Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 1. НЕРІВНОСТІ

2. Властивості числових нерівностей

Розглянемо властивості числових нерівностей, які далі використовуватимемо під час розв’язування задач.

Властивість 1

Якщо a < b і b < c, то a < c.

Доведення. За умовою a < b і b < c, тому a - b і b - c — від’ємні числа. Сума двох від’ємних чисел є від’ємним числом, тому (a - b) + (b - c) = a - c < 0. Оскільки a - c < 0, то a < c. •

Геометрична ілюстрація властивості 1 подана на рисунку 3.

Рис. 3

Аналогічно можна довести твердження: якщо a > b і b > c, то a > c.

Властивість 2

Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну нерівність.

Доведення. Нехай a < b і с — будь-яке число. Доведемо, що a + с < b + с. Розглянемо різницю (а + с) - (b + c) = a + c - b - c = a - b. Оскільки a < b, то a - b < 0, а тому й (a + с) - (b + c) < 0. Отже, a + с < b + с.

Аналогічно проводять доведення для випадку a > b і будь-якого числа c. •

Наслідок 1. Якщо від обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме число, то одержимо правильну нерівність.

Це твердження випливає з того, що віднімання від обох частин нерівності деякого числа с можна замінити додаванням до обох її частин числа -с.

Наслідок 2. Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в іншу, змінивши знак доданка на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

Доведення. Нехай а < b + c — правильна нерівність. Додамо до обох її частин число -с, одержимо правильну нерівність а + (-с) < b + c + (-с) або а - с < b. Отже, якщо перенести доданок с у ліву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність. •

Властивість 3

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

Доведення. Нехай a < b. Доведемо, що aс < bС, якщо с — додатне число, й aс > bС, якщо с — від’ємне число. Для цього розглянемо різницю:

ас - bс = c(a - b).

За умовою a < b, тому a - b < 0.

Якщо с > 0, то в добутку c(a - b) перший множник є додатним, а другий — від’ємним. Тому c(a - b) < 0. У даному випадку ас - bс < 0, звідки ac < bc.

Якщо с < 0, то в добутку c(a - b) обидва множники є від’ємними, тому c(a - b) > 0. Тоді й ас - bС > 0, звідки ac > bc.

Аналогічно проводять доведення властивості для нерівності a > b. Правильною є й та частина властивості, яка стосується ділення обох частин нерівності на додатне або від’ємне число, оскільки ділення можна замінити множенням на число, обернене дільнику. •

Наслідок. Якщо а і b — числа одного знака й а < b, то > .

Доведення. Оскільки а і b — числа одного знака (обидва додатні або обидва від’ємні), то ab > 0. Поділивши обидві частини нерівності а < b на додатне число ab, матимемо:

Цей наслідок можна використовувати для порівняння чисел, обернених до даних. Наприклад, оскільки

Доведені властивості стосуються строгих нерівностей. Аналогічні властивості мають і нестрогі нерівності. Наприклад, якщо a > b і с — будь-яке число, то a + с > b + с.

Властивості 2 і 3 можна поширити на подвійні нерівності, зваживши, що подвійну нерівність a < b < c можна записати у вигляді двох нерівностей: a < b і b < c. Якщо a < b і b < c, то для будь-якого числа m правильними є нерівності: a + m < b + m і b + m < c + m, звідки a + m < b + m < c + m. Отже, якщо до всіх частин правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну подвійну нерівність.

Аналогічно можна обґрунтувати твердження:

якщо a < b < c і m > 0, то am < bm < cm;

якщо a < b < c і m < 0, то am > bm > cm, або cm < bm < am.

Підсумок: властивості числових нерівностей

Якщо a < b і b < c, то a < c.

Якщо a < b і с — будь-яке число, то a + с < b + с.

Якщо a < b і с — додатне число, то aс < bС.

Якщо a < b і с — від’ємне число, то aс > bС.

Приклади розв’язування вправ

Вправа 1. Відомо, що a > -2.

а) Порівняти з нулем значення виразу а + 3.

б) Довести, що 4 - 2а < 8.

• а) Додамо до обох частин нерівності а > -2 число 3, матимемо:

a + 3 > -2 + 3; a + 3 > 1.

Отже, a + 3 > 0.

б) Помножимо обидві частини нерівності а > -2 на -2, одержимо: -2a < 4. Додамо до обох частин останньої нерівності число 4, одержимо: 4 - 2а < 8. •

Вправа 2. Відомо, що -1 < x < 3. Оцінити значення виразу:

а) x - 3;

б) -х;

в) 2х + 5.

• а) Додамо до всіх частин нерівності -1 < х < 3 число -3, одержимо:

-4 < x - 3 < 0.

Ми показали, що значення виразу х - 3 більші від -4 і менші від 0, тим самим оцінили його значення.

б) Помножимо всі частини нерівності -1 < х < 3 на -1, одержимо:

1 > -х > -3, або -3 < -х < 1.

в) Помножимо всі частини заданої нерівності на 2, одержимо:

-2 < 2х < 6.

Тепер додамо до всіх частин одержаної нерівності число 5, одержимо:

3 < 2х + 5 < 11. •

Усно

43. Порівняйте числа a і b, якщо a < 3 і 3 < b.

44. Відомо, що m < n. Які з даних нерівностей є правильними:

а) m + 7 < n + 7;

б) m - 7 < n - 7;

в) m + 3 > n + 3;

г) 3m < 3n;

д) -3m < -3n;

e) < ?

Відповіді обґрунтуйте.

