і відомо, що:

1) а = 30°, = 90°;  2) а = 60°, = 18°.

Виконайте малюнок.

493. Крайні точки України мають такі географічні координати: північна (55°22' пн. ш.; 33°11' сх. д.), східна (49°15' пн. ш.; 40°13' сх. д.), південна (44°23' пн. ш.; 33°44' сх. д.), західна (48°05' пн. ш.; 22°08' сх. д.). Якщо провести умовні прямі через крайні північну й південну точки та крайні західну і східну точки, то чи можна переконатися в перпендикулярності цих прямих?