Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович (1909-1992)

Квадратична функція

§ 11 Квадратична функція

Функцію, яку можна задати формулою y - ax² + bx + c, де а Ф 0, b, c — довільні числа, а x — аргумент, називають квадратичною (або квадратною) функцією.

Приклади квадратичної функції: y = x², y = -x², y = x² + 3, y = (x + 4)². Їх графіки — однакові параболи, але по-різному розміщені на координатній площині. Графік функції y = ax² теж парабола; її вершина лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо a > 0, або вниз, якщо a < 0.

Графіки функцій y = ax² + bx + c і y = ax² — однакові параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.

Покажемо це:

Оскільки a Ф 0, b, c — числа, то і — числа.

Позначивши їх буквами матимемо тотожність:

ax² + bx + c - a(x - m)² + n.

Отже, функцію y - ax² + bx + c, де a ≠ 0, завжди можна подати у вигляді y = a(x - m)²+ n. Наприклад, функцію y = 3x² - 12x + 8 можна записати так: y = 3(x - 2)² - 4.

З § 10 відомо, що графік функції y = a(x - m)² можна одержати за допомогою паралельного перенесення на |m| одиниць вздовж осі x графіка функції y = ax².

Якщо графік функції y = a(x - m)²перенесемо на |n| одиниць уздовж осі y, то одержимо графік функції y = a(x - m)²+ n. Отже, за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції y = ax² утвориться графік функції y = a(x - m)²+ n, а звідси і даної функції y = ax² + bx + c.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y = 3x² - 12x + 8, або y = 3(x - 2)² - 4, потрібно графік функції y = 3x² перенести в напрямку осі x на 2 одиниці (мал. 92), після чого криву II зсунути на 4 одиниці вниз. Утворена крива III — графік даної функції.

Із наведених міркувань випливає, що графік функції y = ax² + bx + c — парабола y = a(x - m)² + n.

Координати її вершини m i n, тобто

Мал. 92

Щоб побудувати графік функції y = ax² + bx + c, треба знайти координати вершини параболи, точки її перетину з осями координат і ще кількох її точок, позначити їх на координатній площині й провести через них плавну лінію. Можна скористатись іншим способом: спочатку побудувати графік функції y - ax² + bx, а потім підняти або опустити його на c одиниць. Графік функції y = ax² + bx, або y = x(ax + b), будувати неважко, оскільки він пере тинає вісь абсцис у точках x - 0 і

Побудова графіка функції y = 3(x - 2)² - 4

Приклад. Побудуйте графік функції y = 2x² + 4x + 3.

Розв’язання. Графік функції y = 2x² + 4x, або y - x(2x + 4), перетинає вісь x у точках x = 0 і x = -2. Позначимо їх (мал. 93). Ці точки симетричні відносно осі параболи, яку маємо побудувати, тому абсциса її вершини x = -1. Ордината дорівнює 2 ∙ (-1)² + 4 ∙ (-1) = -2. Позначаємо точку з координатами (-1; -2). Через позначені три точки проходить графік І функції y = 2x² + 4x.

Переносимо його на 3 одиниці вгору і маємо графік II даної функції y = 2x² + 4x + 3.

Проаналізуємо, які властивості має квадратична функція y = ax² + bx + c.

Графік даної функції — парабола. Нехай її вершина — точка M(m; n), тобто

Якщо a > 0, то вітки параболи спрямовані вгору. Тоді:

1) область визначення функції — уся множина R;

2) область значень — промінь [n; ∞);

3) якщо x < m, то функція спадає, при x > m — зростає;

4) якщо D > 0, то функція має два нулі: x₁ і x₂;

5) на проміжку (x₁; x₂) значення функції від’ємні, на проміжках (-∞; x₁) і (x₂; ∞) — додатні.

Мал. 93

Якщо a < 0, то вітки параболи напрямлені вниз і властивості 2), 3), 5) слід формулювати інакше. Спробуйте зробити це самостійно.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Графік кожної квадратичної функції — парабола. Розглянемо деякі властивості цієї кривої.

Парабола — геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки і даної прямої. Проілюструємо це твердження на прикладі функції y = x². Розглянемо точку F(0; 0,25), пряму І, рівняння якої у = -0,25, і довільну точку M(x; x²) на даній параболі (мал. 94). Нехай перпендикуляр MP до прямої І перетинає вісь абсцис у точці H. Покажемо, що FM = MP.

Обчислимо FM за формулою відстані між двома точками:

Оскільки MP = MH + HP = x² + 0,25, то при кожному значенні x MF = MP.

