Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

§ 23. Лінійне рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Ми знаємо, як розв’язувати рівняння 2х = -8; х - 5; 0,01х -17.

Кожне із цих рівнянь має вигляд ах = b, де х - змінна, а і b - деякі числа.

Числа а і b називають коефіцієнтами рівняння.

Якщо а ≠ 0, то рівняння ах = b називають рівнянням першого степеня з однією змінною. Поділивши обидві частини такого рівняння на а, одержимо х = , тобто єдиним коренем цього рівняння є число

Якщо а - 0 і b - 0, то лінійне рівняння має вигляд 0х - 0. Коренем такого рівняння є будь-яке число, оскільки при будь- якому значенні х значення лівої і правої частин рівняння є рівні і дорівнюють нулю. Тому рівняння 0х = 0 має безліч коренів.

Якщо а - 0, а b ≠ 0, то лінійне рівняння матиме вигляд 0х - b. При цьому не існує жодного значення змінної х, яке б перетворювало ліву і праву частини рівняння на одне й те саме число. Адже значення лівої частини рівняння при будь-якому значенні х дорівнюватиме нулю, а значення правої частини - числу b, відмінному від нуля. Тому рівняння 0х = b при b ≠ 0 не має коренів.

Систематизуємо дані про розв’язки лінійного рівняння ах = b у вигляді схеми:

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

1) 0,2х = 7;

2)- х = 2-;

3) 0х = 7.

Р о з в ’ я з а н н я.

1) 0,2х = 7; х = 7 : 0,2; х = 35.

Відповідь: 35.

2) - х = 2 _;

х = 2 : ( - );

х = -4.

Відповідь: - 4.

3)0х = 7; рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів не має.

Процес розв'язування багатьох рівнянь є зведенням цих рівнянь до лілійних шляхом рівносильних перетворень за властивостями рівнянь.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

1) 3(х + 1) - 2х = 6 - 4х;

2) + = .

Р о з в ’ я з а н н я.

1. Позбудемося знаменників (якщо вони є):

1)3(х + 3) - 2х = 6 - 4х.

2) + =

Помножимо обидві частили рівняння на 6 (6 — найменший спільний знаменник дробів). Маємо:

+ =

3(х + 1) + 2(5 - х) = х + 13.

2. Розкриємо дужки (якщо вони є):

3х + 9 - 2х = 6 - 4х;

3х + 3 + 10 - 2х = х + 13.

3. Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші - у праву, змінивши знаки цих доданків, на протилежні:

3х - 2х + 4х = 6 - 9;

3х - 2х - х = 13 - 3 - 10.

4. Зведемо подібні доданки:

5х = - 3;

0х = 0.

5. Розв’яжемо отримане лінійне рівняння:

х = -3 : 5;

х = -0,6;

Відповідь: -0,6.

х - будь-яке число.

Відповідь: будь-яке число.

Приклад 3. Розв’язати рівняння 5(х + р) = 3х - 7р відносно х.

Р о з в ’ я з а н н я. Розкриємо дужки в лівій частині рівняння: 5х + 5р - 3х - 7р. Перенесемо доданок 3х у ліву частину, а 5р - у праву. Маємо: 5х - 3х = -7р - 5р; 2х = -12р. Тоді х = (-12р) : 2; х = (-12 : 2)р; х = -6р.

Відповідь: -6р.

Яке рівняння називають лінійним рівнянням з однією змінною? Наведіть приклади лінійних рівнянь. У якому випадку рівняння ах - b має єдиний корінь? У якому випадку коренем рівняння ах - b є будь-яке число? У якому випадку рівняння ах = b не має коренів?

848. (Усно) Яке з рівнянь є лінійним:

1)17х = 0;

2) -5х = - ;

3) х² = 7х;

4) 0х = 17;

5) х + 7 = х²;

6) 0х = 0?

849. (Усно) Скільки коренів має рівняння:

1) 2х = -7;

2) 0х = 5;

3) 0х = 0?

850. З’ясуйте, яке з даних рівнянь має лише один розв’язок, не має розв’язків, має безліч розв’язків:

1) -5х = -3;

2) 0х = 0;

3) 0,14х = 0;

4) 7 = 0х;

5) = -5;

6) 0х =-15.