45. Назвіть правильну нерівність, яку одержимо, якщо:

а) до обох частин нерівності 2 < 4 додамо число 2; число -2;

б) обидві частини нерівності -1 < 2 помножимо на 5; на -5;

в) обидві частини нерівності 9 > 3 поділимо на 3; на -3.

46. а) Відомо, що a < 3. Поясніть, чому не можна стверджувати, що > .

б) Відомо, що b < -3. Поясніть, чому можна стверджувати, що > -.

Рівень А

47. Відомо, що a < b. Поставте замість «*» знак «<» або «>» так, щоб була правильною нерівність:

а) a + 5 * b + 5;

б) a - 7 * b - 7;

в) -2a * -2b;

г) 0,5a * 0,5b;

д) * ;

e) - * -.

48. Замість «*» поставте знак «>» або «<» так, щоб було правильним твердження:

а) якщо a < -5, то -a * 5;

б) якщо -2 > a й a > b, то -2 * b.

49. Відомо, що a < b. Використовуючи властивості числових нерівностей, запишіть правильну нерівність, яку одержимо, якщо:

а) до обох частин нерівності додамо число 2;

б) від обох частин нерівності віднімемо число -3;

в) обидві частини нерівності помножимо на -4;

г) обидві частини нерівності поділимо на 5.

50. Відомо, що х > у. Використовуючи властивості числових нерівностей, запишіть правильну нерівність, яку одержимо, якщо:

а) до обох частин нерівності додамо число 9;

б) обидві частини нерівності помножимо на 3;

в) обидві частини нерівності помножимо на -5;

г) обидві частини нерівності поділимо на -3.

51. Відомо, що m < 4. Доведіть, що:

а) 2m + 1 < 9;

б) 4m - 9 < 7;

в) -3m > -12.

52. Відомо, що b > 2. Доведіть, що:

а) 3b + 2 > 8;

б) 2b - 4 > 0;

в) -5b < -10.

53. Відомо, що 3,2 < а < 3,4. Оцініть значення виразу:

а) а + 4;

б) 2а;

в) 3а - 2.

54. Відомо, що 1,4 < с < 1,6. Оцініть значення виразу:

а) с - 1;

б) 3с;

в) 2с + 3.

Рівень Б

Доведіть твердження:

55. а) Якщо ас > bc і c > 0, то а > b;

б) якщо < і c < 0, то а > b.

56. а) Якщо аn > bn і n < 0, то а < b;

б) якщо i і n > 0, то а < b.

57. Порівняйте числа а і d, якщо:

а) а < b і d > b;

б) а > b і b > d + 4;

в) 2а - 1 < 2d - 1;

г) -7а + 2 > -7d + 2.

58. Порівняйте числа m і к, якщо:

а) m > n і k < n;

б) m < n і n < k - 1;

в) 3m + 2 < 3k + 2;

г) 5 - 2m > 5 — 2k.

59. Відомо, що 0 < b < а і k < 0. Порівняйте числа i .

60. Відомо, що 0 < а < b і c > 0. Порівняйте числа i .

61. Відомо, що k ≤ -1,5. Доведіть, що:

а) -2k + 5 ≥ 8;

б) 4k + 9 < 4;

в) ≥ -.

62. Відомо, що c > 2,5. Доведіть, що:

а) 3c - 2 > 5;

б) 8 - 2c ≤ 3;

в) ≤ 0,4.

63. Відомо, що -2 ≤ х < 5. Оцініть значення виразу:

а) 1,5х - 3;

б) -х;

в) 1,5 - 3х.

64. Відомо, що 0,5 < c < 2. Оцініть значення виразу:

a) ;

б) ;

в) .

65. Відомо, що 2 <у ≤ 3. Оцініть значення виразу:

а) -у;

б) -2у + 1;

в) .

66. Сторона квадрата дорівнює b см, де 3,8 < b < 4,2. Оцініть периметр квадрата.

67. Оцініть периметр рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює а см, якщо 1,7 < а < 1,9.

Рівень В

68. Доведіть твердження:

а) якщо а < b і b ≤ c, то а < с;

б) якщо а < b, b < c і c < d, то а < d;

в) якщо а ≥ b і c < 0, то ac ≤ bc.

69. Відомо, що k < -0,5. Доведіть, що

70. Оцініть значення виразу якщо 0 < х < 3.

71. Знайдіть:

а) від’ємні корені рівняння |x² + 15| - |7х - 3| = 0;

б) корені рівняння |9x - 2| - |5 - 5x| = |x² + x - 1|, які більші від 1.

72. Доведіть нерівність:

а) а³ + 8 > 2а² + 4а, де а > -2;

б) b³ + 1 < b² + b, де b < -1.

Вправи для повторення

73. Знайдіть значення виразу а + b + c, якщо а + b = 1, b + c = 2, а + с = 3.

74. Розв’яжіть рівняння:

75. Розв’яжіть систему рівнянь:

76. Автомобіль долає шлях між двома містами за 2,2 год, рухаючись зі швидкістю 60 км/год. На скільки кілометрів за годину потрібно збільшити швидкість автомобіля, щоб він подолав цей шлях за 2 год?

77. Автоматичний станок виготовив партію деталей. Після удосконалення станка таку саму партію деталей він виготовив у 1,05 разу швидше, бо за годину виготовляв на 5 деталей більше, ніж раніше. Скільки деталей почав виготовляти станок за годину?

Поміркуйте

78. Четверо учнів зібрали разом 109 грибів, до того ж кожний зібрав не менше ніж 10 грибів. Перший учень зібрав грибів більше, ніж інші. Другий і третій учні зібрали разом 65 грибів. Скільки грибів зібрав перший учень?