Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 1. НЕРІВНОСТІ

Є чимало задач, для розв’язання яких потрібно порівняти числа або величини, знайти значення змінної, які задовольняють деяку нерівність.

У цьому параграфі ми з’ясуємо властивості числових нерівностей, як застосовувати ці властивості для розв’язування задач; що таке нерівність зі змінною та система нерівностей зі змінною, як розв’язувати нерівності та їх системи.

1. Числові нерівності. Доведення нерівностей

1. Числові нерівності. Ви знаєте, що записи

25 > 17; 0,2 < 0,32; > ; -7 < -5

є прикладами числових нерівностей. Ви навчилися порівнювати числа за допомогою правил порівняння натуральних чисел, звичайних та десяткових дробів, дійсних чисел. Порівнювати числа можна й без цих правил. Існує загальний спосіб порівняння будь-яких двох чисел, який пов’язаний з такими міркуваннями.

Відомо, що 25 > 17. Знайдемо різницю лівої та правої частин цієї нерівності:

25 - 17 = 8 > 0 — різниця додатна.

Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності 7 < 10:

7 - 10 = -3 < 0 — різниця від’ємна.

Отже, існує залежність між співвідношеннями «>», «<» та значенням різниці лівої та правої частин відповідної нерівності. Цю залежність виражає означення.

Означення

Число а більше від числа b, якщо різниця а - b — додатне число;

число а менше від числа b, якщо різниця а - b — від’ємне число.

a > b, якщо a - b > 0; a < b, якщо a - b < 0.

Зрозуміло: якщо різниця а - b дорівнює нулю, то число а дорівнює числу b. Оскільки різниця чисел а і b може бути лише додатною, від’ємною або дорівнювати нулю, то для будь-яких чисел а і b виконується одне й тільки одне із трьох співвідношень: а > b, а < b або а = b.

Користуючись даним означенням, порівняємо числа і .

Для цього знайдемо їх різницю:

Різниця даних чисел — число додатне, тому і .

Для порівняння двох чисел а і b достатньо утворити різницю a - b і з’ясувати, є вона додатним числом, від’ємним числом чи нулем. Якщо

a - b > 0, то a > b; якщо a - b < 0, то a < b; якщо a - b = 0, то a = b.

На координатній прямій більше число зображують точкою, яка лежить праворуч від точки, що зображує менше число (див. рис. 1).

Рис. 1

У нерівностях, крім знаків «<» (менше), «>» (більше), використовують знаки «≤» — менше або дорівнює (не більше), «≥» — більше або дорівнює (не менше). З означення співвідношень «більше», «менше» випливає, що

a > b, якщо a - b > 0, тобто якщо a - b > 0 або a - b = 0;

a < b, якщо a - b < 0, тобто якщо a - b < 0 або a - b = 0.

Нерівності, складені за допомогою знаків «<» або «>», називають строгими, а нерівності, складені за допомогою знаків «≤» або «≥», — нестрогими.

Числові нерівності можуть бути правильними і неправильними. Наприклад, 5 < 8; 1,2 ≥ -1 — правильні нерівності, 21 > 30 — неправильна нерівність.

2. Доведення нерівностей. Розглянемо два вирази — a(a - 4) та (a - 2)². Порівняємо значення цих виразів, узявши a = -1 та a = 2:

якщо a = -1, то a(a - 4) = -1 ∙ (-1 - 4) = 5; (a - 2)² = (-1 - 2)² = 9; 5 < 9; якщо a = 2, то a(a - 4) = 2 ∙ (2 - 4) = -4; (a - 2)² = (2 - 2)² = 0; -4 < 0. Отже, якщо a = -1 або a= 2, то нерівність a(a - 4) < (a - 2)² є правильною. Виявляється, що ця нерівність є правильною для будь-якого значення a. Справді, утворивши різницю лівої та правої частин нерівності, матимемо: a(a - 4) - (a - 2)² = a² - 4a - a² + 4a - 4 = -4.

Оскільки різниця a(a - 4) - (a - 2)² є від’ємною для будь-якого значення a, то нерівність a(a - 4) < (a - 2)² є правильною теж для будь-якого значення а.

Якщо потрібно показати, що певна нерівність зі змінними є правильною для всіх допустимих значень змінних або для всіх указаних значень змінних, то кажуть, що потрібно довести нерівність.

