Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович (1909-1992)

Квадратична функція

§ 10 Перетворення графіків функцій

Складемо таблиці значень функцій: а) у = х ² і б) у = -х ², заданих на множині D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Взагалі значення функції у = -х ² протилежні відповідним значенням функції у = х ². Тому графіки цих функцій симетричні відносно осі х (мал. 76). Таку саму властивість мають будь-які функції у = f(х) і у = -f(х).

Графіки функцій y = f(x) і y = -f(x) симетричні відносно осі X.

Порівняємо ще функції у = 2f(x) і у = f(x). Щоб одержати яке-небудь значення першої з них, треба відповідне значення другої помножити на 2. Тому графік першої з цих функцій можна одержати, розтягнувши вдвічі від осі x графік другої функції. А щоб побудувати графік функції слід втричі стиснути до осі x графік функції у = f(x).

Мал. 76

Щоб побудувати графік функції y = kf(x), де k > 0, треба графік функції у = f(x) розтягнути від осі x у k разів, якщо k > 1, або стиснути його

в разів до осі х, якщо 0 < k < 1.

Приклад. Побудуйте графіки функцій:

Розв’язання. Побудуємо графік функції

На малюнку 77 його зображає крива І. Збільшивши вдвічі ординату кожної точки цього графіка, одержимо множину точок, розміщених на кривій II. Це графік функції

Якщо ординату кожної точки графіка І зменшити вдвічі й нанести відповідні точки на координатну площину, то одержимо криву III — графік функції

Крива IV симетрична відносно осі x кривій III, — графік функції

Кожне значення функції у = f(x) + 4 на 4 більше, ніж відповідне значення функції у = f(x). Тому графік функції у = f(x) + 4 можна одержати, перенісши графік функції у = f(x) на 4 одиниці в напрямку осі у (мал. 78). Щоб одержати графік функції у = f(x) - 6, треба графік функції у = f(x) перенести на 6 одиниць у протилежному напрямку.

Мал. 77

Мал. 78

Щоб одержати графік функції y = f(x) + n, треба графік функції y = f(x) перенести на n одиниць вгору (у напрямку осі у), якщо n > 0, або на -n одиниць вниз (у протилежному напрямку), якщо n < 0.

А як слід перетворити графік функції y = f(x), щоб одержати графік функції y = f(x - m)? Обчислимо для тих самих значень x значення функцій: а) y = х ² і б) y = (х - 2) ².

Як бачимо, при кожному значенні х = c значення функції y = (х - 2) ² таке, як значення функції y = х ², коли х = c - 2. Тому графік функції y = (х - 2) ² можна одержати, перенісши графік функції y = х ² на 2 одиниці в напрямку осі х (мал. 79). Графік функції y = (х + 3) ² можна одержати перенесенням графіка функції y = х ² на 3 одиниці в напрямку, протилежному напрямку осі х.

Щоб одержати графік функції y = f(x - m), досить графік функції y = f(x) перенести на m одиниць праворуч (у напрямку осі x), якщо m > 0, або на -m одиниць ліворуч (у протилежному напрямку), якщо m < 0.

На малюнку 80 показано, як, наприклад, з графіка функції y = х ³ можна одержати графіки функцій y = (х - 2) ³ і y = (х + 3) ³.

Мал. 79

Мал. 80

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Як, маючи графік функції y = f(x), побудувати графік функції y = |f (x)|? За означенням модуля,

Тому значення функції y = |f (x)| і y = f(x) однакові за умови, що f(x) ≥ 0 і

протилежні, якщо f(x) < 0. Отже, щоб побудувати графік функції y = |f (x)|, досить ті частини графіка функції y = f(x), які лежать нижче від осі х, замінити симетричними їм відносно цієї осі, а все інше залишити без змін. Наприклад, маючи графік функції y = x ² - 4 (мал. 81), можна одразу побудувати графік функції y = |x ² - 4| (мал. 82).

Мал. 81

Мал. 82

Дослідіть, як одержати графік функції y = f (|x|), якщо відомо графік функції y = f(x).