Точку F і пряму І, які мають такі властивості, називають фокусом і директрисою даної параболи. Кожна парабола має один фокус і одну директрису.

Мал. 94

Мал. 95

Цікавою і дуже важливою є ще одна властивість параболи. Оскільки трикутник FMP рівнобедрений, то 1 = 2 = 3 (мал. 95). Тому промінь, який виходить з фокуса F, падає на ділянку параболи поблизу точки M так, що кут падіння (1) дорівнює куту відбивання (3). Отже, відбитий промінь паралельний осі Oy. Якщо осьовий переріз увігнутого дзеркала має форму параболи, то всі промені, відбившись від такого дзеркала, не розсіюються, а йдуть паралельним пучком. Цю властивість параболи використовують у прожекторах, які мають освітлювати далекі предмети. І навпаки: якщо на таке дзеркало падають промені, паралельні його осі Oy, то, відбиваючись, усі вони проходять через фокус F. У результаті фізичне тіло, що розташоване біля фокуса F, може сильно нагріватися.

Перевірте себе

1. Які функції називають квадратичними?

2. Як називають лінію, що є графіком квадратичної функції?

3. Укажіть властивості функції y = ax² + bx + c.

4. Які координати має вершина параболи графіка функції y = ax² + bx + c?

5. За якої умови графік функції y = ax² + bx + c перетинає вісь x?

6. Укажіть нулі функції y = ax² + bx.

7. Як побудувати графік функції y = ax² + bx + c?

8. Чим різняться графіки функцій y = ax² + bx + c і y = ax²?

9. За якої умови графік функції y = ax² + bx + c:

а) напрямлений вітками вгору;

б) напрямлений вітками вниз;

в) дотикається до осі абсцис;

г) перетинає вісь абсцис?

Виконаємо разом

1. Чи перетинає графік функції y = 5x² + x + 3 вісь абсцис?

• Розв’язання. Якщо графік функції перетинає вісь абсцис у якійсь точці, то значення функції в цій точці дорівнює 0. Задача зводиться до іншої: чи має розв’язки рівняння 5x² + x + 3 = 0? Його дискримінант D = 1 - 60 < 0, тому рівняння не має розв’язків.

Відповідь. Не перетинає.

2. Графік функції y = 2x² - 7x + p перетинає вісь ординат у точці y = 5. У яких точках він перетинає вісь абсцис?

• Розв’язання. Точка з координатами 0 і 5 належить графіку. Тому має виконуватися рівність 5 = 0 - 0 + р, звідси p - 5. Отже, йдеться про функцію y = 2x² - 7x + 5. Знайдемо її нулі: 2x² - 7x + 5 = 0, D = 49 - 40 = 9, x₁ = -1, x₂ = -2,5.

Відповідь. У точках А(-2,5; 0) і Б(-1; 0).

3. Побудуйте графік функції y = 2x² - 4x - 3.

• Розв’язання. Побудуємо спочатку графік простішої функції y = 2x² - 4x = 2x(x - 2).

Він перетинає вісь x у точках 0(0; 0) і B(2; 0) (мал. 96). Вони симетричні відносно осі параболи, яка проходить через середину відрізка 0B. Тому вершиною параболи є точка з абсцисою x - 1 і ординатою y(1) = 2 ∙ 1² = - 4 ∙ 1 = -2. Позначимо цю точку М(1; -2) і проведемо через неї вісь.

Позначимо контрольну точку K(-1; 6) та симетричну їй відносно осі параболи точку K₁(3; 6).

Сполучимо плавною лінією відмічені точки й одержимо графік функції y = 2x² - 4x (крива І).

Потім перенесемо графік функції y = 2x² - 4x на 3 одиниці вниз і матимемо графік функції y = 2x² - 4x - 3 (крива II).

Мал. 96

Виконайте усно

433. Укажіть найважливіші властивості функції y = 2x²

434. Укажіть нулі функції:

а) y = 2x²;

б) y = x² - 7x;

в) y = х² - 9.

435. На малюнку 97 зображено графік функції y = ax² + bx + c. Укажіть:

а) область визначення функції;

б) знак коефіцієнта а;

в) абсцису й ординату вершини параболи;

г) область значень функції; ґ) нулі функції;

д) проміжки, на яких функція зростає, на яких — спадає;

е) проміжки, на яких значення функції додатні, від’ємні; є) найменше значення функції.

Мал. 97

436. Знайдіть координати вершини параболи:

437. Відгадайте ребус (мал. 98).

Мал. 98

Рівень А

Побудуйте графік функції (438—439).

