Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Додатки

Навчальний проект № 2 Функції навколо нас

Цей навчальний проект складається із двох частин.

Першу частину присвячено розгляду загальних теоретичних питань, що стосуються функцій. Учні обирають напрям дослідження і в такий спосіб поділяються на групи: «дизайнери», «історики», «журналісти», «фахівці з ІТ-технологій», «математики» тощо. Кожен учень може взяти участь у роботі однієї або двох проектних груп.

Дизайнери з’ясовують, де і як використовують елементи графіків функцій у художньо-технічному проектуванні окремих виробів та їхніх комплексів у різних галузях знань — в архітектурі, оздобленні одягу тощо. Наводять приклади таких функцій.

Історики вивчають виникнення та використання поняття «функція». На захист готують коротке повідомлення і презентацію з конкретними означеннями та відомостями про їх авторів. Наприклад.

У другій половині XIX ст. (після створення теорії множин) в означення функції, крім ідеї відповідності, включено ще й ідею множини: «Якщо кожному елементу х множини А поставлено у відповідність деякий певний елемент у множини В, то кажуть, що на множині А задано функцію у = f(x), або, що множина А відображається на множину В». Таке означення функції можна застосовувати не лише до величин і чисел, а й до інших математичних об’єктів, наприклад, до геометричних фігур.

Журналісти шукають художні твори чи окремі цитати, у яких згадується про ті чи інші функції та їх властивості. Наприклад.

— Немає жодної галузі людського знання, куди не входили б поняття про функції та їх графічне зображення.

К. Ф. Лебединцев

Фахівці з ІТ-технологій демонструють, як за допомогою інформаційних технологій можна будувати графіки складних функцій, вивчати їх властивості та розв’язувати рівняння, нерівності та їх системи. Наприклад, будують графіки функцій у Excel, GRAN чи GeoGebra.

Математики — вивчають функції, що не розглядають в основній школі. Наприклад, функції цілої і дробової частини числа, показникові, тригонометричні функції тощо.

Друга частина проекту присвячена моделюванню різних процесів під час розв’язування прикладних задач. Передбачається, що функції, геометричні фігури, вирази, рівняння та їх системи, діаграми тощо будуть використовуватися як математичні моделі. Учні мають ознайомитися з поданим нижче теоретичним матеріалом «Математичне моделювання» і розв’язати визначені вчителем задачі.

Учням рекомендується самостійно опрацювати поданий нижче теоретичний матеріал.

Математичне моделювання

Математичними методами розв’язують не тільки абстрактні математичні задачі про числа, фігури, рівняння, функції тощо, а й багато інших. Прикладними задачами в математиці називають такі, умови яких містять нематематичні поняття. Розв’язуючи прикладну задачу математичними методами, спочатку створюють її математичну модель.

Задача 1. У двох магазинах — 580 кг яблук. Скільки яблук у кожному магазині, якщо в першому на 60 кг більше, ніж у другому. Складіть різні математичні моделі цієї задачі.

Розв’язання. Нехай у першому магазині — х кг яблук, тоді в другому їх — (х - 60) кг, а разом — (х + х - 60) кг. Маємо рівняння х + х - 60 = 580. Звідси: 2х = 640, х = 320, х - 60 = 320 - 60 = 260.

Відповідь. 320 кг і 260 кг.

Рівняння х + х - 60 = 580 — одна з математичних моделей розглянутої задачі. Можна створити й інші її моделі, зокрема у вигляді:

Моделлю називають спеціально створений об’єкт, який відображає властивості досліджуваного об’єкта (від французького слова modele — копія, зразок). Зменшені моделі літака, греблі, автомобіля — приклади фізичних моделей.

Математична модель — це система математичних співвідношень, яка наближено в абстрактній формі описує досліджуваний об’єкт, процес або явище.

Математичні моделі створюють з математичних понять і відношень: геометричних фігур, чисел, виразів тощо. Математичними моделями здебільшого бувають функції, рівняння, нерівності, їх системи.

Процес побудови математичної моделі та подальше її застосування для розв’язування конкретних задач називається математичним моделюванням.