Приклад 1. Довести нерівність a² + b² + 2 ≥ 2a + 2b.

• Утворимо різницю лівої та правої частин нерівності й перетворимо її:

a²+ b²+ 2 - (2a + 2b) = (a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) = (a - 1)² + (b - 1)².

Оскільки (a - 1)² ≥ 0, (b - 1)² ≥ 0 для будь-яких значень a і b, то (a - 1)² + (b - 1)² ≥ 0. Отже, різниця a² + b² + 2 - (2a + 2b) є невід’ємною для будь-яких значень a і b, тому нерівність a² + b² + 2 ≥ 2a + 2b є правильною теж для будь-яких значень a і b. •

Приклади розв'язування вправ

Вправа 1. Порівняти числа m і n, якщо:

а) m - 3 = n - 2;

б) m = 1,1n і n < 0.

• а) Оскільки m - 3 = n - 2, то: m - n = 3 - 2; m - n = 1. Різниця m - n є додатною, тому m > n.

б) m - n = 1,1n - n = 0,1n. Оскільки n < 0, то різниця m - п є від’ємною, тому m < n. •

Вправа 2. Довести, що сума будь-яких двох взаємно обернених додатних чисел не менша від 2.

• Нехай а — довільне додатне число. Тоді — обернене до нього число. Доведемо, що а + ≥ 2.

Утворимо різницю лівої та правої частин нерівності й перетворимо її:

Різницю ми подали у вигляді дробу, чисельник якого невід’ємний, бо є квадратом деякого числа, а знаменник — додатний. Тому цей дріб, а значить і різниця, набуває лише невід’ємних значень:

а + — 2 ≥ 0.

Отже, нерівність а + ≥ 2 є правильною для будь-якого додатного числа а. •

Вправа 3. Довести нерівність ≥ , де а ≥ 0, b ≥ 0.

• Утворимо різницю лівої та правої частин нерівності й перетворимо її:

Отже,

Примітка. Для додатних чисел а і b число називають їх середнім геометричним (або середнім пропорційним). Доведена нерівність для додатних значень а і b є правильною, тому середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їх середнього геометричного.

Усно

1. Яке з чисел — а чи b — більше, якщо:

а) а - b = 4;

б) а - b = -1;

в) а - b = 0,04;

г) а - b = ?

2. Відомо, що m < n. Чи може різниця m - n дорівнювати: -5; 0; 2; 0,01?

3. Відомо, що c ≥ d. Чи може різниця c - d дорівнювати: -2; 0; 7; 0,28?

4. Чи є правильною нерівність?

а) 1538 < 1558;

б) -48 ≥ -45;

в) 0,08 > 0,1;

г) -0,7 ≤ -0,7;

5. Порівняйте числа а і b, b і с, а і с, які зображені точками на координатній прямій (рис. 2).

Рис. 2

Рівeнь А

6. Порівняйте числа c і d, якщо:

а) c - d = 2,4;

б) c - d = -2;

в) d- c = 0,05;

г) d- c = 0.

7. Порівняйте числа m і n, якщо:

a) m - n = -3;

б) m - n = 3;

в) n - m = 0;

г) n - m = -0,3.

8. Порівняйте з нулем різницю лівої та правої частин правильних нерівностей:

a) m < n;

б) p > q;

в) 8 > у;

г) к < 5.

Порівняйте числа:

9.

10.

11. Розташуйте в порядку зростання числа:

12. Розташуйте в порядку спадання числа:

13. Позначте на координатній прямій точки, які зображують числа p, q і r, якщо p < r, r < q.

14. Позначте на координатній прямій точки, які зображують числа a, b і c, якщо c > b, b > a.

15. Порівняйте значення виразів 5(a + 2) - 2a і 3a - 4, якщо a = -3; a = 2. Доведіть, що для будь-якого значення a значення першого виразу більше від відповідного значення другого виразу.

16. Порівняйте значення виразів 6(b - 2) + 4b і 10b + 1, якщо b = -1; b = 3. Доведіть, що для будь-якого значення b значення першого виразу менше від відповідного значення другого виразу.

Доведіть нерівність:

17.

а) 2(a - 3) + 5a < 7a + 8;

б) с(с + 1) > с² + с - 3;

в) (b - 5)² > b(b - 10);

г) a(a + 7) < (a + 3)(a + 4);

д) a²+ b² ≥ 2ab;

е) 4 + b² ≤ 4b.