438.

439.

440. У яких точках вісь x перетинається з графіком функції:

441. На мал. 99, а, б, в дано графіки квадратичних функцій. Знайдіть для кожної з них за графіком:

а) знак дискримінанта;

б) знак першого коефіцієнта;

в) координати вершини параболи;

г) нулі функції;

ґ) проміжки, на яких функція зростає, спадає.

Мал. 99

442. Знайдіть координати вершини параболи — графіка функції:

443 . Побудуйте графік функції:

444. Побудуйте параболу, виділивши квадрат двочлена:

Побудуйте графік функції (445—446).

445.

446.

447. Точка М(3; 5) є вершиною параболи у - x² + mх + n. Знайдіть:

а) m і n; б) у яких точках графік перетинає вісь у.

448. Знайдіть p і q, якщо графік функції у = x² + px + q проходить через точки Р(1; 4); Q(-1; 10).

449. Графік функції у = x² - 5x + c перетинає вісь у в точці A(0; 4). У яких точках він перетинає вісь x?

450. Графік функції у = x² - 3x + c перетинає вісь у в точці A(0; 3). Чи перетинає він вісь x?

451. Побудуйте графік функції, вкажіть проміжки, на яких функція зростає (спадає):

452. При яких значеннях аргументу дана функція має найменше значення:

а) у = x(x - 6);

б) у = (x - 3)² + 1;

в) у - x² + 2x?

Рівень Б

Не будуючи графіка функції, виконайте завдання (453—454).

453. При якому значенні c графік функції у = x² - 5x + c:

а) проходить через початок координат;

б) дотикається до осі x;

в) перетинає вісь x у точці A(3; 0);

г) перетинає вісь у в точці Б(0; -5)?

454. При якому значенні b графік функції у = x² + bx + 4:

а) дотикається до осі x;

б) не має спільних точок з віссю x;

в) перетинає вісь x у точці A(4; 0);

г) перетинає вісь x у точках, відстань між якими дорівнює 3?

Побудуйте графік квадратичної функції (455—461).

455.

456.

457.

458

459.

460.

461.

462. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

463. При яких значеннях x дана функція має найменше значення:

464. Знайдіть найбільше значення функції:

465. а) Найменше значення функції y = x² - 6x + c дорівнює -5. Побудуйте її графік.

б) Найбільше значення функції y = c + 4x - 4x² дорівнює 4. Побудуйте її графік.

466. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а) y = x² і y = (x - 4)²;

б) y = 2x² і y = -x² + 3;

в) y = 3x² + 7 і y = 3x² + 2x + 1.

467. Знайдіть відстань між вершинами парабол, що є графіками функцій:

а) y = (x - 3)² і y = (x - 3)² + 7;

б) y = x² і y = (x + 5)²;

в) y = x² - 2x + 5 і y = x² - 2x - 4;

г) y = x² + 4x + 5 і y = -x² - 4x - 5.

468. Параболу задано рівнянням у = x² - 6x + 13. Знайдіть відстані від її вершини до осей x, у і початку координат.

469. Знайдіть значення b, якщо графік функції у = x² + bx симетричний відносно прямої x = 3.

470*. Побудуйте графік функції:

471*. Задача Дж. Кардано. Знайдіть геометричною побудовою додатний корінь рівняння x² + 6x = 91.

Дж. Кардано

Вправи для повторення

472. Замініть букви цифрами, щоб виконувалася рівність:

Скільки різних розв’язків має задача? Розв’яжіть нерівність (473—474).

473.

474.

475. Скільки коренів має рівняння:

Скарбничка досягнень

ü Знаю, яку функцію називають квадратичною:

у = ах² + bx + c, а ≠ 0

ü Знаю, що графік квадратичної функції — парабола.

ü Можу навести приклади квадратичної функції:

у = 3х²;

у = х² + x; у = - х² + 5;

у = 2х² - 3x + 2

ü Можу пояснити алгоритм побудови квадратичної функції.

ü Можу характеризувати функцію за її графіком.

ü Вмію розв’язувати вправи, що передбачають побудову графіка квадратичної функції.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Як побудувати графік квадратичної функції:

— Графік функції у = ах² + bх + с:

напрямлений вітками вгору

а > 0

дотикається до осі абсцис

D = b² - 4ас = 0

напрямлений вітками вниз

а < 0

перетинає вісь абсцис

D = b² - 4ас > 0

— Види нерівностей: строгі, нестрогі.

— Властивості числових нерівностей (с. 69).

— Як записують розв’язки нерівностей (с. 45).