Розв’язування прикладної задачі математичними методами здійснюється в три етапи:

1) створення математичної моделі даної задачі;

2) розв’язування відповідної математичної задачі;

3) аналіз відповіді.

Задача 2. Чи достатньо одного мільйона літрів води для проведення змагань з плавання в басейні з горизонтальним дном прямокутної форми довжиною 100 м і шириною 25 м?

Розв’язання. І. Створення математичної моделі задачі. Вода в басейні з горизонтальним дном набуває форми прямокутного паралелепіпеда, який і є для даної задачі математичною моделлю реального об’єкта. У цьому паралелепіпеді одне з ребер відповідає висоті води (а — шукане значення), інші ребра — це довжина (b) і ширина (с) басейну.

II. Розв’язування математичної задачі. V = а ∙ b ∙ с — об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами a, b і с. За умовою задачі:

b = 100 м, с = 25 м; V = 1 000 000 л = 1 000 000 дм³ = 1000 м³.

Маємо: 1000 = а ∙ 100 ∙ 25, звідси

III. Аналіз відповіді. Для змагань з плавання глибина 0,4 м — надто мала. Отже, 1 000 000 л води в даному басейні недостатньо для проведення змагань з плавання.

Відповідь. Недостатньо.

Для багатьох задач на рух найзручнішими математичними моделями є графіки, побудовані в декартовій системі координат. На осі абсцис t відмічають час руху, а по осі ординат s — пройдену відстань. Зі зміною часу відстань між містами не змінюється, цьому факту відповідають паралельні прямі. Розглянемо задачу.

Задача 3. З міст A і B виїхали одночасно назустріч один одному два автомобілі. Перший приїхав до B через 32 хв після зустрічі, а другий до A — через 50 хв після зустрічі. Скільки хвилин вони їхали до зустрічі?

Розв’язання. Нехай AC і BD — графіки руху першого і другого автомобілів. Якщо кожен із них їхав до зустрічі х хв, тобто AP = BK = х, то KC = 32, PD = 50.

Відповідь. 40 хв.

Математичними моделями даної задачі є система графіків, зображена на малюнку, та рівняння x : 32 = 50 : x. Спробуйте створити інші її математичні моделі.

Наприклад, візьміть до уваги, що AD || BC, а тангенси кутів нахилу AC і BD до цих прямих — швидкості рухів відповідних об’єктів.

1. Наведіть приклади відношень між фізичними величинами, які можна змоделювати рівністю:

2. Сформулюйте прикладну задачу, математичною моделлю якої є формула:

Виконаємо разом!

1. Два фермери, працюючи на комбайнах, можуть разом зібрати врожай пшениці за 12 год. За скільки годин кожен з них, працюючи окремо, міг би зібрати цей урожай, якщо відомо, що продуктивність праці першого в 1,5 раза вища від продуктивності праці другого?

Розв’язання. Нехай перший фермер може зібрати всю пшеницю за x год, тоді другий — за 1,5x год. За 1 год перший може зібрати частину поля, а другий — частину. Разом за 1 год вони можуть зібрати врожай з частини поля. Отже,

Відповідь. 20 год; 30 год.

2. На прoведення кожного тиражу лотереї витрачають 55 000 грн. Один білет лотереї коштує 1 грн. Третина виручки від продажу білетів іде у виграшний фонд, чверть — на сплату податків, а решта — прибуток організаторів лотереї. Яким був прибуток, якщо продали 180 000 білетів? Скільки білетів треба продати, щоб мати прибуток понад 30 000 грн? За якої умови організатори не одержать прибутку?

Розв’язання.

І. Нехай S — виручка за продаж білетів, а P — прибуток. Тоді

III. Оскільки один білет лотереї коштує 1 грн, то кількість проданих білетів (K) чисельно дорівнює виручці. Отже, якщо K > 204 000 штук, то прибуток перевищить 30 000 грн, а якщо K ≤ 132 000 штук, то організатори прибутку не матимуть.

Відповідь. 20 000 грн; понад 204 000 штук; якщо кількість проданих білетів не перевищить 132 000 штук.

