Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 2 Вектори на площині

§ 9. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА

Ви вже знаєте, що впорядкована пара точок A і В визначає вектор . Нехай точки A і В мають координати: A (х ₁; y ₁), В (х ₂; y ₂) (мал. 112). Числа а ₁ = х ₂ - х ₁ і а ₂ = y ₂ - y ₁називають координатами вектора а в даній системі координат.

Коротко записуємо: (а ₁; а ₂), і говоримо: вектор з координатами а ₁ і а ₂.

Мал. 112

Зрозуміло, що координати нуль-вектора дорівнюють нулю: (0; 0). Оскільки довжина вектора (а ₁; а ₂) дорівнює відстані між його початком і кінцем, то її можна обчислити за формулою:

Доведіть це самостійно.

Задача 1

Побудуйте вектор (3; -4).

Розв’язання. Щоб побудувати вектор , потрібно задати його початок і кінець у даній системі координат. Нехай початок вектора (мал. 113) міститься в початку координат 0(0; 0), а його кінець — у точці А(х ₁; y ₁).

Тоді, за означенням координат вектора, 3 = х ₁ - 0, -4 = y ₁ - 0. Звідси х ₁ = 3, y ₁ = -4. Отже, точка А має координати (3; -4). Вектор =

— шуканий.

Мал. 113

Як побудувати вектор , якщо його початок розмістити в ІНШІЙ точці координатної площини? Поміркуємо.

На малюнку 114 початок вектора (3; -4) міститься в точці С (1; 2), а кінець — у точці D (х ₂; y ₂). За означенням координат вектора, 3 = х ₂ - 1, -4 = y ₂ - 2.

Звідси х ₂ = 4, y ₂ = -2. Отже, кінець вектора a міститься в точці D (4; -2). Вектор = — шуканий.

Довжина та напрям вектора не залежать від розміщення його початку в системі координат.

Мал. 114

Наведемо без доведення інші важливі твердження.

1. Вектори рівні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати рівні (мал. 115).

Мал. 115

Мал. 116

2. Вектори колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні (мал. 116).

3. Щоб додати (відняти) вектори, їх відповідні координати додають (віднімають).

4. Щоб помножити вектор на число, його координати множать на це число.

Задача 2. Знайдіть модуль вектора 2 - 3 якщо

Розв’язання

Знайдемо координати вектора 2 - 3 .

Обчислимо модуль одержаного вектора.

Дізнайтеся більше

1. Нехай вектор (а ₁; а ₂) відкладено від початку координат (мал. 117).

Відкладемо на осях координат одиничні вектори (їх ще називають координатними векторами), а також вектори що мають довжини відповідно а ₁ і а ₂. Виразимо вектори через відповідні одиничні вектори:

Вектор , дорівнює сумі векторів

Звідси одержимо:

Мал. 117

Рівність називають розкладом вектора за двома координатними векторами, а числа а ₁ і а ₂ — коефіцієнтами розкладу. Узагалі, розклад вектора за двома неколінеарними векторами — єдиний. Отже, координатами вектора в певній системі координат є коефіцієнти розкладу даного вектора за координатними векторами.

2. Будь-який вектор можна розкласти не лише за координатними векторами, а за будь-якими двома ненульовими неколінеарними векторами. Розглянемо приклад.

Нехай дано два ненульові неколінеарні вектори i та довільний вектор .

Відкладемо дані вектори від спільного початку О (мал. 118). Вектор дорівнює сумі векторів колінеарних із векторами i відповідно.

Тоді

де m і n — деякі числа, що одночасно не дорівнюють нулю.

Тоді

Отже, одержали розклад вектора за векторами i .

Мал. 118

3. Елена Лукреція Корнаро Піскопія (1646-1684) — італійський філософ, математик, перша жінка у світі, яка була студенткою, перша жінка у світі, яка здобула докторський ступінь. Піскопія була дочкою прокуратора Венеції. Здобула добру освіту, зокрема, опанувала декілька сучасних і класичних мов та «вільні мистецтва». Вона зневажала фривольність венеціанського суспільства й ще замолоду пішла в черниці до бенедиктинок. Піскопія із часом вирішила повністю присвятити себе науці. У 1677 р. вона провела свій перший публічний диспут у Падуанському університеті. Згодом Піскопія добилася дозволу захистити докторську дисертацію. Це сталося 25 червня 1678 р. Проте її науковий доробок був опублікований у Пармі лише після смерті (1688 р.). У Падуанському університеті встановлено її скульптурний пам’ятник.

Пригадайте головне

1. Що називають координатами вектора?

2. Як знайти довжину вектора, заданого своїми координатами?

3. Поясніть, як побудувати вектор за його координатами.

4. Які координати мають рівні вектори? Колінеарні вектори?

5. Як знайти суму векторів, заданих своїми координатами; їх різницю?

6. Як помножити на число вектор, заданий своїми координатами?

Розв'яжіть задачі

389'. Чи правильно, що координатами вектора (3; 4) є впорядкована пара чисел:

1) 3 і 3;  2) 4 і 4; 3) 4 і 3; 4) 3 і 4?

390'. Чи правильно, що довжину вектора (3; 4) можна знайти, обчисливши значення виразу:

391'. Чи правильно, що в рівних векторів відповідні координати:

1) нерівні;

2) рівні?

