Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Додатки

Навчальний проект № 1

Нерівності в алгебрі

Нерівності з двома змінними

Нерівності в геометрії

Нерівність Барроу PA + PB + PC > 2(PU + PV + PW)

Цікаві нерівності

Клас поділяється на три групи: «історики», «математики», «практики». Кожен учень може взяти участь у роботі однієї або двох проектних груп. Учні формують групи, працюють індивідуально чи в парах над однією із запропонованих нижче тем.

Теми для проектної діяльності повідомляються наприкінці першої чверті. Учням рекомендується самостійно ознайомитися з теоретичним матеріалом, що міститься в § 7 підручника.

Результати роботи над проектом бажано оформити у вигляді групового портфоліо з комп’ютерною презентацією.

Захист проектів доцільно провести на позакласному заході, запросивши учнів інших класів, учителів і батьків.

Історики вивчають виникнення та використання нерівностей на різних етапах розвитку математики. На захист готують коротке повідомлення і презентацію з конкретними прикладами.

Математикам пропонується розширити відомості про нерівності, розглянувши нерівності в алгебрі та геометрії.

Тематика для індивідуальних досліджень (чи досліджень у малих групах) може бути такою:

— розв’язування нерівностей з двома змінними;

— розв’язування нерівностей, що містять модулі;

— розв’язування нерівностей, що містять параметри;

— різні методи доведення нерівностей;

— іменні нерівності;

— геометричні нерівності.

Розглянемо детальніше нерівність, яка стосується й алгебри, й геометрії. Це нерівність трьох квадратів, яка правильна для будь-яких дійсних чисел a, b і c:

a²+ b² + c² > ab + ac + bc.

Доведемо її. Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності та виділимо повні квадрати. Маємо:

a²+ b²+ c²- ab - ac - bc = 0,5((a - b)² + (a - c)² + (b - c)²) > 0, тобто

a² + b² + c² - ab - ac - bc > 0, або a² + b² + c² > ab + ac + bc.

Що і треба було довести.

Цікавою є геометрична модель нерівності трьох квадратів. Спробуйте довести це твердження геометрично.

У математиці нерівність трьох квадратів можна використовувати для:

а) доведення інших нерівностей;

б) визначення найбільших чи найменших значень багатьох виразів із трьома змінними;

в) розв’язування цікавих рівнянь, нерівностей і їх систем.

Аналогічно можна довести і нерівність n квадратів:

Практики з’ясовують, що за допомогою нерівностей та їх властивостей моделюються відношення «менше» і «більше» із навколишнього світу. Цій групі учнів рекомендується розглянути:

— прикладні задачі, що зводяться до розв’язування нерівностей;

— нерівності та наближені обчислення;

— використання ІКТ для розв’язування нерівностей.

Розглянемо детальніше питання, що стосується нерівностей і наближених обчислень.

Наближені обчислення. Чи можна виміряти довжину рейки абсолютно точно? Ні. Навіть якщо почуєте, що довжина якоїсь рейки дорівнює, наприклад, 9,42783 м, не вірте цьому. Адже довжину такої рейки з точністю до сотої частки міліметра не можна виміряти. Результат кожного вимірювання — наближене значення величини.

• З’ясуйте, які з наведених у прикладах чисел можна віднести до точних, а які — до наближених:

а) у школі навчаються 900 учнів;

б) маса Місяця — 7,35 ∙ 10²² кг;

в) площа басейну — 600 м²;

г) товарний поїзд складається з 60 вагонів;

ґ) прискорення вільного падіння дорівнює 9,8 м/с²;

д) клавіатура комп’ютера містить 113 клавіш, а клавіатура фортепіано — 87;

е) потомство однієї інфузорії туфельки на рік становить 75 ∙ 10¹⁰⁸ особин;

є) африканська антилопа імпала може стрибнути в довжину на 7,5 м, а кенгуру — на 12 м;

ж) рецепт овочевої запіканки має 9 компонентів.

Якщо, вимірюючи довжину x деякої рейки, виявили, що вона більша за 6,427 м і менша від 6,429 м, то записують:

6,427 м ≤ x ≤ 6,429 м або x = 6,428 ± 0,001 м.

Говорять, що значення довжини рейки знайдено з точністю до 0,001 м (одного міліметра), або абсолютна похибка наближеного значення 6,428 не перевищує 0,001.

Абсолютною похибкою наближеного значення називають модуль різниці між наближеним і точним значеннями.

Якщо точне значення величини не відоме, то не відома й абсолютна похибка її наближеного значення. У такому випадку вказують межу абсолютної похибки — число, яке не перевищує абсолютна похибка.

У розглянутому вище прикладі межа абсолютної похибки наближеного значення 6,428 дорівнює 0,001. Тут цифри 6, 4 і 2 точні, а 8 — сумнівна, від точної цифри вона відрізняється не більш ніж на одиницю.

Якщо x = 3,274 ± 0,002, тобто 3,272 ≤ x ≤ 3,276, то межа абсолютної похибки наближеного значення 3,274 дорівнює 0,002.

• Перетворивши звичайний дріб у десятковий, одержали 0,6667. Знайдіть абсолютну похибку цього наближення. Знайдіть наближене значення числа з точністю до тисячних і його абсолютну похибку.