Подані нижче дві задачі розв’яжіть усно, дивлячись на їх графічні моделі.

3. О 10 год з міста A до міста B виїхав мотоцикліст, а через 30 хв йому назустріч з В виїхав автомобіль. О котрій годині вони зустрілись, якщо автомобіль до A приїхав о 12 год 30 хв, а мотоцикліст до B — о 13 год (малюнок ліворуч)?

4. О 10 год з міста A до міста B виїхав мотоцикліст, об 11 год так само з A до B — автомобіль. О котрій годині автомобіль наздогнав мотоцикліста, якщо він приїхав до B о 13 год, а мотоцикліст — о 14 год (малюнок праворуч)?

Створіть математичні моделі до задач і розв’яжіть їх.

1. Корова прив’язана на галявині до кілка мотузкою завдовжки 8 м. Яку площу вона випасає?

2. Щоб підняти відро з криниці, треба зробити 12 обертів коловорота. Знайдіть глибину криниці, якщо діаметр вала коловорота становить 24 см.

3. Батько старший за сина в 4 рази, а через 5 років він буде старший за сина тільки в 3 рази. Скільки років синові тепер?

4. Задача Безу. Робітнику сказали, що він одержуватиме по 24 су за кожний відпрацьований день, але при цьому відраховуватимуть по 6 су за кожний прогул. Через 30 днів з’ясувалося, що йому нічого одержувати. Скільки днів він працював?

5. На одному складі вугілля в 2 рази більше, ніж на другому. Якщо на перший склад привезти ще 80 т, а на другий — 145 т, то на обох складах вугілля буде порівну. Скільки тонн вугілля є на кожному складі?

6. В одному мішку було 60 кг цукру, а в другому — 80 кг. З другого мішка взяли цукру в три рази більше, ніж з першого, і тоді в першому мішку залишилось цукру вдвоє більше, ніж у другому. По скільки кілограмів цукру взяли з кожного мішка?

7. З кошика взяли половину всіх яєць, потім — половину остачі, потім — половину нової остачі, нарешті — половину нової остачі. Після цього в кошику залишилося 10 яєць. Скільки яєць було в кошику спочатку?

Для задач 8-9 створіть моделі, аналогічні тій, що використовується в задачі 7. Дайте відповіді на поставлені запитання.

8. Оля спекла пиріжки і два відразу з’їла сама. Половину пиріжків, що залишилися, вона віддала батькам, а половину остачі — подругам. Три пиріжки, що після цього залишилися, вона віддала молодшому брату. Скільки пиріжків спекла Оля?

9. У понеділок учні взяли половину всіх нових підручників, у вівторок — половину остачі, у середу — половину нової остачі. Після цього в бібліотеці залишилося 25 нових підручників. Скільки нових підручників було в бібліотеці?

Розв’яжіть задачі 10 і 11 та зіставте їх математичні моделі.

10. Два ковалі, працюючи разом, виконують певну роботу за 8 днів. За скільки днів виконав би цю роботу другий коваль, якщо перший може виконати її за 12 днів?

11. а) Одна бригада може виконати роботу за 3 год, друга — за 5 год. За скільки годин виконали б цю роботу обидві бригади разом?

б) Однією з двох труб басейн можна наповнити за 3 год, а другою — за 5 год. За скільки годин наповниться басейн, якщо відкрити обидві труби?

в) Від станції А до станції B і від B до А одночасно виїхали два автомобілі. Через скільки годин вони зустрінуться, якщо відомо, що перший автомобіль відстань AB долає за 3 год, а другий — за 5 год?

12. Які розміри мають золотий і срібний злитки у формі куба, якщо маса кожного дорівнює 3 кг? Густина золота — 19,3 г/см³, а густина срібла — 10,5 г/см³.

13. Задача Маклорена. Кілька людей обідали разом і мали заплатити за обід 175 шилінгів. З’ясувалося, що у двох не було з собою грошей, тому інші заплатили на 10 шилінгів більше, ніж їм належало. Скільки людей обідало?