Перевірте себе

1. Що таке графік функції?

2. Як, маючи графік функції y = f(x), побудувати графік функції:

3. У якій чверті лежить графік функції y = -f(x), якщо графік функції y = f(x) розташований у: а) ІІІ чверті; б) І та ІІ чверті?

4. Укажіть найбільше значення функції y = -f(x), якщо 5 — найбільше значення функції:

а) y = f(x) + 5;

б) y = f(x - 5);

в) y = 5f(x).

Виконаємо разом

1. На малюнку 83, а зображено графік лінійної функції y = f(x). Побудуйте графік функції y = -f(x).

✵ Розв’язання. Графіки функцій y = f(x) і y = -f(x) симетричні відносно осі абсцис. Точка A(-3; 0) — спільна для обох графіків, а симетричною точці Б(0; 2) відносно осі x є точка Б ₁ (0; -2). Пряма AB ₁— графік функції y = -f(x).

Мал. 83

2. Побудуйте графік функції:

✵ Розв’язання. а) Графік функції y = x ² — звичайна парабола (мал. 84).

б) Щоб одержати графік функції треба ординату кожної точки першого графіка зменшити вдвічі; на малюнку ця парабола синього кольору.

Зменшивши ординату кожної точки звичайної параболи у 4 рази, одержимо потрібний графік — лінію червоного кольору.

Мал. 84

Виконайте усно

391. Чим різняться графіки функцій:

392. Як взаємно розташовані графіки функцій:

393. Функція y = f(x) зростає на всій області визначення. Зростаючою чи спадною є функція:

а) y = 2f(x);

б) y = 0,5f(x);

в) y = -f(x)?

394. Чи правильно, що графіки функцій y = 0,3x, y = 0,3x + 2 і y = 0,3x - 5 — паралельні прямі?

395. На малюнку 85 зображено дві паралельні прямі — графіки двох функцій. Одна з цих функцій y = 0,5x + 3. Назвіть формулу другої функції.

Мал. 85

Мал. 86

396. На малюнку 86 пряма 1 — графік функції y = f(x), а паралельна їй пряма 2 перетинає осі координат у точках а і b. Один учень вважає, що пряма 2 — графік функції y = f(x - а), другий — що вона є графіком функції y = f(b + x), а третій — графіком функції y = f(x) + b. Хто з них має рацію?

397. Чим різняться графіки функцій:

а) y = x ² + 2 і y = x ² - 2;

б) y = x ² - 2 і y = (x - 2) ²;

в) y = x ³ + 1 і y = (x + 1) ³;

г) y = (x - 2) ³і y = (x + 2) ³?

398. Область визначення функції y = f(x) — проміжок (a; b). Якою є область визначення функції:

а) y = -f(x);

б) y = f(x) + n;

в) y = f(x);

г) y = k ∙ f(x)?

399. Область значень функції y = f(x) — проміжок (c; ∞). Якою є область значень функції:

а) y = -f(x);

б) y = f(x) + n;

в) y = f(x) - m;

г) y = k ∙ f(x)?

Рівень А

400. На малюнку 87 зображено графік функції y = f(x). Накресліть його в зошит і побудуйте в тій самій системі координат графіки функцій y = -f(x) і y = 3 ∙ f(x).

Побудуйте графік функції (401—403).

401.

а) y = -x ²;

б) y = -x ³;

в) y = -|x|.

Мал. 87

402.

403.

404. Як треба перетворити графік функції щоб одержати графік функції

Чи правильно, що об’єднання графіків функцій є графіком рівняння y ² = x?

405. Як перетворити графік функції y = 3x - 4, щоб одержати графік функції y = 4 - 3x? Виконайте побудову.

406. Побудуйте графіки функцій y = x ² і y = x ² - 4. Знайдіть їх області значень. При яких значеннях x значення функцій додатні, а при яких — від’ємні? Знайдіть координати перетину графіків з осями координат.

407. Графіки яких функцій зображено на мал. 88, а, б?

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій (408—409).

408.