851. (Усно) Розв’яжіть рівняння:

1) -2х = 12;

2) 0,5х = -2,5;

3) -2,5х = 7,5;

4) х = ;

5) х = 1;

6)5х = -12.

852. Розв’яжіть рівняння:

1) - 3х = -21;

2) -2х = ;

3) - х = -5;

4) 50х = 5;

5) -х = 1 ;

6) -0,01х = 0,17;

7) -х = - ;

8)-1,2х = -4,2;

9) х = 0.

853. Знайдіть корінь рівняння:

1) 2х = -8;

2) х = 9;

3) -3х = ;

4) -10х = -5;

5) х = 0;

6) 0,1х = 0,18.

854. Визначте, що має бути записано праворуч у рівнянні замість пропусків, якщо відомо його корінь:

1) 8х = … ;

х = -9;

2) -9х = … ;

х = 0;

3) х = … ;

х = 12.

855. Знайдіть корінь рівняння:

1) 7х + 14 = 0;

2) 0, 3х - 21 = 0,5х - 23;

3) 1х + 3 = 6х - 13;

4) 5х + (3х - 7) = 9;

5) 47 = 10 - (9х + 2);

6) (3х + 2) - (8х + 6) = 14.

856. Розв’яжіть рівняння:

1)2х -10 = 0;

2) 1,4х - 12 = 0,9х + 4;

3) 3х + 14 = 5х - 16;

4) 12 - (5х + 10) = -3;

5) 6 - (8х + 11) = -1;

6) (3х - 4) - (6 - 4х) = 4.

857. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню 5х = 10:

1) х + 3 = 5;

2) 5 - х = 7;

3) х + 2 = х + 1;

4) х - 7 = -5;

5) х = 8 - 3х;

6)1х - 7 = 4х?

858. Чи є рівняння рівносильними:

1) 4х - х = 17 і 3х = 17;

2) 5х - 9 = 3х і 6х = 21;

3) 2х = -12 і х + 6 = 0;

4) 12х = 0 і 15х = 15?

859. При якому значенні х значення виразу:

1) 3х + 7 дорівнює -2;

2) 4(х + 1) дорівнює значенню виразу 5х - 9?

860. При якому значенні у:

1) значення виразу 5у - 13 дорівнює -3;

2) значення виразів 3(у - 2) і 13у - 8 рівні між собою?

861. Розв’яжіть рівняння:

1) х + = 5;

2) 2х - = 1;

3) + = 8;

4) - = 1.

862. Знайдіть корінь рівняння:

1) х - = 1;

2) 3х + = 4;

2) - = 1;

4) + = 10.

863. Складіть лінійне рівняння, коренем якого є:

1) число -2;

2) число -0,2.

864. Складіть лінійне рівняння:

1) яке не має коренів;

2) коренем якого є будь-яке число.

865. Складіть лінійне рівняння, коренем якого було б:

1) число -8;

2) будь-яке число.

866. Знайдіть корінь рівняння:

1)(4х - 2) + (5х - 4) - 9 - (5 - 11х);

2) (7 - 8х) - (9 - 12х) - (5х + 4) = -16;

3) 3(4х - 5) - 10(2х - 1) = 33;

4) 9(3(х + 1) 2х) = 7(х + 1).

867. Розв’яжіть рівняння:

1) (9х - 4) + (15х - 5) = 18 - (25 - 22х);

2) (10х + 6) - (9 - 9х) + (8 - 11х) = -19;

3) 7(х - 1) - 3(2х + 1) = -х - 15;

4) 5(4(х - 1) - 3х) = 9х.

868. Розв’яжіть рівняння відносно х:

1) 2х + а = х + а;

2) b + х = с - х;

3) 6х + 2m = х - 8m;

4) 9а + х = 3b - 2х.

Р о з в ’ я з а н н я.

4) 9a - х = 3b - 2х; х + 2х = 3b - 9а; 3х = 3(b - 3а). Поділимо обидві частини рівняння на 3. Одержимо: х = b - 3а.

Відповідь: b - 3а.

