Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

§ 22. Загальні відомості про рівняння

Упродовж багатьох століть алгебра розвивалась як наука про рівняння.

Основні відомості про рівняння ви вже знаєте з попередніх класів. Нагадаємо, що вираз, записаний в рівнянні ліворуч від знака рівності, називають лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч, - правою частиною рівняння. Якщо в рівняння 4х - 6 = х замість змінної х підставити число 2, то одержимо правильну числову рівність 4 ∙ 2 - 6 - 2, оскільки числові значення обох частин рівняння стануть між собою рівними. У такому разі про число 2 кажуть, що воно задовольняє рівняння, тобто є його коренем.

Рівняння можуть мати різну кількість коренів. Наприклад, рівняння 4х - 6 = х має лише один корінь число 2. Рівняння х(х - 6) = 0 має два корені числа 0 і 6. Будь-яке значення змінної х задовольнятиме рівняння х + 0,1 = 0,1 + х, тому будь-яке число є його розв’язком, отже, це рівняння має безліч коренів. Але не існує жодного значення змінної х, яке б перетворювало рівняння х + 1 = х у правильну числову рівність, оскільки при кожному значенні змінної х значення лівої частини рівняння буде на 1 перевищувати значення правої його частини. Тому рівняння х - 1 = х не має коренів.

Розглянемо рівняння х + 1 = 5 і 3х = 12. Кожне з них має єдиний корінь — число 4. Ці рівняння є рівносильними.

Приклад 1. З’ясувати, чи є рівносильними рівняння:

1) 18 - х = 11 і 21 : х = 3;

2) х + 3 = х і 2 - х = 5 - х;

3) х + 3 = 4 і 5х = 10?

Р о з в ’ я з а н н я. 1) Коренем рівняння 18 - х = 11 є число 7. Коренем рівняння 21 : х = 3 також є число 7. Тому рівняння 18 - х = 11 і 21 : х = 3 - рівносильні.

2) Обидва рівняння x + 2- x і 2 - х = 5 - х не мають коренів, тому є рівносильними.

3) Коренем рівняння х + 3 = 4 є число 1, а коренем рівняння 5х = 10 - число 2. Тому рівняння х + 3 = 4 і 5х = 10 не є рівносильними.

Під час розв’язування рівнянь використовують властивості, які перетворюють рівняння на рівносильні їм рівняння:

Приклад 2. З’ясувати, чи є рівносильними рівняння:

1) 2(х - 1) = 5х і 2х - 2 = 5х;

2) 3а + 2 = 5а - а - 7 і 3а + 2 = 4а - 7;

3) 5х = 2х + 9 і bх - 2х = 9;

4) 0,5b = 1,5b - 3,5 і b = 3b - 7.

Р о з в ’ я з а н н я. 1) Рівняння 2(х - 1) = 5х і 2х 2 = 5х є рівносильними, оскільки друге рівняння одержуємо з першого розкриттям дужок у його лівій частині.

2) Рівняння 3а + 2 = 5а - а - 7 і 3а + 2 = 4а - 7 - рівносильні, оскільки друге рівняння одержуємо з першого зведенням подібних доданків у його правій частині.

3) Рівняння 5х = 2х - 9 і 5х - 2х = 9 - рівносильні, оскільки друге рівняння одержуємо з першого перенесенням доданка з правої частини рівняння в ліву із зміною знака цього доданка на протилежний.

4) Рівняння 0,5b = 1,5b - 3,5 і b = 3b - 7 - рівносильні, оскільки друге рівняння одержуємо шляхом множення на 2 обох частин першого рівняння.

У IX ст. видатний арабський математик

А ще раніше …

Мухаммед бен Муса аль-Хорезмі у своєму трактаті «Кітаб аль-джебр аль-мукабала» зібрав і систематизував існуючі на той час методи розв'язування рівнянь. Узятий з назви цієї книжки термін «аль-джебр» (у перекладі з арабської означає «відновлення») надалі почав уживатися як «алгебра» і дав назву цілій науці.

У ті часи, коли аль-Хорезмі писав свій трактат, від'ємні числа вважалися хибними, несправжніми. Тому коли від’ємне число переносили з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи його знак, вважали, що воно «відновлюється» (стає додатним), тобто з несправжнього перетворюється на справжнє. Саме таке перетворення рівнянь аль-Хорезмі і назвав «відновленням».