а) y = 2x, y = 2x + 1 і y = 2x - 3;

б) y = -x ², y = -x ² + 2 і y = -x ² - 1.

409.

410. Як треба перетворити графік функції y = x ², щоб одержати графік функції:

а) y = (x + 3) ²;

б) y = (x - 3) ²;

в) y = -(x + 3) ²?

Мал. 88

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій (411—412).

411.

а) у ₁ = 2x, у ₂ = 2(x - 1) і у ₃ = 2(x + 3);

б) у ₁ = -x ², у ₂ = -(x + 2) ² і у ₃ = -(x - 3) ².

412.

413. Графіки яких функцій зображено на мал. 89, а, б?

Мал. 89

414. 1) Дано параболу у = х ². Напишіть рівняння параболи, яку можна одержати з даної перенесенням:

а) на 2 одиниці праворуч і 3 одиниці вгору;

б) на 4 одиниці ліворуч і 2 одиниці вниз.

2) Відкрита задача. Дано гіперболу

Напишіть рівняння гіперболи, яку можна одержати з даної перенесенням на

415. Побудуйте графік функції:

а) у = (х - 2) ² + 1 і у = (х - 2) ² -1;

б) у = (х + 1) ² + 3 і у = (х +1) ² - 3.

Рівень Б

416. Графік функції у = f(х) симетричний відносно осі у. Чи симетричний відносно цієї осі графік функції:

а) у = 2f(х);

б) у = -f(х);

в) у = -2f(х)?

Побудуйте відповідні графіки.

417. Функція у = f(х) на проміжку (-∞; а) спадає, а на проміжку (а; -∞) - зростає. Якою є на цих проміжках функція:

а) у = 2f(х);

б) у = 0,5 f(х);

в) у = -f(х)?

Побудуйте відповідні графіки.

418. На мал. 90 зображено графік функції у = 4х- ². Перемалюйте його в зошит і побудуйте в тій самій системі координат графіки функцій:

Мал. 90

419. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

420. Побудуйте графік функції:

421. Заповніть порожні клітинки таблиці. Якою формулою можна задати функцію у = f(x)?

422. На мал. 91 зображено графік функції

Перемалюйте його в зошит і побудуйте в тій самій системі координат графіки функцій:

Мал. 91

423. Побудуйте графік функції:

424. Побудуйте графік і дослідіть властивості функції:

Побудуйте графік функції (425—428).

425.

426.

427*.

428.

Вправи для повторення

429. Обчисліть:

430. У таблиці подано назви, місця розташування та площі 5 найбільших і найкрасивіших дендропарків України. Складіть задачу за цими даними. Скористайтеся також відомостями про інші дендропарки України, зокрема найближчий до вас.

431. Знайдіть корені квадратного тричлена:

432. Виділіть з поданого тричлена квадрат двочлена:

Скарбничка досягнень

ü Розумію, у чому полягає перетворення графіка функції f(x):

f(x) f(x - m)

перенесення графіка

m > 0 — праворуч

m < 0 — ліворуч

f(x) f(x) + n

перенесення графіка

n > 0 — вгору

n < 0 — вниз

f(x) kf(x), k > 0

k > 1 — розтягування графіка від осі х в k разів,

k < 1 — стискання графіка до осі х в разів.

ü Розумію, що графіки функцій у = f(x) і у = -f(x) симетричні відносно осі х.

ü Можу побудувати графік функції, використовуючи правила перетворення.

ü Хочу навчитися будувати графіки функцій, що містять модулі.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо

— Що таке квадратний тричлен і його корені.

— Як знайти корені квадратного тричлена

— Розклад квадратного тричлена на множники, якщо х ₁ і x ₂ його корені: ах ² + bx + c - а(х - х ₁)(х - x ₂)

— Як виділити з тричлена повний квадрат:

х + 6х + 1 = х + 2 ∙ х ∙ 3 + 3 - 3 + 1 = (х + 3) - 9 + 1 = (х + 3) - 8

— Правила перетворення графіка функції:

f(x) f(x) + n f(x) f(x - m) f(x) kf(x)