• Гепард розвинув швидкість 34,5 м/c. Виразіть цю швидкість у кілометрах за годину, округліть до цілих і знайдіть абсолютну похибку наближення.

• Швидкість світла у вакуумі (у метрах за секунду) — 299 792 458 ± 2, а швидкість звуку в повітрі — 331,6 ± 0,1 м/с. Назвіть наближене значення швидкості світла і швидкості звуку та відповідні межі абсолютних похибок.

Наближені значення можна записувати і без меж похибок. При цьому домовилися записувати їх так, щоб усі цифри, крім останньої, були правильні, а останні (сумнівні) відрізнялися від правильних не більш ніж на одиницю. Наприклад, якщо пишуть x = 6,428 м, то розуміють, що

6,427 ≤ x ≤ 6,429, або x = 6,428 ± 0,001 м.

Якщо у = 3,247 ± 0,002 кг, то писати у = 3,247 кг не прийнято. Такий результат бажано округлити: у = 3,25 кг.

Уявіть, що виміряли (у сантиметрах) товщину h книжки і довжину l шибки: h = 1,6 — з точністю до 0,1, l = 71,5 — з точністю до 0,1.

Межі абсолютних похибок обох значень однакові: 0,1. Але в одному випадку ця похибка припадає на невелике число 1,6, а в іншому — на значно більше число 71,5. Щоб оцінити якість вимірювань, обчислюють відносні похибки.

Відносною похибкою наближеного значення називають відношення абсолютної похибки до модуля наближеного значення.

Наприклад, відносні похибки наближень h і l дорівнюють відповідно:

0,1 : 1,6 = 0,0625 = 6,3 %; 0,1 : 71,5 = 0,0014 = 0,14 %.

Значення l визначено якісніше, з меншою відносною похибкою.

• Порівняйте точність вимірювань товщини d людської волосини і діаметра D Сонця, якщо d = 0,15 ± 0,005 мм, а D = 1 392 000 ± 1000 км.

• Маса Землі дорівнює (5,98 ± 0,01) ∙ 10²⁷ г, а маса дитячого м’яча — (2,5 ± 0,1) ∙ 10² г. Яке вимірювання точніше?

Дії над наближеними значеннями можна виконувати з точним урахуванням похибок і без точного врахування похибок. Точно враховувати похибки можна на основі властивостей подвійних нерівностей. Нехай, наприклад, маса болта в грамах x = 325 ± 2, а маса гайки у = 117 ± 1, тобто 323 ≤ x ≤ 327 і 116 ≤ у ≤ 118.

Додавши почленно ці подвійні нерівності, одержимо:

439 ≤ x + у ≤ 445, або x + у = 442 ± 3.

Аналогічно можна виконувати й інші дії над наближеними значеннями. Роблять так у найвідповідальніших обчисленнях.

• Чи можна увімкнути в коло прилад з опором 44 ± 0,5 Ом, щоб при напрузі 215 ± 15 В сила струму не перевищувала 6 А?

• Необхідно перевезти 1000 ± 20 м³ бетону. Скільки рейсів має зробити самоскид, щоб виконати цю роботу, якщо кузов містить 2,25 ± 0,02 м³?

У менш відповідальних випадках користуються правилами підрахунку цифр.

Нагадаємо, що десятковими знаками числа називають усі його цифри, що стоять праворуч від десяткової коми.

Значущими цифрами числа називають усі його цифри, крім нулів ліворуч, які стоять перед першою цифрою, відмінною від нуля, і нулів праворуч, що стоять на місцях цифр, замінених при округленні.

Наприклад, у наближеному значенні 0,03074 п’ять десяткових знаків і чотири значущі цифри: 3, 0, 7, 4. А в наближеному значенні діаметра Землі d = 12 700 км десяткових знаків немає, а значущих цифр три: 1,2 і 7.

Нехай дано наближені значення x = 3,24 і у = 1,4. Позначимо перші відкинуті при округленні їх цифри знаками запитання: x = 3,24?, у = 1,4?. Знайдемо суму і різницю цих наближених значень:

Взагалі, при додаванні і відніманні наближених значень у результаті слід зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх має компонент дії з найменшою кількістю десяткових знаків.

При множенні наближених значень у результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має множник з найменшою кількістю значущих цифр.

Подібним правилом користуються і при діленні наближених значень.

Виділені жирним шрифтом правила називають правилами підрахунку цифр. Вони не забезпечують високої точності наближених обчислень, але цілком достатні для більшості прикладних задач.

• Знаючи, що діаметр стовбура липи дорівнює 57 см, учень обчислив площу поперечного перерізу стовбура: 2550,5 см². Чи правильна ця відповідь? Якщо неправильна — виправте.

• Знайдіть площу трапеції, основи якої a □ 1,7; b □ 0,43 і висота h □ 0,841.

Люди бояться наближень, хоча в повсякденній практиці мають справу виключно з наближеними числами.

А. Б. Емпахер

Обчислення має проводитися з тим ступенем точності, яка необхідна для практики, причому будь-яка неправильна цифра становить помилку, а кожна зайва цифра — половину помилки.

О. М. Крилов