Властивість взаємного знищення однакових доданків рівняння, що містилися в обох його частинах, аль-Хорезмі назвав «протиставленням» (арабською мовою - «аль-мукабал»).

Аль-Хорезмі був перший учений, хто відокремив алгебру від арифметики і розглянув її як окрему математичну науку. Алгебру аль-Хорезмі в латинському перекладі вивчали європейці протягом XII—XVI ст. Подальший розвиток алгебри пов’язаний саме з європейськими вченими, зокрема з італійськими математиками епохи Відродження.

До XIX ст. алгебра розвивалася як наука, що вивчає методи розв'язування рівнянь. Згодом вона значно збагатилася новими змістовими лініями: спрощення виразів, функції, розв'язування нерівностей тощо, і тепер рівняння - це лише одна зі складових частин алгебри.

Мухаммед бен Муса аль-Хорезмі (783 - бл. 850)

Що називають рівнянням? Що називають коренем (або розв'язком) рівняння? Що означає розв’язати рівняння? Які рівняння називають рівносильними? Які властивості використовують під час розв’язування рівнянь?

831. (Усно) Який із записів є рівнянням (відповідь обґрунтуйте):

1) 7х - 21 > 0;

2) 4х + 5;

3) 7х - 2 = 10;

4) (12 - 10) ∙ 3 = 6?

832. (Усно) Чи є число 3 коренем рівняння:

1) 2х = 6;

2) х - 7 = 4;

3) 2х + 3 = 8;

4) 27 : х = 9?

833. Чи є число 2 розв’язком рівняння:

1) х + 7 = 9;

2) 5х = 12;

3) х - 8 = -6;

4) х : 4 = 2?

834. Яке із чисел є коренем рівняння х² - 2х + 3:

1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) 3?

835. Чи є коренем рівняння х² = 4 - 3х число:

1) 0; 2) 1; 3) -2; 4) -4?

836. Доведіть, що кожне із чисел 1,3 та -1,3 є коренем рівняння х² = 1,69.

837. Чи є рівносильними рівняння:

1)х + 2 = 5 і х : 3 = 1;

2)х - 3 = 7 і 2х = 18?

838. Чи є рівносильними рівняння:

1) х - 2 = 3 і 2х= 10;

2) х + 3 = 7 і х : 2 = 3?

839. Доведіть, що:

1) коренем рівняння 2(х - 3) = 2х - 6 є будь-яке число;

2) рівняння у - 7 = у не має коренів.

840. Доведіть, що:

1) коренем рівняння 3(2 - с) = 6 - 3с є будь-яке число;

2) рівняння х = х + 8 не має коренів.

841. Складіть рівняння, що має:

1) єдиний корінь число -2;

2) два корені — числа 5 і -5.

842. З’ясуйте, не розв’язуючи рівнянь, чи є вони рівносильними:

1) 4(х - 2) = 19 і 4х - 8 = 19;

2) 2х - 3 = 3х + 5 і 2х - 3х = 5 + 3;

3) 8(х - 3) = 40 і х - 3 = 5;

4) = 11 і 2х = 33.

843. Установіть, не розв'язуючи, чи є рівняння рівносильними:

1) 8(х - 1) = 5 і 8х - 8 = 5;

2) 3х + 7 = 4х - 8 і 3х - 4х = -8 - 7;

3) 9(х + 2) = 18 і х + 2 = 2;

4) - = 7 і -3х = 28.

844. Чи має розв’язки рівняння:

1) х + 2 = 2 - х;

2) х + 3 = 3 + х;

3) х + 1 = -1 + х;

4) 0 - х = 0;

5) 0 ∙ (х - 1) = 3;

6) 5(х - 1) = 5х - 5;

7) 0 : х = 0;

8) 2(х - 3) = 2х - 7?

Вправи для повторення

845. Знайдіть значення виразу:

1) 4а - 12b + 8а, якщо а = -13; b = 13;

2) (3х - 2х)(5m + 4m), якщо х = 1 ; m = -1 .

846. Спростіть вираз:

1) 64 - (8 - 3m)²;

2) a²b² - (ab + 7)²;

3) t² + 25 - (t - 5)²;

4) р⁴ - 16 - (p2 + 4)².

Цікаві задачі для учнів неледачих

847. Яку остачу при діленні па 1001 дає число

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 ∙ 13 + 2000?