18.

a) 12b + 8 > 4b + 8(b - 0,5);

б) а(а - 2) + 1 < а²- 2а + 2;

в) (b - 3)(b + 3) > b² - 14;

г) (с - 1)(с + 3) < с(с + 2);

д) a²+ 9 ≥ 6a;

е) m(m + n) ≤ mn.

Рівeнь Б

19. Порівняйте числаp і q, якщо:

а) p - 4,8 = q - 2,4;

б) q + 0,08 = p + 0,079;

в) p = l,5q і q < 0;

г) q = 0,9p і p > 0.

20. Порівняйте числа a і b, якщо:

a) a + 1,6 = b + 2,8;

б) b - 0,301 = a - 0,3;

в) a = 2b і b > 0;

г) b = 0,5a і a < 0.

21. Який знак має число х, якщо відомо, що:

а) 8х < 3х;

б) 7х > 4х;

в) 2х < -3х;

г) -10х > -2х?

22. Розташуйте в порядку спадання числа:

23. Розташуйте в порядку зростання числа:

Порівняйте значення числових виразів:

24.

25.

Доведіть нерівність:

26.

a) 4bc ≤ 4b² + с²;

б) (2n + 1)² > 8n;

в) (5 - 3y)² ≥ 3y(y - 2) + 1;

г) b² + 10 > 6b;

27.

а) 9х² - 3xy + y² ≥ 3xy;

б) a² + 2a ≤ 17a² + 10a + 1;

в) 8b(3b - 10) < (5b - 8)²;

г) (а + 1)² > 4a - 1;

28. Дано чотири послідовні натуральні числа. Що більше — добуток найменшого і найбільшого з цих чисел чи добуток середніх чисел?

29. Дано три послідовні натуральні числа. Що більше — подвоєний квадрат середнього з цих чисел чи сума квадратів двох інших?

30. Дано дріб , де m, n — натуральні числа, до того ж m < n. Збільшиться чи зменшиться даний дріб, якщо його чисельник і знаменник збільшити на те саме натуральне число?

31. До чисельника і знаменника дробу додали те саме натуральне число.

Доведіть, що одержали дріб, який менший від даного.

РівeНь В

Доведіть нерівність:

32. а) а² + 2b² + 1 > 2ab + 2b;

б) а² + 2b² + 4с² > 2ab + 4bc;

в) х² + 6х + y² - 2у + 11 > 0;

г) 5a²+ 4a - 2ab + b² + 2 > 0;

д) а2 + b2 > ab;

е) m3n + mn3 < m + n.

33.

34. Для натуральних чисел m, n і k виконується нерівність > .

Доведіть, що m > n.

35. Прямокутник і квадрат мають рівні периметри, сторони прямокутника дорівнюють а см і b см (а ф b), а сторона квадрата — с см. Доведіть, що:

а) c = ;

б) площа прямокутника менша від площі квадрата.

36. Літак має здійснити переліт за маршрутом Київ — Львів і назад. За якої погоди такий переліт займе менше часу: за безвітряної чи якщо вітер західний і дме з постійною швидкістю?

Вправи для повторення

37. Знайдіть найменше значення виразу та значення змінних, для яких вираз набуває найменшого значення:

а) а² + b² + 2;

б) (х - 3)² + (у + 3)²;

в) (m - 1)² + (m + n)² - 4;

г) a — b + 2.

38. Розв’яжіть рівняння:

а) (х - 5)( х +1) = 3х - 5;

б) + = 3.

39. Знайдіть значення виразу:

40. У парку росте листяних дерев у 4 рази більше, ніж хвойних. Чи може загальна кількість цих дерев дорівнювати 264?

41. У січні підприємство виготовило 750 одиниць продукції, у лютому — 800 одиниць, у березні — 780 одиниць.

а) На скільки відсотків збільшилось виробництво продукції в лютому порівняно із січнем?

б) На скільки відсотків зменшилось виробництво продукції в березні порівняно з лютим?

Помірку1те

42. На кожній клітинці дошки розміру 8 х 10 сидить жук. Чи можуть ці жуки перелетіти на дошку розміру 16 х 5 так, щоб у кожній клітинці було по жуку і щоб жуки, які були сусідами раніше, залишились сусідами на новій дошці? (Сусідами вважаємо жуків, які сидять у клітинках зі спільною стороною.)