392'. Чи правильно, що в колінеарних векторів відповідні координати:

1) непропорційні;

2) пропорційні?

393'. Чи правильно, що координати суми векторів дорівнюють:

1) сумі координат векторів-доданків;

2) сумам відповідних координат векторів-доданків?

394'. Чи правильно, що координати добутку вектора на число дорівнюють:

1) добутку координат вектора;

2) добутку відповідних координат вектора на дане число?

395°. За малюнками 119 і 120 знайдіть координати початку й кінця заданих векторів.

396°. Які координати початку й кінця вектора на малюнку 121?

397°. Які координати має вектор:

Мал. 119

398°. Які координати має вектор (мал. 121)?

399°. Яку довжину має вектор:

400°. Складіть вираз для обчислення довжини вектора:

401°. Чи є рівними вектори i , якщо:

Відповідь поясніть.

402°. Чи є рівними вектори i , якщо:

Відповідь поясніть.

403°. Чи є колінеарними вектори i , якщо:

Мал. 120

Чи є дані вектори рівними; протилежними? Відповідь поясніть.

404°. Серед даних векторів знайдіть колінеарні вектори:

405°. Чи є колінеарними вектори i , якщо:

Відповідь поясніть.

406°. Знайдіть координати вектора якщо:

1) А (-1; 5), В (2; 5);

2) А (-4; 6), В (1; 0);

3) А (1; 1), В (3; -9). Побудуйте даний вектор.

Мал. 121

407°. Накресліть у зошиті таблицю 15 і заповніть її.

Таблиця 15

408°. Знайдіть координати вектора , якщо:

1) А (0; 3), В (1; -1); 2) А (-3; -3), В (2; 2).

Побудуйте даний вектор.

409°. Знайдіть довжину вектора :

410°. Знайдіть довжину вектора , якщо відомі координати точок А і В:

1) А (10; 3), В (0; 5); 2) А (2; -1), В (5; 2); 3) А (-1; -2), В (1; 2).

411°. Знайдіть довжину вектора (-6; -8).

412°. Чи є одиничним вектор:

413°. Доведіть, що вектор (1; 1) не є одиничним.

414°. Знайдіть координати суми та різниці векторів i , якщо:

415°. Знайдіть координати суми та різниці векторів i , якщо:

416°. Знайдіть координати суми векторів i (мал. 122).

417°. Який вектор потрібно додати до вектора (4; 3), щоб одержати нуль-вектор?

418°. Чи є вектор (5; 2) сумою векторів i (мал. 123)?

419°. Дано вектор (1; 4). Знайдіть координати вектора:

420°. Дано вектор (4; -2). Знайдіть координати вектора:

421°. Дано: Знайдіть координати вектора , якщо:

422°. Знайдіть модуль вектора 2 - , якщо:

423°. Знайдіть модуль вектора + 2 , якщо

Мал. 122

Мал. 123

424. Серед векторів знайдіть колінеарні вектори, якщо:

1) А (2; 3), В (2; -1), С (1; -1), D (1; 13);

2) А (-1; 2), В (0; -6), С (1; -4), D (-3; 6).

425. За якого значення вектори колінеарні?

426. Знайдіть координати вектора, протилежного до вектора , якщо:

1) А (10; 9), В (1; 1); 2) А (4; -7), В (0; 6).

427. За якого значення вектор (1; ):

1) є одиничним; 2) має довжину 3?

428. Модуль вектора дорівнює 8. Знайдіть , якщо:

429. Побудуйте суму векторів i , якщо А (-1; 2), В (2; -1), С (1; -3) і D (-5; 3). Розв’яжіть задачу двома способами.

430. Знайдіть координати векторів: та побудуйте їх, якщо:

431. Побудуйте паралелограм на векторах Визначте довжини його діагоналей.

432. Відомі координати вершин трикутника АВС: А (6; 2), В (1; 1), С (-5; 9). Знайдіть координати вектора якщо АМ — медіана даного трикутника.

433. Чи рівні вектори якщо:

434*. Доведіть, що точки А (-1; 2), В (2; -1), С (1; -3) і D (-5; 3) є вершинами трапеції.

435*. Побудуйте вектор якщо А (3; 3), В (-8; 1), С (4; -1). Розв’яжіть задачу двома способами.

436*. Побудуйте вектор якщо Розв’яжіть задачу двома способами.

437*. На сторонах трикутника АВС задано вектори Які координати мають вектори що визначаються медіанами даного трикутника? Знайдіть довжини його медіан.

438*. Знайдіть координати вершин трикутника АВС та координати вектора якщо:

439*. Знайдіть координати вектора колінеарного з вектором якщо

440*. Визначте координати вектора якщо

441*. Дано: Доведіть, що АВСD — трапеція.

Проявіть компетентність

442. На тіло діють сили Знайдіть вектор рівнодійної сили.

443. Дано вектор рівнодійної сили (6; 13). Знайдіть вектори сил, що мають напрями осей координат і для яких дана сила є рівнодійною.

444. Щоб зважити брусок вагою 10 Н за допомогою двох динамометрів, розрахованих на вимірювання сили 5 Н, діють так. Обидва динамометри укріплюють поряд на одному рівні, а брусок підвішують одразу до обох гачків динамометрів. Поясніть, чому так можна зважити брусок.