14. На малюнку зображено два резервуари, що мають форму прямокутного паралелепіпеда, і подано їх розміри. Перший резервуар наповнено водою на об’єму, а другий — на об’єму. З першого резервуара щодня беруть

112 літрів води, а з другого — 31 л.

а) Запишіть дріб, який показує, у скільки разів через х днів у першому резервуарі залишиться води більше, ніж у другому.

б) Обчисліть, у скільки разів у першому резервуарі залишиться води більше, ніж у другому через 9 днів.

в) Що означає рівність

Розв’яжіть це рівняння і зробіть висновок.

15. Відкрита задача. Складіть задачу, аналогічну попередній.

16. Заводу було замовлено виготовити 105 двигунів. Завод щодня виготовляв на 6 двигунів більше, ніж передбачалось, тому виконав замовлення на 2 дні раніше. Скільки двигунів завод виготовляв щодня?

17. У розіграші першості з футболу було зіграно 55 матчів, кожна команда грала з кожною іншою по одному разу. Скільки команд брало участь у розіграші?

18. Задача Фібоначчі. Дві вежі, одна заввишки 40, а друга — 30 футів, розташовані на відстані 50 футів одна від одної. До розміщеної між ними криниці злітаються одночасно з обох веж два птахи. Якщо птахи летять з однаковою швидкістю, то вони водночас долітають до криниці. Знайдіть відстань від криниці до веж.

19. Дві бригади мулярів, працюючи разом, можуть виконати роботу за 4 дні. За скільки днів кожна бригада окремо могла б виконати цю роботу, якщо перша зробить це на 6 днів раніше, ніж друга?

20. Двома екскаваторами різної потужності, що працювали разом, вирили котлован за 6 год. Якби одним з них вирили б половину котловану, а потім другим — решту, то всю роботу було б закінчено за 12,5 год. За скільки годин кожним екскаватором окремо можна виконати всю роботу?

21. Двома насосами, що працювали разом, наповнили танкер нафтою за 5 год. Якби потужність І насоса була удвічі меншою, а потужність II — удвічі більшою за початкову, то танкер наповнили б за 4 год. За скільки годин кожним насосом, що працював би окремо з початковою потужністю, можна наповнити танкер нафтою?

22. Маємо 10-відсотковий і 15-відсотковий розчини солі. Скільки треба взяти кожного розчину, щоб мати 100 г 12-відсоткового розчину?

23. Маємо два розчини солі. Концентрація солі в першому — 0,25, а в другому — 0,4. На скільки кілограмів більше треба взяти одного розчину, ніж другого, щоб одержати розчин масою 100 кг, концентрація солі в якому 0,37?

24. Ціна меблів після двох послідовних знижок на р % зменшилася з 12 500 грн до 8000 грн. На скільки відсотків зменшувалася ціна щоразу?

25. У дитячому кафе фруктовий салат «Екзотика», що складається на із персиків, коштує 24 грн. Якою буде ціна салату, якщо персики замінити: а) сливами, що вдвічі дешевші за персики; б) плодами, що в k разів дорожчі за персики? Врахуйте, що вартість компонентів салату становить 50 % його загальної вартості.

26. Попит і пропозиція певного товару описуються рівняннями:

Q_D = 750 - 23p, Q_S = 150 + 97p,

де QD — обсяг попиту (млн штук за рік), Q_S — обсяг пропозиції (млн штук за рік), p — ціна, грн. Знайдіть рівноважну ціну та обсяг продажу. Як зміняться попит і пропозиція, якщо ціна товару становитиме 6 грн?

27. Для виробництва продукції фірма закупила устаткування, вартість якого — 200 000 грн. Передбачається, що термін експлуатації устаткування — 10 років, після чого, у зв’язку із закінченням терміну експлуатації, воно може бути продано тільки на брухт за ціною 19 700 грн. Установіть, якою буде поточна вартість устаткування через 2 і через 5 років його експлуатації, якщо щороку амортизаційні відрахування залишаються сталими.

28. Фермер має 600 м металевої сітки, якою він хоче обгородити загін для телят. Яку форму загону слід обрати, щоб він мав найбільшу площу?