869. Розв’яжіть рівняння відносно х:

1) 7х + m = 2х + m;

2) а + х = 2m - х;

3) 3х + b = 9b - х;

4) 5р + 2х = 10а - 3х.

870. Чи є рівносильними рівняння:

1) 2х - 4 = 2 і 5(х - 3) + 1 = 3х - 8;

2) 5х + 3 = 8 і 7(х - 2) + 20 = 4х + 3;

3) 5х = 0 і 0 х = 5;

4) 7х + 1 = 7х 2 і 5(х + 1) = 5х + 5;

5) 0 : х = 7 і 0 ∙ х = 7;

6) 3(х - 2) = 3х - 6 і 2(х + 7) - 2(х + 1) + 12?

871. При якому значенні у значення виразу:

1) 5у + 7 утричі більше за значення виразу у + 5;

2) 2у - 4 на 7,4 більше за значення виразу 3 - 7у?

872. При якому значенні х значення виразу:

1) 7х + 8 удвічі більше за значення виразу х + 7;

2) 5х - 8 па 17,2 менше від значення виразу х + 2 ?

873. Складіть рівняння, яке було б рівносильним рівнянню 7(2х - 8) = 5(7х - 8) - 15х.

874. При якому значенні а рівняння:

1) 2ах = 16 має корінь, що дорівнює 4;

2) 3х - а має корінь, що дорівнює ;

3) 5(а + 1)х = 40 має корінь, що дорівнює -1 ?

875. При якому значенні b коренем рівняння:

1) 3bх = -24 є число -4;

2) (2а - 5)х = 45 с число 3?

876. Розв’яжіть рівняння:

1) 4х + 7 = 3(х - 2) + х:

2) 2х + 5 - 2(х - 4) + 13;

3) 2х(1 - 3х) + 5х(3 - х) = 17х - 8х²;

4) (7х³ + 2х² - 4х - 5) - (6х³ - х² + 2х) = 3х² - (6х - х³).

877. Знайдіть корінь рівняння:

1) 3(х - 2) + 4х = 7(х -1) + 1;

2) 2(х + 1) + х = 6(х + 3);

3) 3х(2 + х) - 4 (1 - х²) = 7х² + 6х;

4) (х² + 4х - 8) - (7х - 2х² - 5) = 3х² - (3х + 3).

878. Розв’яжіть рівняння:

1) + = 10

2) - = 2

3) + = +

4) - =

879. Знайдіть корінь рівняння:

1) + = 5

2) - = 1

3) + = +

4) - =

880. Розв’яжіть рівняння:

1) - + =

2) х² - 5х + 3 - 6х² - 30х + = .

881. Розв’яжіть рівняння:

1) - + =

2) х² - 7х + 4 - 4х² - 28х + = .

882. При якому значенні b рівняння мають однакові корені:

1) 4х - 3 = 5 і 3х + b = 17;

2) х + 6 = 9 і 2х - b = х ?

883. Розв’яжіть рівняння:

1) 2(|х| - 3) = |х);

2) |2х +1| = 7.

884. Розв’яжіть рівняння:

1)|х + 1| = 0,2;

2) 2(|х| - 3 ) = |х|).

885. Знайдіть усі цілі значення m, при яких корінь рівняння mх = 4 є цілим числом.

886. Знайдіть усі цілі значення b, при яких корінь рівняння bх - -6 є натуральним числом.

Вправи для повторення

887. Тетянка на канікулах розв’язала х задач з математики, а її однокласник Ігор - на 18 задач більше. Виразіть через х кількість задач, які розв’язав Ігор.

888. Подайте вираз у вигляді многочлена:

1) (7х - 1)2 - (2х - 1)(3х -1);

2) (2х - 3)(2х + 3) - (4х - 5)(х + 1);

3) 8х(2х - 5) - (4х- + 3)²;

4) (4х - 7)(4х + 7) (2х - 5)(2х + 5).

889. Знайдіть нулі функції:

1) у - 36 - х²;

2) у = х² - 3х.

890. Побудуйте графік функції:

Цікаві задачі для учнів неледачих

891. Відомо, що х + у = 13. При яких натуральних значеннях х і у вираз ху набуває найбільшого значення?